Mini-curso de Matemática
FUNÇÃO EXPONENCIAL
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Mini-curso de Matemática
Função Exponencial ex
D = IR
y = ex
D’ = IR+
Zeros: não tem
y = ex é sempre positiva em IR
y = ex é contínua em IR
1
y = ex é injectiva
lim e x  0
x 
lim e x  
x 
tem função inversa
Mini-curso de Matemática
Gráficos de y = ex e da sua inversa, y = lnx.
y = ex
y=x
Simétricos relativamente à recta y = x.
y = lnx
1
1
lnx = y  x = ey
Mini-curso de Matemática
Função Logarítmica lnx
D = IR+
D’ = IR
y = lnx
Zeros: x = 1
y = lnx é injectiva
1
y = lnx é contínua em IR+
y = lnx é positiva para x  ]1, +[
y = lnx é negativa para x  ]0, 1[
lim  lnx  
x 0
lim lnx  
x 
Mini-curso de Matemática
Considere a função h(x) = ln(-2x + 1).
Determine o domínio e o contradomínio da função h.
Domínio
Contradomínio
Dh  x IR : -2x  1  0
 x  IR : -2x  1
1

 x  IR : x  
2

1

  , 
2

x
1
2
- 2x  -1
- 2x 1  0
ln(-2x+1) > -
D’h= IR
Mini-curso de Matemática
h(x) = ln(-2x + 1)
Calcule, se possível, h(1).
Não é possível determinar h(1) pois 1 Dh .
Calcule x tal que h(x) = 2.
ln  2 x  1  2  2 x  1  e2
 2 x  e2  1
e2  1
x
2
Mini-curso de Matemática
h(x) = ln(-2x + 1)
Averigúe se a função h é injectiva e represente-a graficamente.
Sejam x1 e x2 dois elementos quaisquer do Df ,
h  x1   h  x2   ln  2x1  1  ln  2 x2  1
 2 x1  1  2 x2  1
 2 x1  2 x2
 x1  x2
h é injectiva
Mini-curso de Matemática
h(x) = ln(-2x + 1)
Caracterize a função inversa de h.
Domínio de h-1:
Dh1  Dh'  IR
Contradomínio de h-1:
1

Dh' -1  Dh   - , 
2

Expressão analítica de h-1:
ln  2 x  1  y  2 x  1  e y
 2 x  e y  1
e y 1
x
2
1

h1 : IR    , 
2

ex 1
x 
2
Mini-curso de Matemática
ex 1
h(x) = ln(-2x + 1) e h (x)  
2
1
Verifique, graficamente, que h e h-1 são funções inversas.
y=x
y = ln(-2x+1)
ex 1
y
2
Mini-curso de Matemática
Suponha que no bar dos alunos da ESTV a temperatura ambiente é
constante. A temperatura, em graus centígrados, de um chocolate
quente, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por
f(t) = 20 + 50e-0,04t.
Determine a temperatura do chocolate quente no instante em que é
colocado na chávena.
Para t = 0,
f(0) = 20 + 50e0 = 70.
A temperatura inicial do chocolate quente é de 70º.
Mini-curso de Matemática
f(t) = 20 + 50e-0,04t
Com o decorrer do tempo, a temperatura do chocolate quente tende a igualar
a temperatura ambiente. Indique, justificando, qual é a temperatura ambiente.
lim 2050e 0,04t  = 20 + 50x0 = 20
lim f t   t

t 
A temperatura ambiente é de 20º.
lim e x  0
x 
Mini-curso de Matemática
f(t) = 20 + 50e-0,04t
Quanto tempo decorre entre o instante em que o chocolate quente é
colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge 65
graus centigrados? Apresente o resultado em minutos e segundos.
20 + 50e-0,04t = 65  e 0,04t 
45
50
 9 
 ln   0,04t
 10 
 9 
ln 
10
t  
 0,04
 t  2,63
Decorreram 2 minutos e 37,8 segundos.
lnx = y  x = ey
1m
0,63m
60 segundos
x segundos
x  37,8 segundos