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09. Determine a probabilidade de extração de um valete
de ouros de um baralho de 52 cartas.
Probabilidade
• Eventos excludentes: só somar
Regra do ou
(soma)
• Eventos não excludentes: além de
somar, temos que subtrair o(s)
elemento(s) comum(ns)
• com reposição
• nesta ordem
• sem ordem (permutar)
Regra do e
(multiplicação)
• sem reposição
• nesta ordem
• sem ordem (permutar)
EXERCÍCIOS
01. Extrai-se uma só carta de um baralho de 52 cartas.
Determine a probabilidade de obter:
a.) um valete
b.) um figura
c.) uma carta vermelha
d.) urna carta de ouros
e.) um dez de paus
f.) um nove vermelho ou um oito preto
02. Joga-se urna vez: um dado equilibrado, determine a
probabilidade de obter:
a.) um seis
b.) cinco, seis ou sete
c.) um número par
d.) um número menor que quatro
03. Há 50 bolas numa urna, distribuídas corno segue:
Cor
Azul
Vermelho
Laranja
Verde
TOTAL
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
Número
20
15
10
5
50
Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a
probabilidade de a bola escolhida ser:
a.) verde
b.) azul
c.) azul ou verde
d.) não vermelha
e.) vermelha ou verde
f.) amarela
g.) não amarela
04. Dez fichas são numeradas de 0 a 9 e colocadas em
uma urna. Escolhida uma aleatoriamente, determine a
probabilidade de sair:
a.) o número 3
b.) um número ímpar
c.) um número menor que 4
d.) o número 10
05. Os dados compilados pela gerência de um
supermercado indicam que 915 dentre 1500 compradores
de domingo gastam mais de $ 10,00 em suas compras.
Estime a probabilidade de um comprador em qualquer
domingo gastar mais de $ 10,00.
06. Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6
horas da manhã num trecho de uma estrada federal
revelou que, de 200 carros que pararam para uma
verificação rotineira de segurança. 25 tinham pneus em
más condições. Estime a probabilidade de um carro que
pare naquele trecho ter os pneus bons.
07. Qual a probabilidade de extração de uma carta de
copas ou uma carta de paus de uma baralho?
08. Qual a probabilidade de extração de uma carta de
copas ou um dez de uma baralho?
10. Numa escola de primeiro grau, 30% são do primeiro
período, 35% do segundo, 20% do terceiro, e os restantes
do quarto período. Um dos estudantes ganhou $
1.000.000 numa loteria. Determine as seguintes
probabilidades:
a.) De o estudante ser do 4º período.
b.) De ser do 1º ou do 2º período.
c.) De não ser do 1º período.
11. Qual a probabilidade de extração de uma carta de
ouros ou um cinco de um baralho?
a.) 30,77%
b.) 25%
c.) 7,69%
d.) 32,69%
e.) 15,38%
12. Qual a probabilidade de extração de uma dama ou um
cinco de uma baralho?
a.) 15,54%
b.) 25%
c.) 7,69%
d.) 32,69%
e.) 15,38%
13. Um grupo de 100 universitários é formado por 52
estudantes de engenharia, 27 de medicina, 19 de filosofia
e os demais de direito. Escolhido ao acaso um elemento
do grupo, qual a probabilidade de ele ser estudante de
engenharia ou medicina?
a.) 1404/10000
b.) 52/100
c.) 79/100
d.) 27/100
e.) 52/27
14. As falhas de diferentes máquinas são independentes
umas das outras. Se há quatro máquinas, e se suas
respectivas probabilidades de falha são 1%, 2%, 5% e
10% em determinado dia, calcule as probabilidades:
a.) De todas falharem em determinado dia
b.) De nenhuma falhar.
15. Se três lotes de peças contêm cada um 10% de peças
defeituosas, qual a probabilidade de um inspetor não
encontrar nenhuma defeituosa ao inspecionar uma peça
de cada um dos três lotes?
16. Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5.
Tirando-se 3 bolas ao acaso, qual a probabilidade de sair
as bolas 1,2,3?
a.) 15%
b.) 5%
c.) 10%
d.) 30%
e.) 1,67%
17. Um casal deseja ter 4 filhos: 3 homens e uma mulher.
Qual a probabilidade de ocorrer o que o casal deseja?
a.) 31,25%
b.) 25%
c.) 40%
d.) 37,50%
e.) 50%
18. Lança-se uma moeda 5 vezes, qual a probabilidade de
ocorrer 3 caras e duas coroas?
a.) 31,25%
b.) 25%
c.) 40%
d.) 37,50% e.) 50%
19. Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5.
Tirando-se 3 bolas ao acaso, qual a probabilidade de sair
as bolas 1,2,3, nesta ordem?
a.) 15%
b.) 5%
c.) 10%
d.) 30%
e.) 1,67%
20. Num sorteio, concorreram 50 bilhetes com números
de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5.
A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
a.) 15%
b.) 5%
c.) 10%
d.) 30%
e.) 20%
21. Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade
de nascerem dois meninos e duas meninas é:
a.) 3/8
b.) 1/2
c.) 6/8
d.) 8/6
e.) 8/3
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1
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22. (AFC) Entre doze candidatos que participaram de um
teste, quatro foram reprovados. Se três dos candidatos
fossem selecionados, aleatoriamente, um após o outro,
qual a probabilidade de que todos esses alunos tivessem
sido aprovados?
a.) 14/55
b.) 8/55
c.) 8/27
d.) 27/55
e.) 16/27
23. Márcio tem dois velhos automóveis. Nas manhãs
frias, há 20% de probabilidade de um deles não “pegar” e
30% de o outro não “pegar".
a.) Qual a probabilidade de nenhum "pegar"?
b.) Qual a probabilidade de apenas um "pegar"?
c.) Qual a probabilidade de pelo menos um "pegar"?
24. Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações
trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de
bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione
aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem
analisados. Com base nessas informações, assinale a
alternativa do valor mais próximo da probabilidade de
que, nesse grupo, todos os processos sejam de
bancários.
a.) 1,25%
b.) 0,45%
c.) 25%
d.) 7,5%
e.) 12,5%
25. Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações
trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de
bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione
aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem
analisados. Com base nessas informações, assinale a
alternativa do valor mais próximo da probabilidade de
que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de
professor.
a.) 16%
b.) 54%
c.) 84%
d.) 75%
e.) 44%
GABARITO
1. a.) 4/52 ; b.) 12/52 ; c.) 26/52 ; d.) 13/52 ; e.) 1/52 ; f.) 4/52
2. a.) 1/6 ; b.) 2/6 ; c.) 3/6 ; d.) 3/6
3. a.) 5/50 ; b.) 20/50 ; c.) 25/50 ; d.) 35/50 ; e.) 20/50 ;
f.) 0/50 ; g.) 50/50
4. a.) 1/10 ; b.) 5/10 ; c.) 4/10 ; d.) 0/10
5. 915/1500
8. 16/52
11. A
12. E
6. 175/200
7. 26/52
9. 1/52
10. a.) 0,000001 ; b.) 0,83
13. C
14. a.) 15% ; b.) 65% ; c.) 70%
15. 72,9%
16. C
20. C
17. B
18. A
19. E
21. A
22. A
23. a.) 0,06 ; b.) 0,38; c.) 0,94
25. B
26. C
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES PARA VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS DISCRETAS
1
5
a.) (0,2) . (0,8)
1
5
c.) 6 . (0,2) . (0,8)
1
e.) 6 . (0,2) . (0,8)
b.) (0,2)1 . (0,8)5
d.) 6 . (0,2)5 . (0,8)1
3. Uma empresa produz 20% de peças defeituosas. As
peças são embaladas em caixas que contêm 6 peças.
Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa
contendo duas peça defeituosa;
a.) (0,2)6 (0,8)4
b.) (0,2)6 (0,8)4
2
4
c.) 15 . (0,2) . (0,8)
d.) 6 . (0,2)4 (0,8)6
4
e.) 6 . (0,2) . (0,8)
4. (AFTN/98) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem
carro importado. Dez pessoas dessa cidade são
selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade
de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam
carro importado é:
7
3
b.) (0,1)3 . (0,9)7
a.) (0,1) . (0,9)
7
3
d.) 120 . (0,1) . (0,9)7
c.) 120 . (0,1) (0,9)
7
e.) 120 . (0,1) (0,9)
5. (BACEN/98) Suponha que a probabilidade de um carro
qualquer sofrer um acidente ao longo de 1 ano seja 1%.
Se tomarmos uma amostra de 10 carros, a probabilidade
de que nesta amostra nenhum carro se acidente ao longo
de 1 ano (admitindo independência entre os acidentes) é
a.) 0,80
b.) 1 – (0,01)10
c.) 0,99
10
e.) 0,10
d.) (0,99)
6. (ICMS-SP/02) Os produtos de uma empresa são
vendidos em lotes de 4 peças e, se houver uma ou mais
peças defeituosas no lote, o comprador não paga. Se a
proporção de defeituosos da fábrica é de 10%, então a
probabilidade de isto acontecer é de, aproximadamente,
a.) 0,19
b.) 0,27
c.) 0,34
d.) 0,40
e.) 0,46
7. (ICMS-MG/05) Suponha que a probabilidade de que se
encontre um erro contábil grave em uma auditoria seja
0,2. Se dez auditorias independentes são realizadas,
assinlae a opção que dá a probabilidade de que não mais
do que uma detecte erro contábil grave.
a.) 2,8 . (4/5)
b.) 0,400
c.) (0,2)10
10
9
d.) 2,8.(4/5)
e.) 2,8.(4/5)
8. Um exame do tipo teste é constituído de 10 questões,
cada uma delas com 5 alternativas, das quais apenas
uma é correta. Se um estudante responde às questões ao
acaso, qual a probabilidade que consiga acertar
exatamente 6 questões?
a.) 210 . (0,8)4 . (0,2)6
b.) (0,8)6. (0,2)4
4
6
c.) 80. (0,8) . (0,2)
d.) 120 . (0,8)6. (0,2)4
4
6
e.) (0,8) . (0,2)
1. B
8. A
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
1. Uma empresa produz 20% de peças defeituosas. As
peças são embaladas em caixas que contêm 6 peças.
Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa
contendo nenhuma peça defeituosa;
1
6
6
6
a.) (0,2) . (0,8) b.) (0,8) c.) 6.(0,8)
6
6
e.) 6 . (0,2)
d.) (0,2)
2. Uma empresa produz 20% de peças defeituosas. As
peças são embaladas em caixas que contêm 6 peças.
Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa
contendo uma peça defeituosa
2
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
Atualizada em 15/10/2009
2. C
3. C
GABARITO
4.C
5. D
6. C
7.E
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Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
DISTRIBUIÇÃO POISSON
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
1. Um processo mecânico produz tecido para tapetes
com uma média de três defeitos por jarda. Determine a
probabilidade de uma jarda:
a.) Não ter nenhum defeito, admitindo-se que o processo
possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.
b.) Ter exatamente um defeito, admitindo-se que o processo
possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.
c.) Ter exatamente dois defeitos, admitindo-se que o
processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de
Poisson.
d.) Ter exatamente três defeitos, admitindo-se que o
processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de
Poisson.
e.) Ter exatamente quatro defeitos, admitindo-se que o
processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de
Poisson.
Função distribuição probabilidade também chamado de
função densidade de probabilidade ou ainda função
repartição
2. Um processo mecânico produz tecido para tapetes
com uma média de três defeitos por jarda. Determine a
probabilidade de duas jardas:
a.) Não ter nenhum defeito, admitindo-se que o processo
possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.
b.) Ter exatamente um defeito, admitindo-se que o processo
possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.
3. Suponhamos que os navios cheguem a um porto à
razão de 2 navios por hora, e que essa razão seja bem
aproximada por um processo de Poisson. Determine a
probabilidade de:
a.) não chegar nenhum navio.
b.) chegarem dois navios.
c.) chegarem três navios.
d.) chegarem quatro navios.
e.) chegarem menos de dois navios.
4. Suponhamos que os defeitos em fios para tear possam
ser aproximados por um processo de Poisson com
média de 0,2 defeitos por metro. Inspecionando-se
pedaços de fio de 10 metros de comprimento, determine
a probabilidade de ter exatamente nenhum defeito:
a.) e-2
b.) e-0,8
c.) e-8
-0,2
-8
d.) e
e.) 2.e
5. Um tear produz um defeito cada 200 m de tecido
produzido. Se o número de defeitos admite distribuição
Poisson, calcule a probabilidade de uma peça com 20 m
não apresentar defeitos
-0,005
b.) e-0,1
c.) e-1
a.) e
-0,2
-8
d.) e
e.) 20.e
6. Suponhamos que os defeitos em fios para tear possam
ser aproximados por um processo de Poisson com
média de 0,2 defeitos por metro. Inspecionando-se
pedaços de fio de 10 metros de comprimento, determine
a probabilidade de ter exatamente 2 defeitos
a.) e-2
b.) e-0,8
c.) e-8
-0,2
-2
d.) e
e.) 2.e
GABARITO
1.
a.) e-3
-3
d.) 4,5 e
b.) 3 e-3
e.) 3,375 e-3
2.
a.) e-6
b.) 6 e-6
3.
a.) e-2
d.) 0,66 e-2
b.) 2 e-2
e.) 3 e-2
4. A
5. B
6. E
c.) 4,5 e-3
c.) 1,33 e-2
Uma função de probabilidade é a probabilidade de que a
variável aleatória X assuma um valor probabilístico
X
P(X)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
Já uma função distribuição de probabilidades é a
probabilidade de que a variável X assuma um valor
probabilístico menor ou igual a P(X)
X
P(X)
0
1/4
1
3/4
2
4/4
Exercícios
1. (SUSEP/2002) A variável aleatória X tem função de
distribuição de probabilidades dada por
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que
X assuma o valor 3.
a.) 0
b.) 1/16
c.) 1/8 d.) 13/16
e.) 3/4
2. (Banco Central/2001) Uma variável aleatória X tem
função de distribuição de probabilidades dada por
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de X=2.
a.) 7/12
b.) 11/12
c.) 1/3
d.) 3/4
e.) 10/12
3. (Banco Central/2001) A variável aleatória X tem
distribuição de probabilidades do tipo absolutamente
contínuo com densidade de probabilidades
onde α é uma constante positiva maior do que um.
Assinale a opção que dá o valor de α para que se tenha
P(X>1) = 0,25.
a) 4
b) 0
c) 3
d) 1
e) 2
4. X é uma variável aleatória discreta, tal que a função
densidade de probabilidade é dada por:
F(-2) = 0,3; F(0) = 0,5; F(1) = 0,6; F(2) = 0,8; F(5) = 1,0;
a.) Calcule a expectância.
b.) Calcule P(-1 ≤ X ≤ 4).
c.) Calcule a variância.
Atualizada em 15/10/2009
3
RECEITA FEDERAL
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O enunciado a abaixo será utilizado para responder as
questões 5 e 6
Uma variável aleatória
probabilidade dada por:
P( X )=
β
discreta
tem
função
d.) 0,25
e.) 1,50
6. Calcule o valor de P(X=2)
a.) 0,00
b.) 1,00
c.) 0,50
d.) 0,25
e.) 1,50
de
7. (AFPS/2002) Considere uma variável aleatória X do tipo
discreto com espaço { x1 ……xn } onde os xi são
distintos. Seja f(x) a função massa de probabilidades de
X e µx a sua expectância. Assinale a opção que
corresponde à variância de X.
∑
c.) (∑
e.) (∑
a.)
10. (MPU/04) Uma variável aleatória X tem função de
distribuição
para X = 1, 2, 3, 6
X
5. Calcule o valor de β
a.) 0,00
b.) 1,00
c.) 0,50
n
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
x f ( xi )
i =1 i
)
2
n
x f ( xi )
i =1 i
x f ( xi ) − µ x
n
2
i =1 i
∑ (x − µ )
d.) ∑ x f ( x )
b.)
)
n
i =1
2
i
x
n
2
i =1 i
i
f ( xi )
Assinale a opção que corresponde ao valor da função
massa de probabilidades (ou função densidade de
probabilidades, se for o caso) de X no ponto x=1.
a.) 0,250
b.) 0,333
c.) 0,083
d.) 0,583
e.) 0,417
GABARITO
1. C
5. C
2. C
6. D
3. E
7. B
4. a.) 0,9 b.) 0,5 c.) 6,29
8. C
9. B
10. B
0,5
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES PARA VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
8. (AFPS/2002) Uma variável aleatória X tem função de
distribuição de probabilidades
Assinale a opção correta.
a.) A variável aleatória X é do tipo contínuo e P {X≤0,5} < 0,5
b.) A variável aleatória X é do tipo contínuo e P {X>0,5} = 0,5
c.) A variável aleatória X é do tipo discreto e tem massa de
probabilidades concentrada no conjunto {0,1}
d.) A variável aleatória X é do tipo contínuo e P {X≤0,5} = 0,5
e.) A variável aleatória X é do tipo discreto e P {X=0} = 0
9. (ICMS-MG/05) Uma variável aleatória X tem função de
distribuição de probabilidades dada por
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
1. Trace a curva normal e sombreie a área desejada,
obtendo então as áreas:
a.) à direita de z = 1,0
b.) à esquerda de z = 1,0
c.) à direita de z = -0,34
d.) entre z = 0 e z = 1,5
e.) entre z = 0 e z = -2,88
f.) entre z=-0,56 e z=-0,20
g.) entre z = -0,49 e z = 0,49
h.) entre z = 2,5 e z = 2,8
i.) à esquerda de z = -0,2
j.) à direita de z = -0,2
k.) entre z = -0,2 e z = 0
l.) entre z = -0,2 e z = 0,4
2. Calcular o valor das seguintes probabilidades:
a.) P(0 ≤ z ≤ 1,93)
b.) P(z ≥ 1.93)
c.) P(z ≤ 1,93)
d.) P(0 ≤ z ≤ 1)
e.) P(-2,55 ≤ z ≤ 1,2)
f.) P(-1 ≤ z ≤ 1)
g.) P(z ≥ 1)
h.) P(z ≤ -1)
i.) P(0,5 ≤ z ≤ 1)
j.) P(z ≥ 0,5)
k.) P(z ≤ -0,5)
l.) P(-0,5 ≤ z ≤ 1)
m.) P(z ≥ -1,2)
n.) P(z ≤ -1,2)
o.) P(z ≤ -1,62)
3. Dado uma população com média 25 e desvio padrão 2
tem distribuição normal, determine os valores de z para
os seguintes valores da população:
a.) 23,0
b.) 23,5
c.) 24,0
d.) 25,2
e.) 25,5
Assinale a opção correta:
a.) X é do tipo (absolutamente) contínuo e P(2<x≤4) = 0,461
b.) X é do tipo discreto e P (2<X≤4) = 0,658
c.) X é do tipo discreto e P (2<X≤4) = 0,506
d.) X é do tipo (absolutamente) contínuo e P(2<x≤4) = 0,506
e.) X não é do tipo discreto nem (absolutamente) contínuo e
P(2<x≤4) = 0,506
4
4. Uma população normal tem média 40 e desvio padrão
3. Determine os valores correspondentes para os
seguintes valores de z:
a.) 0,10
b.) 2,00
c.) 0,75
d.) -2,53
e.) -3,00
f.) -3,20
5. Considere X um v.a. com distribuição normal, a qual
tem média 50 e variância 100. Seja z a variável normal
padrão. Pede-se
a.) Determinar os valores de z correspondentes a x=30, x=50
e x=70.
b.) A probabilidade de x se menor que 50.
c.) A probabilidade de x ser maior que 70.
Atualizada em 15/10/2009
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6. Uma distribuição normal tem média 50 e desvio padrão
5. Que porcentagem da população está em cada um dos
intervalos seguintes:
a.) de 40 a 50
b.) de 49 a 50
c.) de 40 a 45
d.) de 56 a 60
e.) de 40 a 65
7. O salário médio dos 500 operários de uma região é de
$ 755,00 com desvio padrão de $ 75,00. Considerando-se
que os salários apresentam distribuição normal,
determine quantos salários podemos encontrar na faixa
de $ 600,00 a $ 775,00?
8. As alturas dos alunos de uma determinada escola são
normalmente distribuídas com média 1,60m e desvio
padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno
medir:
a.) entre 1,50 e 1,80m;
b.) mais de 1,75m;
c.) menos de 1,48m;
d.) exatamente 1,55m;
e.) qual deve ser a medida mínima para escolher 10% dos
mais altos;
9. A duração de um certo componente eletrônico tem
média 850 desvio padrão 45 dias. Calcular a
probabilidade desse com durar:
a.) entre 700 e 1.000 dias
b.) mais que 800 dias
c.) menos que 750 dias
d.) exatamente 1.000 dias
e.) Qual deve ser o número de dias necessários para que
tenha repor no máximo 5% dos componentes.
10. Os pesos de 600 estudantes são normalmente
distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg.
Encontre o número de alunos que pesam:
a.) entre 60 e 70kg
b.) mais que 63,2 kg
11. Suponha que as notas de uma prova sejam
normalmente distribuídas com média 73 e desvio padrão
15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e
12% dos mais atrasados recebem nota F. Encontre o
mínimo para receber A e o mínimo para passar, não
receber F.
12. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir
o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a
uma distribuição normal, de média 48.000 km e desvio
padrão 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu
escolhido ao acaso:
a.) durar mais que 46.000 km
b.) dure entre 45.000 e 50.000 km
c.) durar menos que 46.000 km
d.) dure entre 48.000 e 51.000 km
e.) durar mais que 41.000 km
f.) dure entre 49.000 e 52.000 km
13. (GDF/94) Um fabricante de baterias de automóvel
afirma que a média de vida útil de sua bateria é 60 meses.
Entretanto, a garantia dada à sua marca é apenas de 36
meses assuma que o desvio padrão da vida útil dessas
baterias seja 10 meses, e que a distribuição de
freqüência é aproximadamente normal. Qual a
percentagem de as baterias desse fabricante durarem
mais de 50 meses?
a.) 68%
b.) 76%
c.) 84%
d.) 92%
14. (TCU-DF/93) Considere X uma variável aleatória, com
distribuição normal, a qual tem média 50 e variância 100.
Seja Z=X-50/10. Assinale a opção correta.
a.) O evento {0<X<100} é um evento certo.
b.) O evento {40<X<60} U {X<45} tem probabilidade menor
que 0,5.
c.) Os eventos {X<50} e {Z<0} são mutuamente excludentes
d.) O evento {30<X<80} tem a mesma probabilidade que o
evento {-2< Z<3}.
e.) Os eventos {Z>1} e {Z<1} são independentes.
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
Para as questões 15 e 16, a tabela abaixo, que dá valores
das funções de distribuição da variável normal reduzida
e da variável de t-student, pode ser útil.
1
1,5
2
2,5
3
Normal
F(z) 0,691
z
0,5
0,841
0,933
0,977
0,994
0,999
t com 9º de liberdade
F(z) 0,685
0,828
0,916
0,962
0,983
0,993
t com 8º de liberdade
F(z) 0,685
0,827
0,914
0,960
0,982
0,991
15.) (BACEN/94) Suponha os pesos das pessoas,
normalmente distribuídos, em certo grupo, com média de
70 kg e desvio padrão de 8 kg. Escolhidas, ao acaso, 4
dessas pessoas, a probabilidade da soma dos seus
pesos ser maior que 296 kg é de:
a.) 0,309
b.) 0,159
c.) 0,067
d.) 0,023
e.) 0,006
16. Suponha os pesos das pessoas, normalmente
distribuídos, em certo grupo, com média de 50 kg e
desvio padrão de 6 kg. Escolhidas, ao acaso, 5 dessas
pessoas, a probabilidade da soma dos seus pesos ser
maior que 265 kg é de:
a.) 0,309
b.) 0,977
c.) 0,191
d.) 0,691
e.) 0,023
17. (Controladoria/99) O quadro abaixo é um extrato da
tabela da função de distribuição da variável aleatória
Normal de média 0 e desvio padrão 1, necessária à
resolução da questão em pauta.
Z
-3
-2
-1
0
1
2
3
(Z > z) 0,0013 0,0250 0,1587 0,5000 0,8413 0,9750 0,9987
Considere uma amostra aleatória com reposição, de
tamanho 16, de uma variável aleatória Normal de média 2
e variância 4. A probabilidade da média da amostra ser
maior do que 0,5 e menor do que 2,5 é igual a
a.) 0,70
b.) 0,72
c.) 0,74
d.) 0,76
e.) 0,84
Utilize o enunciado baixo para resolver as questões de
número 18 a 21
A duração de uma certa bateria de celular tem média 900
dias e desvio padrão 50 dias.
18. Calcular a probabilidade dessa bateria durar entre 800
e 1.000 dias
a.) 47,72%
b.) 2,28%
c.) 95,44%
d.) 97,72%
e.) 0%
19. Calcular a probabilidade dessa bateria durar mais que
800 dias
a.) 47,72%
b.) 2,28%
c.) 95,44%
d.) 97,72%
e.) 0%
20. Calcular a probabilidade dessa bateria durar menos
que 950 dias
a.) 34,13%
b.) 15,87%
c.) 68,26%
d.) 84,13%
e.) 0%
21. Calcular a probabilidade dessa bateria
exatamente 1.000 dias
a.) 47,72%
b.) 2,28%
c.) 95,44%
d.) 97,72%
e.) 0%
durar
22. Qual deve ser o número de dias necessários para que
tenha repor no máximo 10% dessas baterias
a.) 964
b.) 850
c.) 998
d.) 836
e.) 959
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5
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23. (SUSEP/01 ATUÁRIA) Uma moeda honesta é lançada
100 vezes e conta-se o número X de caras nos 100
lançamentos. Seja ψ (x) a função de distribuição da
normal padrão. Escolha a opção que corresponde à
aproximação normal da probabilidade de que X = 51.
a.) 0
b.) ψ ( 0,3 ) - ψ ( 0,1 )
c.) 1 - ψ ( 0,3 )
d.) ψ ( 0,3 ) - ψ ( 0,2 )
e.) 1- ψ ( 0,2 )
24. (AFPS/02 Administração Tributária Previdenciária) A
média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção
de 100 peças mecânicas são respectivamente, 16 Kg e
40g. Uma peça particular do lote pesa 18Kg. Assinale a
opção que dá o valor padronizado do peso dessa bola.
a.) –50
b.) 0,5
c.) 50
d.) –0,5
e.) 0,2
25. (ICMS-MG/05) As vendas em um mês de determinado
produto, de custo unitário, em reais, tem distribuição
normal com média de R$ 500,00 e desvio padrão de R$
50,00. Se a empresa decide fabricar, em um dado mês,
600 unidades do produto, assinale a opção que dá a
probabilidade de que a demanda não seja atendida. (Em
sua resposta faça uso da tabela da função distribuição
(x) da normal padrão dada abaixo).
x
1,85
1,96
2,00
2,12
a.) 5,0%
b.) 3,1%
c.) 2,3%
d.) 2,5%
a.) -1
4.
a.) 40,3
b.) 46
e.) 31 f.) 30,4
5.
a.) -2, 0 e 2 b.) 50%
6.
a.) 47,72% b.) 7,93% c.) 13,59%
e.) 97,54%
27. (AFPS/02 Administração Tributária Previdenciária) O
atributo X tem distribuição normal com média 2 e
variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro
quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal
padrão é 0,6745.
a.) 3,3490
b.) 0,6745
c.) 2,6745
d.) 2,3373
e.) 2,7500
GABARITO
1.
a.) 15,87%
d.) 43,32%
g.) 37,58%
j.) 57,93%
b.) 65,87%
e.) 49,80%
h.) 0,36%
k.) 7,93%
c.) 63,31%
f.) 13,30%
i.) 42,07%
l.) 23,57%
2.
a.) 47,32%
d.) 34,13%
g.) 15,87%
j.) 30,85%
m.) 88,49%
b.) 2,68%
e.) 87,95%
h.) 15,87%
k.) 30,85%
n.) 11,51%
c.) 2,68%
f.) 68,26%
i.) 14,98%
l.) 53,28%
o.) 5,26%
b.) -0,75
c.) -0,5 d.) 0,1
e.) 0,25
c.) 42,25
d.) 32,41
c.) 2,28%
d.) 9,23%
7. 293
8.
a.) 37,47%
e.) 1,98 m
b.) 30,85%
c.) 34,46%
d.) 0%
9.
a.) 100%
e.) 925
b.) 86,65%
c.) 1,32%
d.) 0%
10. a.) 380
b.) 389
11. 88,5 e 55
12. a.) 84,13%
d.) 43,32%
14. D
19. D
24. C
b.) 77,45%
e.) 99,98%
15. A
20. D
25. C
c.) 2,28%
f.) 28,57%
16. A
21. D
26. A
17. E
22. D
27. A
TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA MÉDIA
e.) 4,0%
26. (SUSEP/01 ATUÁRIA) O tempo de vida útil de uma
pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo
contínuo, média de 40 horas e desvio-padrão de 20
horas. Usa-se a pilha até que sua energia se esgote
quando é substituída por uma nova. Suponha que se
tenha à disposição um estoque de 25 pilhas com tempos
de vida com essas características e independentemente
distribuídos. Seja ψ (x) a função de distribuição da
normal padrão. Assinale a opção que corresponde à
aproximação do Teorema Central do Limite para a
probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo
menos 1.100 horas de uso contínuo.
a.) 1-ψ (1)
b.) ψ (1)
c.) ψ (2)
d.) 0,5
e.) ψ (2) - ψ (1)
6
3.
13. C
18. C
23. A
(x)
0,968
0,975
0,977
0,983
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
1. Determine quais dos seguintes testes são bilaterais, e
quais são unilaterais. No caso unilateral, indique se se
trata de teste da cauda esquerda ou da direita.
a.) H1 : µ ≠ 5
b.) H1 : µ < 5,85
c.) H1 : µ > 21
d.) H1 : µ > 0,84
e.) H1 : µ ≠ 3,90
f.) H1 : µ < 13
2. Suponha que o leitor que dispõe da seguinte
H1 : p ≠ 35
informação:
Ho : p = 35
a.) Explique por que a probabilidade de um Erro Tipo II é zero
se a média populacional é 35.
b.) Explique por que a probabilidade de um Erro Tipo I é zero
se a média populacional é diferente de 35.
3. Formule as hipóteses as hipóteses nulas e alternativas
para cada uma das seguintes situações:
a.) Uma organização de teste de produtos duvida da
afirmação de um fabricante de que suas pilhas tenham uma
vida média de 25 horas sob operação contínua.
b.) Tubos galvanizados devem ter uma média de 2 polegadas
para serem aceitáveis.
c.) Um fabricante de conservas deseja evitar excesso no
enchimento de potes de 100 gramas de geléia.
d.) O fabricante do item anterior deseja evitar deficiência e
excesso no enchimento dos potes.
4. Uma amostra aleatória de 36 elementos retirados de
uma população normal com desvio padrão 3 apresentou
um valor médio igual a 60. teste, ao nível de significância
de 5%, a hipótese de que a média populacional seja igual
a 59, supondo a hipótese alternativa da média ser maior
que 59.
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Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
5. Uma amostra aleatória de 16 elementos retirados ao
acaso de uma população normal apresentou média igual
a 100 e desvio padrão 5. teste ao nível de significância de
5%, a hipótese de que a média populacional seja 102,
supondo a hipótese alternativa de que a média é menos
que 102.
se que a afirmação do vendedor é verdadeira.
a.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
b.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
c.) rejeita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
d.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
e.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
6. Escolheu-se uma amostra de 49 pneus e obteve-se
uma média igual a 58.600 Km com desvio padrão igual a
5.600 Km. Teste a afirmação de um fabricante que diz que
seus pneus duram 60.000 Km em média, ao nível de
significância de 1%, 2% 5% e 10%.
12. Um fabricante de pneus afirma que a vida útil dos
seus pneus é 50.000 Km. De um lote de 49 pneus obtevese média de 49.500 Km e um desvio padrão de 1.500 Km.
Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância
de 2,5% e indique qual o provável tipo de erro, sabendose que a afirmação do vendedor é falsa.
a.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
b.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
c.) rejeita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
d.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
e.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
7. Uma agência de empregos alega que os candidatos
por ela colocados nos último seis meses têm salário de
R$ 9.000,00 anuais, em média. Uma agência
governamental extraiu uma amostra aleatória daquele
grupo, encontrando um salário médio de R$ 8.000,00,
com desvio padrão de R$ 1.000,00, com base em 100
empregados.
a.) Qual a distribuição amostral teoricamente correta? Por
que?
b.) Que distribuição amostral pode ser usada para obter uma
aproximação satisfatória?
c.) Teste a afirmação, contra a alternativa de que o salário
médio é inferior a R$ 9.000,00, ao nível de significância de
0,05.
8. (BACEN/94) um teste de hipótese foi aplicado e, ao
nível de significância de 5%, rejeitou-se Ho. O que
acontecerá, se forem adotados os níveis de significância
de 1% e de 10%, respectivamente?
a.) Rejeitar-se-á Ho em ambos os casos.
b.) Rejeitar-se-á Ho a 1% e nada se pode afirmar quanto ao
de 10%
c.) Nada se pode afirmar quanto ao de 1% e rejeitar-se-á Ho
a 10%.
d.) Nada se pode afirmar em ambos os casos.
e.) Aceitar-se-á Ho a 1% e rejeitar-se-á Ho a 10%.
9. Um fabricante de pneus afirma que a vida útil dos seus
pneus é 50.000 Km. De um lote de 49 pneus obteve-se
média de 49.500 Km e um desvio padrão de 3.500 Km.
Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância
de 2,5% e indique qual o provável tipo de erro, sabendose que a afirmação do vendedor é verdadeira.
a.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
b.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
c.) aceita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
d.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
e.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
10. Um fabricante de pneus afirma que a vida útil dos
seus pneus é 50.000 Km. De um lote de 49 pneus obtevese média de 49.500 Km e um desvio padrão de 3.500 Km.
Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância
de 2,5% e indique qual o provável tipo de erro, sabendose que a afirmação do vendedor é falsa.
a.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
b.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
c.) aceita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
d.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
e.) rejeita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
11. Um fabricante de pneus afirma que a vida útil dos
seus pneus é 50.000 Km. De um lote de 49 pneus obtevese média de 49.500 Km e um desvio padrão de 1.500 Km.
Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância
de 2,5% e indique qual o provável tipo de erro, sabendo-
13. Um fabricante de pneus afirma que a vida útil dos
seus pneus é 50.000 Km. De um lote de 49 pneus obtevese média de 49.000 Km e um desvio padrão de 2.000 Km.
Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância
de 2,5% e indique qual o provável tipo de erro, sabendose que a afirmação do vendedor é falsa.
a.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1.
b.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
c.) aceita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro.
d.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
e.) rejeita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
14. Um fabricante de pneus afirma que a vida útil dos
seus pneus é 50.000 Km. De um lote de 49 pneus obtevese média de 49.000 Km e um desvio padrão de 2.000 Km.
Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância
de 2,5% e indique qual o provável tipo de erro, sabendose que a afirmação do vendedor é verdadeira.
a.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2;
b.) aceita-se Ho, cometendo um erro do tipo 2
c.) aceita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro.
d.) rejeita-se Ho, cometendo um erro do tipo 1
e.) rejeita-se Ho, não cometendo nenhum tipo de erro
15. Um fabricante de automóveis afirma que em média
seu novo modelo tem rendimento superior a pelo menos
16 km por litro de combustível quando conduzido a 80
km/h. Para testar essa afirmação tornou-se uma amostra
de 16 carros do tipo especificado pelo fabricante e
mediu-se o rendimento de cada um a 80 km/h. A média
amostral dos rendimentos foi 15 km por litro e o desvio
padrão de 2 km por litro. Assinale a opção que dá o valor
correto da estatística teste da hipótese nula de
rendimento igual ou superior a 16 km por litro. (suponha
a população de rendimentos normal e os itens amostrais
independentes)
a.) + 3,0
b.) – 1,0
c.) – 1,5
d.) – 2,0
e.) – 2,5
16. Um atributo X tem distribuição aproximadamente
normal com média µ e variância σ2. A partir de uma
amostra aleatória de tamanho 16 da população definida
por X, deseja-se testar a hipótese Ho : µ = 22 contra a
alternativa Ha : µ ≠ 22. Para esse fim calcula-se a média
amostral x = 30 e a variância amostral S2 = 100. Assinale
a opção que corresponde à probabilidade de
significância (p-valor) do teste.
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7
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a.) 2P { T > 3,2 } onde T tem distribuição de Student com 15
graus de liberdade.
b.) P { |Z| > 3,2 } onde Z tem distribuição normal padrão.
c.) P { Z < -2,2 } onde Z tem distribuição normal padrão.
d.) P { T < -3,2 } onde T tem distribuição de Student com 15
graus de liberdade.
e.) P { |T} > 2,2 } onde T tem distribuição de Student com 15
graus de liberdade.
GABARITO
1.
a.) bilateral
c.) unilateral à direita
e.) bilateral
2.
a.) Como Ho
acontecer é o
é rejeitado.
b.) Como Ho
acontecer é o
é aceito.
b.) unilateral à esquerda
d.) unilateral à direita
f.) unilateral à esquerda
foi aceito, o único tipo de erro que poderia
Erro Tipo I. Erro Tipo II só acontece quando Ho
foi rejeita, o único tipo de erro que poderia
Erro Tipo II. Erro Tipo I só acontece quando Ho
3.
a.) Ho: µ = 25% ; H1: µ < 25
c.) Ho: p = 100 ; H1: p > 100
b.) Ho: µ = 2 ; H1: µ ≠ 2
d.) Ho: p = 100 ; H1:p ≠100
4.) Rejeitar Ho, concluir que a média é maior que 59.
5.) Aceitar Ho, concluir que a média é 102.
6.) Ho é aceito nos níveis de 1% e 2%, concluindo os pneus
duram 60.000 Km em média. Ho é rejeitado nos níveis de 5 e
10%, concluindo que os pneus duram menos de 60.000 Km.
7.)
a.)T-student, pois o desvio padrão populacional não é
conhecido
b.)Curva Normal
c.)Rejeitar Ho, concluir que µ < R$ 9.000,00
8. C
15. D
9. C
16. D
10. B
11. D
12. C
13. E
14. D
aleatória de 400 pregos acusa 40 defeituosos. Teste
afirmação ao nível de significância de 1%.
5. Uma pesquisa conclui que 9 em 10 médicos
recomendam aspirina a pacientes que têm filhos. Teste
essa afirmação, ao nível de significância de 5%, contra a
alternativa de que a percentagem é inferior a 90%, se, em
uma amostra aleatória de 100, 80% recomendam aspirina.
6. Um jornal afirma que aproximadamente 20% dos
adultos em sua área de circulação são analfabetos
segundo padrões governamentais. Teste a afirmação
contra a alternativa de que a verdadeira percentagem não
é 20%, ao nível de significância de 5%. Uma amostra de
400 pessoas indica que apenas 25% seriam considerados
analfabetos segundo os mesmo padrões.
7. O governo alega que no máximo 15% das famílias de
certa área recebem renda inferior ao nível considerado
como pobreza. Numa amostra aleatória de 64 famílias,
encontraram-se 12 em tais condições. Teste a alegação,
contra a alternativa p > 15%.
8. Joga-se 144 vezes uma moeda supostamente honesta,
aparecendo cara 90 vezes. Acha que a moeda é
realmente honesta? Explique.
9. (ICMS-MG/05) Um fabricante afirma que pelo menos
95% dos equipamentos que fornece à indústria encnotrase dentro de suas especificações. Uma amostra de 200
itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de
especificação. Assinale a opção que corresponde ao
valor probabilístico (p-valor) do teste de H:
≥ 0,95
contra A: < 0,95, sendo a proporção populacional de
itens dentro de especificação.
a.) 0,500
b.) 0,050
c.) 0,025
d.) 0,010
e.) 0,100
10. (GESTOR-MG/05) Lança-se uma moeda 20 vezes e
observa-se a ocorrência de 7 caras. Seja
a
probabilidade de cara. Assinale a opção que dá o valor
da estatística teste correspondente ao teste da hipótese
H: ≥ 0,5 contra a alternativa A: < 0,5
a.) -0,3
TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA PROPORÇÂO
1. Uma máquina está regulada quando produz 3% de
peças defeituosas. Uma amostra aleatória de 100 peças
selecionadas ao acaso apresentou 10 peças defeituosas.
Teste ao nível de 2% a hipótese de que a máquina está
regulada.
2. Uma Secretária do Estado afirma que 40% dos
trabalhadores registrados mantêm convênio com
empresas particulares de assistência médica. Com a
finalidade de testar esta afirmação, uma amostra
aleatória de 100 trabalhadores revelou que 20 mantinham
convênio com estas empresas. Teste a afirmação da
secretaria de estado ao nível de significância de 5%.
3. Inspeciona-se uma amostra de 400 peças de uma
grande remessa, encontrando 8% de peças defeituosas.
O fornecedor garante que não haverá mais de 6% de
peças defeituosas em toda a remessa. O que devemos
avaliar, com o auxílio do teste de hipóteses, e se
afirmação do fornecedor é verdadeira ou não
4. Um fabricante afirma que uma remessa de pregos
contém menos de 1% de defeituosos. Uma amostra
8
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
d.) 0,2
20
20
b.) -0,2
e.) 0,5
20
20
c.) 0,3
20
GABARITO
1. Rejeita Ho, conclui-se que a proporção de peças
defeituosas é superior a 3%
2. Rejeita Ho, conclui-se que a proporção de trabalhadores
registrados da Secretaria do Estado que mantêm convênio
com empresas particulares é diferente dos 40% afirmados.
3. A afirmação do fornecedor é verdadeira quando nível de
significância for até 7%, acima desse nível a afirmação é
falsa.
4. Rejeita Ho, conclui-se que mais de 1% dos pregos da
remessa contém defeitos.
5. Rejeita Ho, conclui-se que a porcentagem dos médicos que
recomendam aspirina a pacientes é inferior a 90%.
6. Rejeita Ho, conclui-se que 20% dos adultos na área de
circulação do jornal são analfabetos segundo padrões
governamentais.
7. Até 22% de significância a afirmação do governo é
Atualizada em 15/10/2009
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verdadeira, acima desse patamar a afirmação é falsa.
8. Até 0,1% de significância a moeda é honesta, acima deste
patamar a moeda não é honesta.
9. A
10. A
AMOSTRAGEM
É um estudo das relações existentes entre uma população e
as amostras dela extraídas. O objetivo da amostragem é
conhecer a população sem que a haja a necessidade de
realização do Censo, que é o estudo completo da população,
pois fatores como: custo, tempo, ensaios destrutivos,
população infinita, e outros, tornam o censo impraticável em
certos casos.
Espera-se que através da realização de um plano de
amostragem consiga uma amostra que represente a
população da qual foi extraída.
Temos dois tipos de amostragem:
• Amostragem probabilística: são aquelas onde todos os
elementos da população tiverem probabilidade conhecida,
e diferente de zero, de pertencer à amostra, implicando
em um sorteio com regras bem determinadas e cuja
realização só será possível se a população for finita e
totalmente acessível.
• Amostragem não-probabilística: apesar de serem
pouco usadas, às vezes este tipo de amostragem, por
motivo de simplicidade ou por impossibilidade de se
obterem amostras probabilísticas, este tipo de
amostragem é utilizado, não significando que este tipo de
amostragem implicará em erros de inferência.
Temos quatro tipos básicos de amostragem probabilísticas:
a.) Amostragem aleatória simples (amostragem casual
simples, simples ao acaso, randômica, etc...):
Neste tipo de amostragem, todos os elementos da população
tem igual probabilidade de pertencer à amostra (n/N – fração
de amostragem, onde n é o número de elementos de uma
amostra e N é o total de elementos da população) e todas as
amostras têm também igual probabilidade de ocorrer. Na
prática este tipo de amostragem é realizado numerando-se a
população de 1 a N, sorteando-se a seguir, por meio de um
dispositivo aleatório qualquer n números da seqüência, os
quais corresponderão aos elementos sorteados para a
amostra.
b.) Amostragem Sistemática:
Na prática utiliza-se esse processo quando os elementos da
população se apresentam ordenados e a retirada dos
elementos da amostra é feita de maneira periódica.
As vantagens que esse método apresenta são: facilidade de
determinação dos elementos da amostra, não precisa usar
números aleatórios, mais rapidez para grandes populações.
E a desvantagem é o fato de utilizar uma periodicidade para
a escolha dos elementos que farão parte da amostra,
podendo escolher elementos sazonais, acarretando
imprecisão no estudo da amostra.
c.) Amostragem Estratificada:
Na prática esse método é utilizado quando a população se
divide em subgrupos (extratos) com características
semelhantes entre os elementos de cada subgrupo (extrato),
retirando-se amostras aleatórias simples dos elementos
desses subgrupos. Este tipo de amostragem se divide em
três:
•
Uniforme: pelo fato dos subgrupos possuírem quase o
mesmo grupo de elementos sorteia-se igual número de
elementos em cada subgrupo (extrato).
•
Proporcional: pelo fatos dos subgrupos possuírem
número de elementos bastante diferentes entre si, sorteia-se
elementos de cada subgrupo (extrato) de maneira
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
proporcional ao número de elementos que o subgrupo
(extrato) possui.
•
Ótima: pelo fatos dos subgrupos possuírem número de
elementos bastante diferentes entre si, sorteia-se elementos
de cada amostra de maneira proporcional ao número de
elementos que o subgrupo (extrato) possui e ainda leva-se
em consideração nesse sorteio a variação da variável de
interesse no subgrupo (extrato), medida pelo seu desvio
padrão.
O objetivo de dividir a população em subgrupos homogêneos
é tornar o valor da variância do item em estudo o menor
possível em cada subgrupo (extrato).
d.) Amostragem por Conglomerado:
Na prática esse método é utilizado quando a população se
divide em subgrupos (extratos) com características diferentes
entre os elementos de cada subgrupo (extrato), analisa-se as
características dos subgrupos e sorteia-se um subgrupo que
possua característica similares a de outros subgrupos,
estudando todos os elementos desse subgrupo como
representativo dos demais que possuem as mesmas
característica que ele.
Comparação entre os Planos de Amostragem
Tipo
Caracterizado por
Aleatória Simples
Sistemática
Estratificada
Por Conglomerado
Lista de itens
Lista aleatória de itens
Subgrupos homogêneos
Itens fisicamente próprios uns dos outros
Temos um tipo básico de amostragem não-probabilística:
a.) Amostragem por Julgamento:
Este tipo de amostragem é baseado na escolha deliberada e
exclui qualquer processo aleatório. O uso deste método
requer boa compreensão da população.
Temos três tipos de amostragem por julgamento:
•
Amostragem a esmo ou sem norma: neste processo
o amostrador procura ser aleatório, ou ainda pelo fato de não
conseguir realizar uma pesquisa de maneira arbitrária
escolhe uma amostra como estudo da população.
•
Amostragem
intencional:
neste
processo
o
amostrador escolhe certos elementos para pertencer à
amostra, por julgar estes elementos bem representativos da
população.
•
Amostragem por inacessibilidade da população (por
quotas): como o próprio nome diz, neste método devido à
inacessibilidade de informações o amostrador procurar
escolher elementos para fazer parte da amostra de maneira
proporcional ao que ele estuda e acredita ser característica
do estudo.
As desvantagens destes métodos são gerar parcialidades e
pelo fato da amostra ser pequena, isto poderá acarretar falta
de credibilidade dos resultados.
A finalidade da Amostragem é permitir fazer inferências sobre
uma população após inspeção de apenas parte dela.
1. (GDF-SEA-IDR/93) Com relação ao plano de
amostragem, assinale a afirmação incorreta.
a.) Amostragem sistemática caracteriza-se por lista aleatória
de itens.
b.) Amostragem estratificada caracteriza-se por subgrupos
homogêneos.
c.) Amostragem por conglomerado caracteriza-se por itens
próprios uns dos outros.
d.) Amostragem por conveniência caracteriza-se pela escolha
de elementos mais acessíveis.
Atualizada em 15/10/2009
9
RECEITA FEDERAL
Prof. Sérgio Altenfelder
e.) Todas as alternativas estão erradas
2. (AFPS/02 Administração Tributária Previdenciária)
Assinale a opção correta em referência ao significado do
termo amostragem aleatória simples.
a.) Refere-se a um método de classificação da população.
b.) Refere-se à representatividade da amostra.
c.) É um método de escolha de amostras.
d.) Refere-se a amostras sistemáticas de populações
infinitas.
e.) Refere-se à amostragem por quotas.
3. (AFRF/02–setembro - Auditoria) O auditor utiliza o
método de seleção aleatória de uma amostra quando:
a.) o intervalo entre as seleções for constante.
b.) sua amostra for representativa da população toda.
c.) os itens da população têm igual chance de seleção.
d.) os itens menos representativos são excluídos da
população.
e.) não confiar nos controles internos mantidos na população.
4. (AFRF/02 – setembro - Auditoria) Quando da aplicação
da técnica de amostragem estatística em testes
substantivos, quanto menor o tamanho da amostra:
a.) a taxa de desvio aceitável será maior.
b.) a quantificação do erro tolerável será maior.
c.) a taxa de desvio aceitável será menor.
d.) a quantificação do erro tolerável será menor.
e.) esta não afeta o erro tolerável nem o esperado.
5. (AFRF/02 – setembro - Auditoria) Executados, para
cada item da amostra, os procedimentos de auditoria
apropriados aos seus objetivos, os resultados da
amostra devem ser avaliados pelo auditor conforme a
seqüência a seguir:
a.) projetar os erros encontrados na amostra para a
população, analisar qualquer erro detectado na amostra,
reavaliar o risco de amostragem.
b.) reavaliar o risco de amostragem, analisar qualquer erro
detectado na amostra, projetar os erros encontrados na
amostra para a população.
c.) analisar qualquer erro detectado na amostra, reavaliar o
risco de amostragem, projetar os erros encontrados na
amostra para a população.
d.) reavaliar o risco de amostragem, projetar os erros
encontrados na amostra para a população, analisar qualquer
erro detectado na amostra.
e.) analisar qualquer erro detectado na amostra, projetar os
erros encontrados na amostra para a população, reavaliar o
risco de amostragem.
6. (AFRF/02 – abril - Auditoria ) O risco de amostragem
em auditoria nos testes de procedimentos de
comprovação pode ser assim classificado:
a.) subavaliação e superavaliação da confiabilidade.
b.) aceitação incorreta e superavaliação da confiabilidade.
c.) superavaliação da confiabilidade e rejeição incorreta.
d.) rejeição incorreta e subavaliação da confiabilidade.
e.) rejeição incorreta e aceitação incorreta.
7. (AFRF/02 – abril - Auditoria ) Um assistente de
auditoria foi designado para acompanhar a contagem
física de lingotes de alumínio nas instalações da Alumiar
S/A. Ao chegar no local, foi atendido pelo engenheiro
responsável e gerente de contabilidade, quando então foi
convidado para conhecer o lugar onde estavam
empilhados os lingotes. Retornando ao escritório, tratou
logo de efetuar o cut-off das movimentações de
mercadorias.
No pátio da empresa, o engenheiro comunicou que a
10
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
primeira pilha de lingotes referia-se a alumínio de 95% de
pureza, a segunda pilha referia-se a alumínio de 50% de
pureza, e a terceira 25% de pureza. O procedimento de
contagem foi efetuado como o auditor havia previsto. No
entanto, retornando ao seu escritório, o auditor passou a
refletir: “será que aquele produto era realmente alumínio
e com os percentuais de pureza que me informaram?”
Indique qual o procedimento que o auditor deveria ter
efetuado para que essa dúvida fosse esclarecida.
a.) Contactar um outro auditor mais experiente da empresa e
pedir
sua
presença
imediata
para
auxiliar
no
acompanhamento do inventário.
b.) Pedir ao engenheiro presente no local do inventário que
emita um certificado atestando os percentuais de pureza de
cada pilha.
c.) Retirar amostras de cada pilha de lingotes de alumínio
para que sejam enviadas posteriormente para certificação por
um profissional independente.
d.) Interromper a contagem dos lingotes de alumínio e relatar
que, por não conhecer o produto, o saldo de estoques deve
ser ressalvado.
e.) Acompanhar os procedimentos de contagem e relatar
que, por não conhecer suas características, o saldo de
estoque deve ser ressalvado.
8. (AFRF/02 – abril - Auditoria ) O risco que o auditor
corre por considerar, como resultado de uma amostra
que suporte sua conclusão, que o saldo de uma conta ou
classe de transações registradas estão relevantemente
corretos, quando de fato não estão, é denominado:
a.) risco de aceitação incorreta.
b.) risco de superavaliação de confiabilidade.
c.) risco de rejeição incorreta.
d.) risco de subavaliação de confiabilidade.
e.) risco de estimativa contábil.
9. (AFRF/02 – abril - Auditoria ) Ao determinar o tamanho
de uma amostra, o auditor deve considerar:
a.) tamanho da população, risco de amostragem e erro
esperado.
b.) tamanho da população, erro tolerável e erro esperado.
c.) risco da população, risco de controle e erro esperado.
d.) risco de amostragem, erro tolerável e erro esperado.
e.) risco de detecção, tamanho da população e desvio
aceitável.
10. (AFPS/02 – Auditoria) Na determinação da amostra, o
auditor não deve levar em consideração o(a):
a) erro esperado.
b) valor dos itens da amostra.
c) tamanho da amostra.
d) população objeto da amostra.
e) estratificação da amostra.
GABARITO
1. E
8. A
2. C
9. D
3. C
4. A
5. E
6. E
10. B
ANÁLISE DE REGRESSÃO
7. C
Tabela ANOVA para regressão
Fonte
de
Variação
Atualizada em 15/10/2009
Graus de
Liberdade
Soma dos
Quadrados
Média dos
Quadrados
RECEITA FEDERAL
Prof. Sérgio Altenfelder
devido
regressão
à
∑ (Yˆ − Y )
1
SQregre
GL
2
devido aos
resíduos
N –2
Total
n–1
∑ (Y
i
− Yˆ
)
SQresi
GL
2
Complete-a e conclua sobre a estimativa quadrática do
erro, que é, aproximadamente, igual a:
a.) 7,5
b.) 6,9
c.) 8,5
d.) 9,1
e.) 9,8
3. Em uma regressão, foi obtida a seguinte tabela ANOVA
∑ (Y − Y )
2
SQT
GL
i
ANOVA
Fonte
de
Variação
Graus de
Liberdade
Soma dos
Quadrados
Média dos
Quadrados
devido
à
regressão
1
n . a . cov( x, y )
SQregre
GL
devido aos
resíduos
n –2
n. σ (2y ) − a . cov ( x, y)
Total
n-1
(
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
)
SQresi
GL
Regressão
Resíduo
Total
GL
1
20
21
SQ
MQ
525
F
70
700
Complete-a e conclua sobre o coeficiente
determinação, que é, aproximadamente, igual a:
a.) 0,75
b.) 0,83
c.) 0,88
d.) 0,91
e.) 0,98
de
4. Em uma regressão, foi obtida a seguinte tabela ANOVA
ANOVA
n .σ
2
( y)
SQT
GL
Regressão
Resíduo
Total
É importante lembrar que a célula hachurada é a estimativa
quadrática do erro.
E que
QMregre
= r(2x , y )
SQT
GL
1
20
21
SQ
MQ
525
F
70
700
Complete-a e conclua sobre a estimativa quadrática do
erro, que é, aproximadamente, igual a:
a.) 6,5
b.) 5,5
c.) 4,5
d.) 7,5
e.) 3,5
EXERCÌCIOS
1. (ICMS-SP-2002) Em uma regressão, foi obtida a
seguinte tabela ANOVA
ANOVA
Regressão
Resíduo
Total
GL
1
10
11
SQ
MQ
328,1901
F
69,48
397,67
Complete-a e conclua sobre o coeficiente
determinação, que é, aproximadamente, igual a:
a.) 0,75
b.) 0,83
c.) 0,88
d.) 0,91
e.) 0,98
de
GABARITO
1. B
2. B
3. A
4. E
2. Em uma regressão, foi obtida a seguinte tabela ANOVA
ANOVA
Regressão
Resíduo
Total
GL
1
10
11
SQ
MQ
328,1901
F
69,48
397,67
Atualizada em 15/10/2009
11
RECEITA FEDERAL
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PROBABILIDADE CONDICIONAL (TEOREMA DE BAYES)
1. Os arquivos levantados pelo censo da cidade A em
1998 revelaram que, apenas 20% dos homens possuem
QI (coeficiente de inteligência) acima de 150, enquanto
que essa incidência nas mulheres é de 70%. Estima-se
em 90% a percentagem dos homens nessa população.
Um pesquisador do censo, acaba de se encontrar com
uma pessoa com QI acima de 150. Calcule a
probabilidade desta pessoa ser do sexo feminino?
a) 7,00%;
b) 18,00%;
c) 28,00%;
d) 46,00%;
e) 72,00%.
2. Três máquinas fabricam moldes não-ferrosos. A
máquina A produz 5% de defeituosos, a máquina B 4% e
a máquina C 25%. A máquina A é responsável por 1/5 da
produção total, a B máquina é responsável por 1/3 da
produção total e máquina C é responsável pelo restante
da produção total . Um inspetor examina um molde e
constata que está perfeito. Calcule a probabilidade
aproximadamente do molde ter sido produzido pela
máquina A?
a.) 86%
b.) 60%
c.) 45%
d.) 22%
e.) 19%
Raciocínio Lógico (ESTATÍSTICA)
6. Uma companhia preocupada com sua produtividade
costuma oferecer cursos de treinamento a seus
operários. A partir da experiência, verificou-se que um
operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado
o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de
cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um
operário, também recentemente admitido, que não tenha
freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas
35% de probabilidade de cumprir com sua quota de
produção. Dos operários recentemente admitidos, 80%
freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se,
aleatoriamente, um operário recentemente admitido na
companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua
quota de produção é
a.) 11,70%
b.) 27,40%
c.) 35%
d.) 83%
e.) 85%
7. A probabilidade de Márcio ir de ônibus ao trabalho e
atrasar é de 30%. Já a probabilidade de Márcio ir de carro
ao trabalho e atrasar é 20%. Qual a probabilidade de
ocorrerem ambos os atrasos?
a.) 6,00%;
b.) 18,00%;
c.) 25,00%;
d.) 40,00%;
e.) 50,00%.
3. Os arquivos da policia revelam que, das vitimas de
acidente automobilístico que utilizam cinto de segurança,
apenas 20% sofrem ferimentos graves, enquanto que
essa incidência é de 70% entre as vítimas que não
utilizam o cinto de segurança. Estima-se em 90% a
percentagem dos motoristas que usam o cinto. A polícia
acaba de ser chamada para investigar um acidente em
que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a
probabilidade de ela estar usando o cinto no momento
do acidente?
a.) 18,00%
b.) 14,00%
c.) 56,25%
d.) 43,75%
e.) 72,00%
4. Os arquivos levantados pelo censo da cidade de São
Paulo em 1998 revelaram que, apenas 40% das mulheres
possuem casa própria, enquanto que essa incidência nos
homens é de 80%. Estima-se em 70% a percentagem das
mulheres nessa população. Um pesquisador do censo de
1988 de São Paulo, acaba de se encontrar com uma
pessoa que possui casa própria. Calcule a probabilidade
aproximadamente desta pessoa ser do sexo feminino?
a.) 18,40%
b.) 24,00%
c.) 28,00%
d.) 52,00%
e.) 53,80%
5. Sejam A e B dois eventos independentes tais que
P(A)=1/5 e P(B)=1/3. A probabilidade condicional de A
dado que B ocorreu é igual a
a.) 4/7
b.) 2/3
c.) 1/3
d.) 7/12
e.) 1/5
12
GABARITO
1. C
Atualizada em 15/10/2009
2. D
3. E
4. E
5. C
6. B
7. A