UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Matemática e Estatı́stica
Disciplina: Geometria Euclidiana
Curso: Licenciatura em Matemática.
Quarta Lista de Exercı́cios
Ângulos em circunferências e tangentes.
Questão 1: Dados uma circunferência Γ e um ponto P externo a Γ. Mostre como construir com régua e
compasso as retas tangentes a Γ passando por P . Deixe claro na sua construção que existem exatamente
duas tangentes a Γ por P .
Questão 2: Descreva a construção com régua e compasso do arco capaz de ângulo α relativo a um segmento
AB dado.
Questão 3: Sejam dados duas retas concorrentes r e s e um número real R > 0. Construa com régua e
compasso (isto é, descreva a construção de) todas as circunferências de raio R que são tangentes a r e a s.
Questão 4: Sejam r, s e t retas do plano, com r paralela a s e t concorrente com r e s. Construa com
régua e compasso, os cı́rculos tangentes a r, s e t.
Questão 5: São dados no plano, um cı́rculo Γ e pontos A, P e Q, tais que P , Q ∈ Γ e os segmentos AP e
AQ tangenciam Γ e AP = 5 cm. Escolhemos pontos B ∈ AP e C ∈ AQ tais que BC também tangencie Γ.
Calcule os possı́veis valores do perı́metro de ABC.
Questão 6: Sejam ABCD um quadrado de lado a e Γ a circunferência de centro A e raio a. Marcamos
pontos M e N , respectivamente sobre BC e CD, tais que M N tangencia Γ. Quais os possı́veis valores do
\
ângulo M
AN ?
Questão 7: As cordas AB e CD de uma circunferência Γ são perpendiculares em E, um ponto situado no
interior do cı́rculo. A reta perpendicular a AC por E intersecta o segmento BD em F . Prove que F é o
ponto médio de BD.
Questão 8: Sejam A, B e C pontos sobre um cı́rculo Γ, tais que os arcos menores AB, AC e BC medem
todos 120◦ . Se P é um ponto de Γ situado no arco menor BC, prove que P A = P B + P C.
Quadriláteros inscritı́veis e circunscritı́veis
Questão 9: Sobre cada lado do triângulo acutângulo ABC construı́mos uma circunferência tendo o lado
por diâmetro. Prove que tais cı́rculos se intersectam dois a dois em seis pontos, três dos quais são os pés das
alturas de ABC.
O exercı́cio a seguir aplica seus conhecimentos sobre quadriláteros inscritı́veis para mostrar que o ortocentro de um triângulo é o incentro do triângulo órtico (triângulo órtico é aquele cujos vértices são os pés
das alturas do triângulo original).
Questão 10: Dado um triângulo acutângulo ABC, sejam Ha , Hb e Hc os pés das alturas relativas aos lados
BC, AC e AB respectivamente e ortocentro H. Mostre que:
a) os quadriláteros HHa BHc e HHa CHb são inscritı́veis.
◦
◦
b
b
\
\
b) HH
a Hc = 90 − A e HHa Hb = 90 − A.
c) conclua que HHa é a bissetriz do ângulo ∠Hc Ha Hb .
Questão 11: Seja ABCD um quadrilátero inscritı́vel e E o ponto de encontro de suas diagonais. Sejam,
ainda, M , N , P e Q respectivamente os pés das perpendiculares baixadas de E aos lados AB, BC, CD e
DA. Prove que o quadrilátero M N P Q é circunscritı́vel.
Questão 12: Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e sejam Ha , Hb e Hc os pés das alturas
respectivamente relativas aos lados BC, CA e AB. Prove que:
\
\
\
\
a) AH
b Hc = ABC e AHc Hb = ACB.
←→
←→
b) OA⊥Hb Hc .
Questão 13: Um polı́gono convexo é inscritı́vel se existir um cı́rculo passando por seus vértices, dito o
cı́rculo circunscrito ao polı́gono. Prove que um polı́gono convexo é inscritı́vel se, e só se, as mediatrizes de
seus lados concorrem em um único ponto.
Questão 14: Prove que um quadrilátero convexo é circunscritı́vel se, e só se, as bissetrizes de seus ângulos
internos intersectarem-se em um único ponto, que, nesse caso, será o centro do cı́rculo inscrito.