1
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
Módulo X
Querido aluno(a)!!!
É o que deseja a equipe
www.somaticaeducar.com.br
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
2
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
Exercícios
1) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:
Um elemento é escolhido as acaso. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser homem?
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de menor e mulher?
d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade
de ser homem?
e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?
2) Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São
retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a
probabilidade de ambas serem boas.
3) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) a soma ser menor que 4
b) a soma ser 9
c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo
4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2,
3,..., 50. Qual a probabilidade de:
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
3
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
a) o número ser divisível por 5
b) terminar em 3
c) ser primo
d) ser divisível por 6 ou por 8
5) Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma
bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja:
a) par
b) ímpar
c) par e maior que 10
d) primo e maior que 3
e) múltiplo de 3 e 5
6) Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Extraindo-se duas
bolas, calcule a probabilidade de serem:
a) uma de cada cor
b) ambas da mesma cor
7) Resolver o exercício anterior admitindo que as duas bolas são
extraídas uma a uma com reposição.
8) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas,
das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que:
a) nenhuma seja defeituosa;
b) exatamente uma defeituosa
c) pelo menos uma seja defeituosa.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
4
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
9) Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas
peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma
ser parafuso e a outra ser porca.
10) Num lote de 12 peças, 4 são peças defeituosas. Três peças são
retiradas ao acaso, uma após a outra. Encontre a probabilidade de
todas as três peças serem não-defeituosas.
11) Uma classe tem 12 meninos e 4 meninas. Se três estudantes são
selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de serem todos
meninos?
12) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos
graves. Uma peça é escolhida aleatoriamente. Calcule a probabilidade
de que:
a) ela não tenha defeitos graves
b) ela não tenha defeitos
c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves.
13) São dadas três caixas, como segue:
A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas
A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa
A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada,
também aleatoriamente. Qual a probabilidade dela ser defeituosa?
14) Três máquinas A, B e C, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
5
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
defeituosas destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é
selecionada ao acaso, ache a probabilidade dela ser defeituosa.
15) Três departamentos A, B e C de uma escola têm, respectivamente, a
seguinte composição: 2 doutores, 3 mestres e 4 especialistas; 3
doutores, 2 mestres e 2 especialistas; 4 doutores, 1 mestre e 1
especialista. Escolhe-se um departamento ao acaso e sorteiam-se dois
professores. Se os professores são um especialista e um doutor, qual
a probabilidade que tenham vindo o departamento A?
16) Uma urna contem 12 bolas; 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra
contém 18 bolas; 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é
retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas
sejam de mesma cor?
17) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Foram
extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido
duas bolas pretas e uma vermelha?
18) Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa
B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada
aleatoriamente de cada caixa:
I)
Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam
defeituosas?
II)
Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra
não?
III)
Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p
de que a peça defeituosa venha da caixa A?
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
6
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
19) Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que
1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se
um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de
altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?
20) Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10%
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças
defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é
sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade
de que a peça tenha vindo da máquina B?
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
7
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
Probabilidades
Solução de Exercícios
1.
a) P ( A) = 10 /15 = 0, 67 ou 67% . A probabilidade de ser homem é de 67%
b) P ( A) = 7 /15 = 0, 47 ou 47% . A probabilidade de ser adulto é de 47%
c) P ( m e M )= 3 /15 = 0, 20 ou 20% . A probabilidade de ser menor e mulher
é de 20%.
5
P ( H ∩ A) 15 5
d) P ( H / A ) =
=
= = 0, 71 ou 71% . A probabilidade de ser
7 7
P ( A)
15
homem, sabendo que é adulto é de 71%.
3
P ( m ∩ M ) 15 3
e) P ( m / M ) =
=
= = 0, 60 ou 60% . A probabilidade de ser
5 5
P(M )
15
menor, dado que é mulher é de 60%.
2.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
8
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
3.
a) P = 3 / 36 = 0, 08 ou 8% .
b) P = 4 / 36 = 0,11 ou 11% .
c) P = 15 / 36 = 0, 42 ou 42% .
A probabilidade da soma ser menor do que 4 é de 8%. Da soma ser 9 é
de 11% e do primeiro resultado ser maior do que o segundo é de 42%.
4.
a) A = {5,10,15, 20, 25,30,35, 40, 45,50}
p = 10 / 50 = 1/ 5 = 0, 20 ou 20% . A probabilidade do número ser divisível
por 5 é de 20%.
b) B = {3,13, 23,33, 43}
p = 5 / 50 = 1/10 = 0,10 ou 10% . A probabilidade de terminar em 3 é de
10%.
c) C = {2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47}
p = 15 / 50 = 0, 30 ou 30% . A probabilidade do número ser primo é de 30%.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
9
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
d) D = {6,8,12,16,18, 24,30,32,36, 40, 42, 48}
p = 12 / 50 = 0, 24 ou 24% . A probabilidade do número ser divisível por 6 ou
por 8 é de 24%.
5.
a) A = {2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20, 22, 24}
p = 12 / 25 = 0, 48 ou 48% . A probabilidade do número ser par é de 48%.
b) B = {1,3,5, 7,9,11,13,15,17,19, 21, 23, 25}
p = 13 / 25 = 0, 52 ou 52% . A probabilidade do número ser ímpar é de 52%.
c) C = {12,14,16,18, 20, 22, 24}
p = 7 / 25 = 0, 28 ou 28% . A probabilidade do número ser par e maior do
que 10 é 28%.
d) D = {5, 7,11,13,17,19, 23}
p = 7 / 25 / 0, 28 ou 28% . A probabilidade do número ser primo e maior do
que 3 é 28%.
e) E = {15}
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
10
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
p = 1/ 25 = 0, 04 ou 4% . A probabilidade do número ser múltiplo de 3 e 5 é
4%.
6.
3 2 3
a) BP ou PB = 2 ⋅ ⋅ = = 0, 60 ou 60%
5 7 5
3 2 2 1 4
b) BB ou PP = P ( BB ) + P ( PP ) = ⋅ + ⋅ = = 0, 40 ou 40%
5 4 5 4 10
A probabilidade de ser uma de cada cor é de 60%. A probabilidade de
serem ambas da mesma cor é de 40%.
7.
3 2 12
a) p = 2 ⋅ ⋅ =
= 0, 48 ou 48%
5 5 25
3 3 2 2 9 + 4 13
=
= 0,52 ou 52%
b) p = ⋅ + ⋅ =
5 5 5 5
25
25
A probabilidade de ser uma de cada cor é de 48%. A probabilidade de
serem ambas da mesma cor é de 52%.
8.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
11
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
a) p (nenhuma defeituosa) = p = ( ppp ) =
10 9 8 24
⋅ ⋅ =
= 0, 26 ou 26%
15 14 13 91
b) p (uma defeituosa) = P ( dpp ) + P ( pdp ) + P ( ppd )
p = 3⋅
5 10 9 45
⋅ ⋅ =
= 0, 49 ou 49%
15 14 13 91
c) P (pelo menos uma defeituosa) = P (1 defeituosa) + P (2 defeituosas)
+ P (3 defeituosas) = 1 − P (nenhuma defeituosa) = 1 − P (ppp)
= 1−
24 67
=
= 0, 736 ou 74%
91 91
A probabilidade de que nenhuma seja defeituosa é de 26%. A
probabilidade de exatamente uma ser defeituosa é de 49%. A
probabilidade de que pelo menos uma seja defeituosa é de 74%.
9.
P (1 parafuso e 1 porca) = P ( Pa Po ) = P (1˚ parafuso e 2ª porca)
3 3 18
+ P (1ª porca 2˚ parafuso) = 2 ⋅ P (1˚ parafuso 2 ª porca) = 2 ⋅ ⋅ =
=
6 5 30
= 0, 60 ou 60% . A probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca é de
60%.
10.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
12
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
P (3 não defeituosas) = P (3 perfeitas) = P ( ppp ) =
8 7 6 14
⋅ ⋅ =
= 0, 25
12 11 10 55
ou 25% .
A probabilidade de todas as três peças serem defeituosas é de 25%.
11.
P ( Mo Mo Mo ) =
12 11 10 11
⋅ ⋅ =
= 0,39 = 39%
16 15 14 28
A probabilidade de serem todos meninos é de 39%.
12.
a) P (não ter defeitos graves) = P (Ser boa ou apenas defeituosa) =
P ( B ∪ D) = P ( B) + P ( D) =
10 4 14 7
+ =
= = 0,88 ou 88%
16 16 16 8
b) P (não ter defeitos) = P (ser boa) =
10 5
= = 0, 62 ou 62%
16 8
c) P (ou seja boa ou tenha defeitos graves) = P ( B ∪ Dg ) = P ( B ) +
P ( Dg ) =
10 2 12 3
+ = = = 0, 75 ou 75%
16 16 16 4
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
13
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
A probabilidade de que a peça não tenha defeitos graves é de 88%. A
probabilidade de que a peça não tenha nenhum defeito é de 62%. A
probabilidade de que ou ela seja boa ou tenha defeitos graves é de 75%.
13.
1 4 1 1 1 5
P (defeituosa) = P ( D ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
3 10 3 6 3 8
1  4 1 3  1 113
=  + + = ⋅
= 0,314 ou 31, 4 ou 31%
3  10 6 8  3 120
A probabilidade de que a lâmpada seja defeituosa é de 31%.
14.
P ( D ) = 0,50 ⋅ 0, 03 + 0,30 ⋅ 0, 04 + 0, 20 ⋅ 0, 05 = 0, 037 ou 4%
A probabilidade da peça ser defeituosa é de 4%.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
14
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
15.
P ( A / ED ) =
P ( A ∩ ED )
P ( ED )
1 2 1 1
8
; P ( A ∩ ED ) = ⋅ ⋅ ⋅ = 2 = 0, 01097 ;
3 9 3 4 27
1 2 1 4 1 3 1 2 1 4 1 1
8
6
4
P ( ED ) = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 2 + 2 + 2 =
3 9 3 9 3 7 3 7 3 6 3 6 27 21 18
P ( ED ) = 0, 01097 + 0, 0136 + 0, 01234 = 0, 0369249
P ( A / ED ) =
0, 01097
= 0, 2971 ou 30%
0, 03692
A probabilidade de que os dois professores tenham vindo do
departamento A é de 30%.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
15
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
16.
P (duas da mesma cor) = P ( BB ou VV ou PP ) = P ( BB ) + P (VV )
+ P ( PP ) =
5 5 4 6 3 7 25 + 24 + 21 70
⋅ + ⋅ + ⋅ =
=
= 0,324 ou 32%
12 18 12 18 12 18
12 ⋅18
216
A probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor é de 32%.
17.
P (duas pretas e uma vermelha) = P ( PPV ou PVP ou VPP ) =
= 3 ⋅ P ( PPV ) = 3 ⋅
5 5 3
9
⋅ ⋅ =
= 0, 225 ou 22%
10 10 10 10
A probabilidade de terem sido extraídas duas bolas pretas e uma
vermelha é de 22%.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
16
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
18.
5 3
Ι . P (não defeituosas) = P ( PP ) = ⋅ = 0,375 ou 38% . A probabilidade de
8 5
que ambas as peças sejam não defeituosas é de 38%.
ΙΙ . P (uma defeituosa e outra perfeita) = P ( DP ou PD ) =
3 3 5 2
⋅ + ⋅ =
8 5 8 5
9 + 10 19
=
= 0, 475 ou 48% . A probabilidade de que uma peça seja
40
40
defeituosa e a outra não é de 48%.
ΙΙΙ .
P (uma peça ser defeituosa e vir da caixa A sabendo que a outra é
perfeita) = P ( DA / DP )
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
17
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
3 3
P ( DA ∩ DP ) 8 ⋅ 5 9 40 9
P ( DA ∩ DP ) =
=
=
⋅
= = 0, 474 ou 47%
19
40 19 19
P ( DP )
40
A probabilidade de que, se uma peça é defeituosa e a outra não, a peça
defeituosa tenha vindo da caixa A é de 47%.
19.
P (ser mulher sabendo que tem + de 1,80m) = P ( M / + 1,80 ) =
P ( M ∩ +1,80 )
P ( +1,80 )
P ( M / + 1,80 ) =
0, 04 ⋅ 0, 02
0, 0008
=
= 0, 21
0, 60 ⋅ 0, 05 + 0, 40 ⋅ 0, 02 0, 038
ou
21% .
A
probabilidade de que o estudante seja mulher, com mais de 1,80m de
altura, é de 21%.
20.
P (Ter vindo da máquina B sabendo que é defeituosa) = P ( B / D ) =
P ( B ∩ D)
P ( D)
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
18
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
P ( B / D) =
P ( B ∩ D)
P ( D)
=
0, 05 ⋅ 0, 05
0, 025 25
=
=
=
0, 40 ⋅ 0, 03 + 0,50 ⋅ 0, 050 + 0,10 ⋅ 0, 02 0, 039 39
0, 641 ou 64% .
A probabilidade de que a peça, sendo defeituosa, tenha vindo da máquina
B é de 64%.
- os exercícios n
0
01 ao n
0
20, tem como Fonte Bibliográfica:Gonçalves, Cristina
F. Fidelis. Estatística – Londrina: Ed. UEL, 2002.
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.