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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO III
MÓDULO III
Sem dúvida a maioria dos processos seletivos trazem sempre problemas
que tem relação direta com os assuntos que vamos estudar nesse
módulo.
Agora., só para descontrair!!!!
Que tal uma brincadeirinha de ilusão de ótica....rsrsrsrsr
Fonte: www.solbrilhando.com.br
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ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO III
Múltiplos e divisores de um número
Múltiplo: dizemos que um número é múltiplo de outro quando a sua
divisão por esse outro é exata. Assim 15 é múltiplo de 3 e de 5, pois:
a) 15 ÷ 3 = 5
b) 15 ÷ 5 = 3
Para se obter os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo,
sucessivamente, pela seqüência natural dos números, e, como essa
seqüência é infinita, conclui-se que:
a) Todo o número têm uma infinidade de múltiplos;
b) Com exceção do zero, o menor múltiplo de um número é o próprio
número.
Exemplo: Os múltiplos de 3 são:
M(3)= {0,3,6,9,12,15,18,...}
Divisor: um número é divisor de outro, quando divide esse outro
exatamente, ou seja, sem deixar resto e, se ele é divisor de outro, o outro
é múltiplo dele.
Exemplo: Se 5 é divisor de 10 → 10 é múltiplo de 5.
Os divisores de um número formam sempre um conjunto finito.
Exemplo: Os divisores de 15 são:
D(15)= {1,3,5,15}
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Critérios de divisibilidade:
São certas regrinhas práticas para saber se um número é divisível por
outro, sem efetuar a divisão:
- por 2: quando o número for par;
- por 3: quando a soma de todos os seus algarismos for divisível por 3;
- por 5: quando terminar em zero ou 5;
- por 9: quando a soma de todos os seus algarismos for divisível por 9;
- por 10: quando terminar em zero.
Exemplo: O número 450 é divisível por:
- por 2: porque é par;
- por 3: 4 + 5 + 0 = 9 que é divisível por 3;
-por 5: termina em zero;
- por 9: 4 + 5 + 0 = 9 que é divisível por 9;
- por 10: porque termina com zero.
Números primos
Possuem dois divisores: a unidade e eles mesmos:
Exemplos: a) 2
b) 3
São primos, porque são divisíveis
por 1 e por eles mesmos (somente).
c) 5
Números múltiplos e compostos
Possuem outros divisores além da unidade e deles mesmos.
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Exemplo:
a) 4
D (4) = {1, 2, 4}
b) 6
D (6) = {1, 2,3,6}
Observação: O número 1 não é primo e nem composto.
Reconhecimento dos números primos
Para descobrir se um número é ou não primo, basta dividí-lo
sucessivamente pelos números primos ( 2,3,5,7,11,13...) .
Se a divisão não for exata até que o quociente fique menor que o divisor,
o número é primo.
Se a divisão for exata, o número é composto.
Exemplo 1: a) O número 157 é primo?
157 2
divisor
−14 78 quociente
157 3
−15 52
017
007
−16
−6
01
1
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157 5
157 11
−15 31
−11 14
007
047
−5
−44
2
03
157 13
−13 12
027
−26
01
Resposta: O número 157 é primo, pois o quociente (12) da última divisão é
menor que o divisor (13) e nenhuma das divisões foi exata.
Exemplo: b) O número 161 é primo?
161 2
161 3
−16 8
−15 53
001
011
−9
02
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161 5
161 7
−15 32
−14 23
011
021
−10
−21
01
00
Resposta: O número 161 é composto, pois a última divisão foi exata.
Decomposição em fatores primos
Para se encontrar a forma fatorada de um número, faz-se a sua decomposição
em fatores primos. Obedecendo a regra a seguir:
a) Divide-se o número dado pelo seu menor divisor primo.
b) Procede-se da mesma maneira com o quociente obtido até se encontrar
o quociente 1.
Exemplo:
2.32.5 = 90
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Máximo divisor comum ( MDC )
- Decompor todos os números ao mesmo tempo;
- O MDC será composto pelos fatores que dividirem todos os números.
Exemplo: Calcular o MDC (24; 48; 60) =
MDC (24; 48; 60) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
Mínimo Múltiplo Comum ( MMC )
Decompõem-se em fatores primos todos os números em questão, ao
mesmo tempo.
Exemplo: MMC entre (15; 20)
MMC (15;20) = 22.3.5 = 60
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Agooora.........
Concentre-se no centro da imagem, e você verá ela se movimentar...
Fonte: http://www.ilusoes.com.br/
Exercícios:
a + b = 2 , então ( a + b ) é:
2
1) Se
a) ( ) 2
b) ( ) 8
c) ( x ) 16
d) ( ) nenhuma das alternativas
Solução:
1
(a + b)2 = 2
( a + b)
2
=x
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1
(a + b)2 x = (a + b)
2
1
⋅2
(a + b)2 x = 2 ⋅ (a + b)
x=
2 ⋅ (a + b)
2
2
1
(a + b)2
x = 2 ⋅(a + b)
2−
1
2
3
x = 2 ⋅ ( a + b)2
(a + b)
x = 2⋅
x = 2⋅
(
a+b
3
)
3
x = 2 ⋅ 23
x = 2 ⋅ 8 = 16
2) O valor de
a) ( )
60
Letra C
2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ 5 2 é:
77
b) ( x )
60
277
c) ( )
77
260
Solução:
22.3.5 = 60
60
230+ 20 +15+12 = 60 277
Letra B
Observação: as raízes são de índices diferentes.
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3) O número que dividido por 2 centésimos resulta 1000 é:
a) ( ) 10
b) ( ) 100
c) ( ) 1000
d) ( x ) 20
Solução:
Pode ser resolvido de várias formas....
x
= 1000
2
100
x⋅
100
= 1000
2
100 x
= 1000
2
100 x
= 1000
2
100 x = 2000
x=
2000
100
x = 20
Letra D
4) O filho tem um terço da idade do pai, que tem 60 anos. Quantos anos
de idade tem o filho?
a) ( x ) 20 anos
b) ( ) 22 anos
c) ( ) 30 anos
d) ( ) nenhuma das alternativas
Solução:
1
60
⋅ 60 =
= 20 Letra A
3
3
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5) Calcular
(a
(a
2
3
⋅ b3 )
⋅b
)
2
2 3
=
Solução:
(a
(a
2
3
(a ⋅ b ) = 1
=
⋅b )
(a ⋅ b ) a
⋅ b3 )
2
4
6
2 3
9
6
5
6) Qual é o produto de dois números se o seu MDC é 8 e o MMC é 48?
Solução:
8 ⋅ 48 = 384
7) As capacidades de dois reservatórios são de 6.480 litros e 6000 litros
respectivamente. Deseja-se construir um tanque que possa ser
alimentado por esses reservatórios. Calcular a maior capacidade
desse tanque, de maneira que ele possa ser abastecido um número
exato de vezes com a água de qualquer reservatório.
a) ( ) 220 litros
d) ( x ) 240 litros
b) ( ) 256 litros
c) ( ) 225 litros
e) ( ) nenhuma das alternativas
Solução:
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MDC (6480; 6000) = 24.3.5 = 240litros
Letra D
8) Três peças de fazenda medem respectivamente, 180 metros, 252
metros e 324 metros. Pretende-se dividi-las em retalhos iguais de
comprimento. Qual deverá ser esse comprimento, de modo que o
número de retalhos seja o menor possível?
Solução:
MDC (180; 252; 324) = 22 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36
O comprimento deverá ser de 36 metros.
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9) Maria deseja plantar 72 mudas de violeta, 24 mudas de rosa, 36
mudas de orquídeas e 48 mudas de camélias. Todas no menor
número possível de canteiros. Sabendo-se que cada canteiro deverá
receber o mesmo número de plantas de uma só espécie, pergunta-se:
a) Qual o número de plantas que deve conter cada canteiro?
b) Quantos canteiros serão necessários?
Solução:
MDC (72; 24; 36; 48) = 22.3 = 12
a) 12 plantas devem conter cada canteiro
Para se calcular quantos canteiros serão necessários. Somam-se as
plantas e divide-se pelo número de plantas que devem conter cada
canteiro.
72 + 24 + 36 + 48 = 180
180 ÷ 12 = 15 canteiros
c) Serão necessários 15 canteiros
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10) Na escola de Paula, a 5a série A tem 36 alunos e a 5a série B, 42.
Para participar de uma gincana todas as classes deverão formar equipes
com o mesmo número de alunos.
a) Qual é o máximo de alunos por equipe, para que todos os alunos das
duas classes participem da gincana?
b) Quantas equipes serão formadas em cada 5a série?
Solução:
MDC
a) Seis alunos será o máximo por equipe
b) 36 + 42 = 78
78 ÷ 6 = 13
d) Serão formadas 13 equipes nas 5a séries.
11) A montagem de uma estante um marceneiro usou três pedaços de
madeira ( caibros ), com 240cm; 320cm e 420cm. Ele precisou dividir os
caibros em pedaços, de modo que não houvesse sobra de madeira. De
maneira que os pedaços fossem da mesma medida e que essa medida
fosse a maior possível. Quantos pedaços o marceneiro obteve?
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Solução:
MDC
22.5 = 20
Serão necessários 20cm em cada pedaço, sendo 240 + 320 + 420 =
980 ÷ 20 = 49 .
O marceneiro obteve 49 pedaços.
12) De 5 em 5 horas, o Sr. João toma um comprimido , de 3 em 3 horas um
xarope. Se à meia noite ele tomou os dois remédios, a que horas voltará
a tomar os dois remédios juntos?
Solução:
MMC (5; 3) = 15
Às 15 horas.
13) De 16 em 16 dias, do porto de Santos, partem navios argentinos; de 40
em 40 dias, partem navios uruguaios. Se num certo dia, houvesse a
saída conjunta de navios das duas nações, depois de quantos dias essa
coincidência voltará a ocorrer?
Solução:
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MMC (16; 40)=
5.22.2 2 = 80
Depois de 80 dias.
14) Num país, os presidentes são eleitos a cada 5 anos e os prefeitos, a
cada 4 anos. Se, em 1992, houve coincidência das eleições para esses
cargos, qual o próximo ano em que elas voltarão a coincidir?
Solução:
MMC (5; 4) = 20
Então
1992+20= 2012
Em 2012 as eleições para presidente e prefeito irão coincidir.
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Escalada Acidental
Os dois amigos estão escalando uma montanha enorme quando, de
repente, um deles pisa em falso e despenca lá de cima, desaparecendo
no abismo.
Imediatamente o outro contacta-o pelo walkie-talkie:
- Alô... Alô... você está bem?
- Sim, estou bem!
- Quebrou algum osso?
- Não, nenhum!
- Então, volta a subir que eu te espero!
- Não posso! Eu ainda estou caiiiiinnnnddddooooo!
eh!!eh!!!continuaanndo!!!!
15) Duas rodas de engrenagem têm respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada
roda tem um dente estragado. Se num dado instante estão em contato
os dois dentes estragados, depois de quantas voltas esse encontro se
repetirá?
Solução:
MMC (14; 21)=42
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42 ÷ 14 (roda menor) = 3 voltas
42 ÷ 2 1 (roda maior) = 2 voltas
Esse encontro se repetirá com 3 voltas da roda menor e 2 voltas da roda
maior.
16) Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8, e 9, qual é o maior número natural
de quatro algarismos diferentes que se pode escrever? E o menor?
Solução:
Maior número = 9 8 7 6
Menor número = 1 2 3 4
17) (ISB, 2006) Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto é
o maior possível. Então o dividendo é:
a) ( ) 151
b) ( ) 165
c) ( ) 175
d) ( x ) 179
e) ( ) 181
Solução:
Fórmula:
D= dividendo
d= divisor
q= quociente
R= resto
D= d ⋅ q + R
→ Sendo que R= (d-1)
D= 15 ⋅ 11 + (15-1)
D= 15 ⋅ 11 + 14
D= 165 + 14
D= 179
Letra D
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO III
18) (UEMS) Considere-se o número de 9 algarismos dos quais o algarismo
das unidades é n e todos os demais são iguais a 2, ou seja:
222222222 n
O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é:
a) ( x ) 2 ou 8
b) ( ) 2 ou 7
c) ( ) 3 ou 6
d) ( ) 4 ou 5
Resolução
2 ⋅ 8 + n = 18
16 + n = 18
2 ⋅ 8 + n = 24
16 + n = 24
ou
n=2
n =8
19) (FATEC/2005). Se x = 0,1212... , o valor numérico da expressão:
 1 
 x +  x  − 1
   
 2  1 
 x +  x 
 

a) ( )
1
37
e) ( )
51
37
b) ( )
21
37
é:
c) ( x )
33
37
d) ( )
43
37
Solução:
Parte I: Cálculo da geratriz da dízima x = 0,1212...
x = 0,12 =
12 4
=
99 33
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Parte II: Desenvolvimento da expressão: substituí na expressão o x =

  
 4   1  
  +   − 1
 33   4  

 33  
=

 
 4  2  1  
  +   
 33   4  

 33  
4
.
33
 4   1 33  
 33  +  1 ⋅ 4  − 1
 
  
=
 16   33  
 +  

 1089   4  
 4 33  16 + 1089 − 132 
 33 + 4 − 1 

132
=
=
33 
 16
 64 + 35937 
1089 + 4 
 4356 
973
1
33
132 = 973 ⋅ 4356 = 33
36001 132 36001 37
1
37
4356
Letra C
Observação: outra alternativa é resolver a expressão para posterior
substituição.
O valor da expressão seria:
substituindo por x =
1
( x + 1)
4
33
daria
33
37
20)(ISB, 2006) Calculando o valor de x , na expressão abaixo, obteremos:
x=
5
222 + 2 21 + 2 20
7
a) ( x ) 16
b) ( ) 8
c) ( ) 4
d) ( ) 2
e) ( )
1
2
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Solução:
x=
5
5
2 22 + 221 + 220 5 2 20 ⋅ 22 + 220 ⋅ 21 + 2 20
=
=
7
7
220 ( 22 + 2 + 1)
7
x = 16
=
5
220 ( 7 )
7
= 2 20 = 2 4
5
4
Letra A
21)(PUC-MG/2004) Se a e b são números reais inteiros positivos tais que
a − b = 7 e a 2b − ab 2 = 210 , o valor de a ⋅ b é:
a) ( ) 7
b) ( ) 10
c) ( x ) 30
d) ( ) 37
e) ( ) 40
Solução:
a −b = 7
a 2b − ab 2 = 210
ab ( a − b ) = 210
ab ( 7 ) = 210
210
7
a ⋅ b = 30
ab =
Letra C
22)(UFMG/2005) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500
e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos de 50
unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se fossem colocadas em
sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim
sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos
com 35 unidades cada um?
a) ( ) 4
b) ( ) 5
c) ( ) 7
d) ( x ) 2
e) ( ) 1
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Solução:
MMC (50; 36) = 900
900 + 12 = 912
912 35
−70 26
___
212
−210
___
2 Resto
Letra D
23)(UPF – RS) O valor numérico da expressão
a − bc
1
, para a = ,
b
2
a −1 −
c
b = −2 e c = 4 , é:
a) ( ) 10
b) ( ) 4
c) ( ) 0,294
d) ( x ) 3,4
e) ( ) 21,25
Solução:
1
1
1 + 16 17
− ( −2 ⋅ 4 )
+8
2
= 2
= 2 = 2 =
−1
2
8 + 2 10
1
 2 2+
−
−
 


4
4
4
2
 4
17 4 68
⋅ =
= 3, 4
2 10 20
Letra D
24)(UNOPAR – PR) O resultado de 20 ÷ 0,125 é igual a:
1
a) ( ) 20 ⋅  
2
3
b) ( ) 4 ⋅ 52
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23
CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO III
c) ( ) 20 ⋅10 −3
d) ( x ) 5 ⋅ 25
e) ( ) ( 0, 4 )
3
Solução:
I Etapa:
20 0,125
20000 125
−125
160
____
0750
−750
____
000
II Etapa:
mmc(160) = 25.5 = 160 Letra D
25) (Solução/2006) Calcular
3
de 120.
4
Solução:
3
⋅120 = 90
4
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24
CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO III
26) (Solução/2006) Uma peça de fazenda, depois de molhada, encolheu
3
do seu comprimento, ficando com 33 metros. Quantos metros tinha a
14
peça e qual foi o seu custo, sabendo-se que o metro da fazenda valia
R$7,25?
Solução:
1−
3 14 − 3 11
=
=
14
14
14
11
= 33 metros
14
Se
11
correspondem a 33 metros
14
1
correspondem a 3 metros
14
Então os
14
serão : 14 ⋅ 3 = 42 metros
14
Se a peça tinha 42 metros e cada metro custa R$7,25, então o seu preço
será:
42 ⋅ 7, 25 = R$ 304, 50
A peça tinha 42 metros e o seu custo foi de R$304,50.
27) (Solução/2006) Um estudante tinha R$80,00. Gastou
1
e depois mais
4
5
do resto. Quanto ainda lhe restou?
6
Solução:
4
= 80
4
Então
1
= 20
4
80 − 20 = R$ 60, 00
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25
CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO III
60 5
⋅ = 50
1 6
(
5
do resto)
6
80 − 20 − 50 = 10
Restou-lhe R$10,00
28) (Solução/2006) Dividir a quinta parte de
3
6
pela terça parte de .
5
7
Solução:
3
5 = 3⋅1 = 3
5 5 5 25
6
7 = 6⋅1 = 6
3 7 3 21
1
3 21 21
⋅ =
25 6 50
2
Ufah!!!Você deve estar muito cansado!!!!!
Agora experimente realizar o seguinte teste de ilusão de ótica para testar
seu cérebro...
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26
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Fonte: www.solbrilhando.com.br
l
Até o quarto módulo......
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