GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 04: QUADRILÁTEROS
TÓPICO 02: RETÂNGULO, LOSANGO E QUADRADO
Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Vamos calcular a soma dos ângulos
internos de ABCD. Considere a diagonal
.
Exemplo
Observe que a soma dos ângulos internos de ABCD é exatamente a soma dos
ângulos internos do triângulo ABC mais a soma dos ângulos internos de
ACD. Posto que a soma dos ângulos internos de todo triângulo é 180°, seguese que a soma dos ângulos internos de ABCD é igual a 2 x 180°, isto é, 360°.
De acordo?
Se um quadrilátero é equiângulo, quanto vale cada ângulo interno?
É óbvio que vale
ou seja, 90°.
CONCLUSÃO
Todos os ângulos de um quadrilátero equiângulo são retos.
DEFINIÇÃO 7:
Chama-se retângulo o quadrilátero que tem todos os seus ângulos
congruentes.
Exemplo
A título de exercício, demonstre que todo retângulo é um paralelogramo
DEFINIÇÃO 8:
Chama-se losango o quadrilátero equilátero, ou seja, o quadrilátero que tem
todos os seus lados congruentes.
Exemplo
Demonstre também, a título de exercício, que todo losango é um
paralelogramo.
DEFINIÇÃO 9:
Chama-se quadrado o quadrilátero que é, ao mesmo tempo, eqüiângulo e
equilátero, isto é, o quadrilátero que é retângulo e losango.
Exemplo
Vale salientarmos que toda propriedade que vale para paralelogramos vale
para retângulos e losangos, já que são paralelogramos. Assim como toda
propriedade que valer para retângulos ou losangos valerá para quadrados.
OLHANDO DE PERTO
Por exemplo: lados opostos de um retângulo são congruentes; as diagonais
de um losango se cruzam ao meio; etc
TEOREMA 10:
As diagonais de um retângulo são congruentes.
Prova: seja ABCD um retângulo. Lados opostos de um retângulo são
congruentes.
Exemplo
Logo, AD = BC e como
são retos, segue-se pelo caso L. L.L., que
. Por conseguinte,
.
TEOREMA 11:
Em todo losango, as diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos
ângulos internos.
EXERCITANDO 36 A 41
“O conhecimento é a riqueza dos justos”
Prof. Ms. Ailton Feitosa
36º) Classifique em verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ) as sentenças:
Em todo retângulo, as diagonais são congruentes.
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
As diagonais de um retângulo são perpendiculares entre si.
As diagonais de um quadrado formam, entre si, ângulos de 90º.
Os ângulos opostos de um losango são congruentes.
37º) As diagonais de um retângulo se cortam formando um ângulo de
100º. Determine o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um
dos lados.
38º) A diagonal de um losango forma, com um dos lados, um ângulo de
35º. Calcule os ângulos desse losango.
39°) As diagonais de um retângulo formam, entre si, um ângulo de 116º.
Calcule a medida do ângulos que cada diagonal forma com o lado oposto
ao ângulo de 116º.
40º) A medida de cada ângulo agudo de um losango é 80º. Encontre a
medida do ângulo formado pela diagonal dos ângulos obtusos com um dos
lados.
41º) Classifique em verdadeiras ou falsas as sentenças:
a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é um retângulo.
c) Todo quadrado é retêngulo.
d) Todo retângulo é quadrado.
e) Todo paralelogramo é losango.
f) Todo quadrado é losango.
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual