Axiomas da Probabilidade
Para qualquer evento A, associa-se um número P(A),
chamado de probabilidade do evento A. Este número
satisfaz as seguintes três condições denominadas de
axiomas da probabilidade.
(i) P( A)  0 (P robabili
dadeé um número não negativo)
(ii) P()  1 (P robabili
dadedo espaçode amostras é unitário)
(iii) Se A  B   , então P( A  B)  P( A)  P( B).
Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos
mutuamente exclusivos, a probabilidade da
união é igual a soma de suas probabilidades)
1
As seguintes conclusões seguem dos axiomas:
a. Se A  A   ,tem-se usando (ii)
P(A  A)  P()  1.
Mas A  A  , e usando (iii),
P(A  A)  P( A)  P(A)  1 ou P(A)  1  P( A).
b. Similarmente, para qualquer evento A, A      .
Então segue que:
P A     P( A)  P( ) .
Mas A     A, então,
P   0.
c. Supondo que A e B não são disjuntos, como se deve
calcular a
P( A  B )  ?
2
Para se calcular a P ( A  B ) deve-se expressar A  B
em termos de eventos disjuntos, da forma:
A  B  A  AB,
A AB
onde A e AB são eventos disjuntos.
A B
Usando o axioma (iii), tem-se:
P( A  B)  P( A  AB)  P( A)  P( AB).
Para calcularP( AB),
pode-se expressar B como
B  B    B  ( A  A)  ( B  A)  ( B  A)  BA B A
e
P( B)  P( BA)  P( B A),
P( AB)  P( B)  P( AB)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB).
obs. BA  AB
e B A  AB
são eventos disjuntos
3
Probabilidade Condicional e Independência
P(A|B) = Probabilidade do evento A dado que B ocorreu
Define-se como:
P( AB)
P( A | B ) 
, com
P( B )
P( AB)  0
 0,
1. P( A | B ) 
P( B )  0
2. P( | B) 
P( B)  0.
P(B) P( B)

 1,
P( B )
P( B )
P(( A  C )  B) P( AB  CB)

.
3. Se A  C  0, P( A  C | B) 
P( B )
P( B )
Mas AB  AC   , então
P( A  C | B ) 
P( AB  CB)  P( AB)  P(CB).
P( AB) P(CB)

 P( A | B)  P(C | B),
P( B )
P( B )
Portanto,satisfaz todos os axiomas da probabilidade
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Propriedades da Probabilidade Condicional
a. Se B  A, AB  B, então
P( AB) P( B)
P( A | B) 

1
P( B)
P( B)
Visto que se B  A, então a ocorrência de B implica
automaticamente na ocorrência de A.
b. Se,
A  B, AB  A,
então:
P( AB) P( A)
P( A | B ) 

 P( A).
P( B )
P( B )
c. Se
A B 
então,
P( A / B)  0
5
c. Pode-se usar a probabilidade condicional para expressar
a probabilidade de um evento em termos de outros eventos.
Seja A1, A2 ,, An eventos disjuntos, cuja união é igual a .
Assim,
Ai A j  
n
e
A
i
 .
i 1
B  B( A1  A2  An )  BA1  BA2  BAn .
Mas,
Ai  Aj    BAi  BAj   ,
n
n
P( B)   P( BAi )   P( B | Ai ) P( Ai ).
i 1
i 1
Chamado de teorema da probabilidade total
A1
Aj
A2
B
Ai
An
6
Eventos Independentes
A e B são ditos serem independentes se
P( AB)  P( A)  P( B).
Supondo que A e B são independentes, então
P( AB)
P( A) P( B )
P( A | B ) 

 P( A).
P( B )
P( B )
Se A e B são independentes, o fato do evento B ter ocorrido,
não fornece nenhuma informação a cerca do evento A. Não
faz nenhuma diferença saber se A ou B ocorreu.
7
Exemplo 1: Uma caixa contém 6 bolas brancas e 4 bolas
pretas. Retira-se duas bolas aleatoriamente sem reposição.
Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca
e a segunda seja preta?
Seja W1 = “ a primeira bola é branca”, B2 = “a segunda é preta”
Deseja-se calcular
P(W1  B2 )  ?
tem-se
W1  B2  W1B2  B2W1.
P(W1B2 )  P( B2W1 )  P( B2 | W1 ) P(W1 ).
6
6
3
P (W1 ) 

 ,
6  4 10 5
4
4
P ( B2 | W1 ) 
 ,
54 9
3 4 12
P (W1 B2 )   
 0.27 .
5 9 45
8
São os eventos W1 e B2 independentes? Parece que não.
Para verificar é necessário calcular P(B2). A primeira bola
tem duas opções: W1 = “a primeira bola é branca” ou B1= “a
primeira bola é preta”.
.
Note que W1  B1   , e W1  B1  Então
W1 juntamente
com B1 formam uma partição. Assim
P( B2 )  P( B2 | W1 ) P(W1 )  P( B2 | B1 ) P( B1 )

4 3
3
4
4 3 1 2 42 2
 

    
 ,
5  4 5 6  3 10 9 5 3 5
15
5
e
P( B2 ) P(W1 ) 
2 3
20
  P( B2W1 ) 
.
5 5
81
Como esperado, os eventos W1 e B2 não são independentes.
9
Probabilidade Condicional
ou
P( AB)  P( A | B) P( B).
P( BA)
P( AB)
P( B | A) 

,
P( A)
P( A)
P( AB)  P( B | A) P( A).
Então:
P( A | B) P( B)  P( B | A) P( A).
P( A | B ) 
P( B | A)
 P( A)
P( B )
Esta última equação é conhecida como teorema de Bayes
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Uma versão mais geral do teorema de Bayes envolve uma
partição do espaço de amostras .
A1
P( B | A)
P( A | B ) 
 P( A)
P( B )
n
n
i 1
i 1
Aj
A2
B
Ai
An
P( B)   P( BAi )   P( B | Ai ) P( Ai ).
P ( B | Ai ) P ( Ai )
P ( Ai | B ) 

P( B)
P ( B | Ai ) P ( Ai )
n
 P( B | A ) P( A )
i
,
i
i 1
Ai , i  1  n,
P( B | Ai ), i  1  n
P( Ai ), i  1  n.
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Exemplo 2: Duas caixas B1 e B2 contem 100 e 200
lâmpadas respectivamente. A primeira caixa (B1) tem 15
lâmpadas defeituosa e a segunda, 5. Suponha que uma
caixa é selecionada aleatoriamente e uma lâmpada é
retirada.
a) Qual é a probabilidade de que ela seja defeituosa?
Solução: A caixa B1 tem 85 lâmpadas boas 15 defeituosas A
caixa B2 tem 195 boas e 5 defeituosas. Seja o evento D =
“uma lâmpada defeituosa é retirada”.
15
P ( D | B1 ) 
 0.15,
100
5
P ( D | B2 ) 
 0.025 .
200
12
Uma vez que uma caixa é selecionada aleatoriamente,
então elas são igualmente prováveis.
P ( B1 )  P ( B2 ) 
1
.
2
Assim B1 e B2 formam uma partição, então:
P ( D)  P ( D | B1 ) P ( B1 )  P ( D | B2 ) P( B2 )
1
1
 0.15   0.025  0.0875.
2
2
Portanto, a probabilidade de se tomar uma lâmpada
defeituosa é de aproximadamente 9% .
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b) Supondo que se testa uma lâmpada e verifica-se que
ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela
provenha da caixa B1?
P( B1 | D) 
P( D | B1 ) P( B1 ) 0.15  1 / 2

 0.8571.
P( D)
0.0875
Sabe-se que a priori que P( B1 )  0.5;
toma-se então
aleatoriamente uma caixa, testa-se Uma lâmpada e
verifica-se que é defeituosa. Pergunta-se: Essa
informação pode levar a alguma pista de que a caixa
selecionada foi a caixa 1? Tem-se que :
P( B1 | D)  0.857  0.5,
P( B2 | D)  0.143
(decisão: Máxima probabilidade a posterior)
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