Eleições em Portugal
Método de Hondt

Apura-se o número de votos recebidos por cada
lista, no círculo eleitoral respectivo;

O número de votos respectivos são divididos,
sucessivamente, por 1, 2, 3, etc., sendo os
quocientes alinhados por ordem decrescente de
grandeza numa série com tantos membros
quantos os mandatos atribuídos ao círculo
eleitoral respectivo;

Os mandatos pertencem às listas a que
correspondem os termos da série estabelecida
pela regra anterior, recebendo cada lista tantos
mandatos quantos os seus termos na série;

No caso de restar um só mandato para
distribuir, e dos termos seguintes da série serem
iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à
lista que tiver obtido menos votos.
Exemplo
No distrito de Leiria existem dez mandatos a atribuir.
Nas últimas eleições legislativas registou-se a
seguinte distribuição de votos:
Lista
PSD
PS
CDS
PCP
Votos
121350
70384
23482
9810
Apliquemos o método de Hondt:
Divisores
PSD
PS
CDS
PCP
1
121350
70384
23482
9810
2
60675
35192
11741
4905
3
40450
23461,3
7827,3
3270
4
30337,5
17596
5870,5
2452,5
5
24270
14076,8
4696,4
1962
6
20225
11730,7
3913,7
1635
7
17335,7
Distribuição de mandatos:
Listas
Mandatos
PSD
6
PS
3
CDS
1
PCP
0
Sistemas de Votação
Ponderada
Numa sociedade diversificada os eleitores, sejam
eles indivíduos ou instituições, não são iguais e é
por vezes recomendável reconhecer as suas
diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um
dos seus votos.
A todo método no qual os eleitores não estejam
em igualdade, em termos dos votos que
controlam, dá-se o nome de sistema de
votação ponderada.
Questão:
Dado um eleitor com determinado número de
votos, que poder detém sobre a eleição ?
A resposta a esta pergunta baseia-se em ideias
matemáticas que vamos abordar de seguida.
Iremos abordar o caso em que a votação apenas
incide sobre duas alternativas ou candidatos moção.
Terminologia
Todo o sistema de votação ponderada é
caracterizado por três elementos:
 Jogadores ( P1 , P2 , … , PN );
 Pesos dos jogadores ( w1 , w2 , … , wN );
 Quota (q).
N – número de participantes
Quota:
Número mínimo de votos necessário para aprovar uma
moção.
Qualquer número superior a metade da totalidade dos
votos é um valor aceitável para o valor da quota.
Formalmente:
w  w  ...  w
1
2
N  q  w  w  ...  w
1
2
N
2
Notação:
Uma forma conveniente de descrever um
sistema de votação ponderada é,
[ q : w1, w2, …, wN ]
a quota surge em primeiro lugar seguida dos
pesos dos participantes.
Exemplos:


Consideremos uma
corporação com quatro
elementos, com a distribuição
de votos da tabela.
São necessários 14 votos
para aprovar uma moção.
[ 14 : 8, 6, 5, 1 ]
Membros
Votos
P1
8
P2
6
P3
5
P4
1
 Seja
[ 11: 12, 5, 4 ] um sistema de votação
ponderada. Neste caso o jogador P1 controla
um número suficiente de votos para aprovar
qualquer moção.
A um jogador que detenha um número de votos
igual ou superior ao valor da quota chamamos
ditador.
 No
sistema de votação ponderada [ 12: 9, 5, 4, 2]
o jogador P1 não é um ditador mas pode impedir
uma moção de ser aprovada.
Nestas condições dizemos que um jogador tem
poder de veto.
Analisemos o sistema de votação ponderada
[ 101 : 99, 98, 3 ] .
À primeira vista parece que os participantes P1 e
P2 têm muito poder em relação ao P3. Contudo
só é possível aprovar uma moção com dois
participantes a favor. Mais, quaisquer dois
participantes juntos têm uma coligação
vencedora!!
Vamos então introduzir a primeira interpretação
matemática de poder nos sistemas de votação
ponderada para estudar o poder de cada jogador
do exemplo anterior.
Índice de Poder Banzhaf
Chama-se a todo o conjunto de jogadores, que unam forças para
votar em conjunto, coligação.
Ao número total de votos controlado por uma coligação chamamos
peso da coligação .
Às coligações que reúnam um número suficiente de votos para
aprovar uma moção chamamos coligações vencedoras.
A uma coligação formada por todos os elementos chama-se a
grande coligação.
A um jogador cuja deserção de uma coligação vencedora a
transforme numa coligação perdedora chamamos jogador
crítico.
Determinação do índice de Poder
Banzhaf de um jogador:

Passo 1 – Fazer a lista de
todas as coligações
possíveis.
[ 101 : 99, 98, 3 ]
Coligações
{P1}
{P2}
{P3}
{P1, P2}
{P1, P3}
{P2, P3}
{P1, P2, P3}

Passo 2 – Determinar as coligações vencedoras
Coligação
Peso da coligação
{P1}
99
{P2}
98
{P3}
3
{P1, P2}
197
{P1, P3}
102
{P2, P3}
101
{P1, P2, P3}
200
Ganha ou perde
Perde
Perde
Perde
Ganha
Ganha
Ganha
Ganha

Passo 3 – Em cada coligação coligação identificar os
participantes críticos.
Coligação
{P1}
{P2}
{P3}
Peso da coligação
99
98
3
Ganha ou perde
Perde
Perde
Perde
{P1, P2}
{P1, P3}
{P2, P3}
197
102
101
Ganha
Ganha
Ganha
{P1, P2, P3}
200
Ganha

Passo 4 – Contar o número de vezes que um
jogador é crítico ( BN ).
P1 – é critico duas vezes
P2 – é crítico duas vezes
P3 – é crítico duas vezes
B1=2
B2=2
B3=2

Passo 5 – Contar o número total de vezes que
todos os jogadores são críticos ( T ).
T=6
O índice de poder de PN é dado por BN/T .
P1: 2/6
33,(3)%
Distribuição
P2: 2/6
33,(3)%
de Poder
P3: 2/6
33,(3)%
Banzhaf
Exemplo:
Jogadores
No que toca à contratação
de jogadores a equipa do
Hoquei de Barcelos tem
a seguinte distribuição de
votos:
Treinador
Presidente
Treinador
Adjunto
Equipa
Médica
Peso dos
Jogadores
4
3
2
1
São necessários 6 votos para contratar um jogador
(q = 6).
Estamos então na presença de um sistema de
votação ponderada [ 6: 4, 3, 2, 1 ].
Vamos então encontrar a distribuição de poder
Banzhaf deste sistema de votação ponderada.
Coligações:
Coligação
Peso da coligação
Vence ou perde
{T}
4
Perde
{P}
3
Perde
{TA}
2
Perde
{EM}
1
Perde
{T, P}
7
Ganha
{T, TA}
6
Ganha
{T, EM}
5
Perde
{P, TA}
5
Perde
{P, EM}
4
Perde
{TA, EM}
3
Perde
{T, P, TA}
9
Ganha
{T, P, EM}
8
Ganha
{T, TA, EM}
7
Ganha
{P, TA, EM}
6
Ganha
{T, P, TA, EM}
10
Ganha
Distribuição de Poder Banzhaf:
Treinador : 5/12
41,(6)%
Presidente : 3/12
25%
T. Adjunto : 3/12
25%
Eq. Médica : 1/12
8,(3)%
O ÍNDICE DE PODER
DE
SHAPLEY-SHUBIK

Coligação Sequencial:
começa com um jogador, que se pode aliar a um segundo, seguidamente a um
terceiro e assim sucessivamente.



Será que a ordem interessa?
Vejamos que sim.
{P1, P2, P3}  P1, P2 e P3 juntaram-se e vão votar juntos
P1, P2, P3  P1 iniciou a coligação à qual se juntou P2 e por
P1, P3, P2
P2, P1, P3
P2, P3, P1
P3, P1, P2
P3, P2, P1

ultimo P3
Notação:   indica que a coligação é sequencial
Coligações Sequenciais
com 3 jogadores
Com 3 jogadores temos 3! Coligações Sequenciais
O que acontecerá se tivermos 4 jogadores?
Teremos 4! Coligações Sequenciais.
.
.
.
Com N jogadores teremos N! Coligações
Sequenciais.

Jogador Pivotal
O Jogador Pivotal
Coligação Sequencial
GANHA
PERDE
…
1º
2º … Pivotal
Restantes
Cálculo do Índice de Poder de
Shapley-Shubik para o Jogador P
 Passo
1: Fazer uma lista de todas as coligações
sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas
coligações.
 Passo
2: Em cada coligação sequencial
determinar o jogador pivotal. Há um em cada
coligação sequencial.
 Passo
3: Contar o número total de vezes em que
P é jogador pivotal e denominar esse número
por S.
O Índice de Poder de Shapley-Shubik do
Jogador P é dado pela fracção
S
N!
Exemplo
“ Dias & Filhos ” é uma empresa familiar. Três
gerações de Dias (Afonso I, Afonso II, Afonso
III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca
a decisões, o Afonso I tem três votos, o Afonso II
tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma
maioria de quatro votos é necessária para aprovar
uma moção. Como está distribuído o poder pelas
três gerações?
Cálculo do Índice de Poder de
Shapley – Shubik

Passo1: Fazer uma lista
de todas as coligações
sequenciais contendo
N jogadores. Há N!
destas coligações.

Passo1: Há
coligações
sequenciais.
3!
=6
Passo
2:
Em cada coligação
sequencial determinar o
Jogador Pivotal.

Passo 2:
Coligação
Sequencial
A1, A2, A3
Jogador
Pivotal
A2
A1, A3, A2
A2, A1, A3
A3
A1
A2, A3, A1
A3, A1, A2
A3, A2, A1
A1
A1
A1
Passo
3:
Contar o número de
vezes em que o
jogador P é pivotal e
denominar
esse
número por S.
A distribuição de
Poder de Shapley-Shubik é:
 Passo
3:
A1 é pivotal 4 vezes
A2 é pivotal 1 vez
A3 é pivotal 1 vez
A1: 4/6  66,(6)%
A2: 1/6  16(6)%
A3: 1/6  16(6)%
Retomar o exemplo do Hoquei de
Barcelos
Temos 4 jogadores, logo 4! Coligações sequenciais
T, P, TA, EM
P, T, TA, EM
TA, T, P, EM
EM, T, P, TA
T, P, EM, TA
P, T, EM, TA
TA, T, EM, P
EM, T, TA, P
T, TA, P, EM
P, TA, T, EM
TA, P, T, EM
EM, P, T, TA
T, TA, EM, P
P, TA, EM, T
TA, P, EM, T
EM, P, TA, T
T, EM, P, TA
P, EM, T, TA
TA, EM, T, P
EM, TA, T, P
T, EM, TA, P
P, EM, TA, T
TA, EM, P, T
EM, TA, P, T
Distribuição de poder de Shapley-Shubik
Jogador
T
Nº de
vezes que
é Pivotal
10
P
6
TA
EM
A distribuição de poder é:
Treinador : 10/24 ( 41,(6)%)
Presidente : 6/24
(25%)
6
T. Adjunto : 6/24
(25%)
2
Eq. Médica : 2/24
(8,(3)%)
Legislativas 2002
Legislativas 2002
 Quem
saiu vencedor
foi a coligação PSD/CDS.
 Qual
o índice de poder de cada partido
segundo Banzhaf e Shapley-Shubik?
QUADRO DE RESULTADOS
partidos
votos
%
mandatos
PPD/PSD
2181672
40,15
102
PS
2055986
37,84
95
CDS-PP
475515
8,75
14
PCP-PEV
378640
6,97
12
B.E.
149543
2,75
3
Total
226
Analise do poder de cada partido
segundo
Banzhaf
[114: 102, 95, 14, 12, 3]
Shapley - Shubik
Há 5!= 120 coligações
sequenciais
Contagem
Banzhaf
Partidos
PSD
PS
CDS
PCP
BE
Nº de vezes
que é crítico
11
4
4
4
0
Shapley-Shubik
Partidos
PSD
PS
CDS
PCP
BE
Nº de vezes
que é pivotal
60
20
20
20
0
Distribuição de Poder
BANZHAF
PSD: 11/23  47, 8 %
PS:
PP:
4/23  17, 4 %
4/23  17, 4 %
PCP:
4/23 17, 4 %
BE:
0%
SHAPLEY-SHUBIK
PSD: 60/120  50 %
PS:
20/120  16, (6) %
PP:
20/120  16, (6) %
PCP:
20/120  16, (6) %
BE:
0%
Comparação
Partidos
Banzhaf
Shapley-Shubik
PSD
47,8%
50%
PS
17,4%
16, (6)%
CDS
17,4%
16, (6)%
PCP
17,4%
16, (6)%
BE
0%
0%
Conclusão

Índice de Poder de
Banzhaf
Shapley-Shubik

Qual estará mais perto da realidade?
Segundo Banzhaf um jogador entra e sai quando quer.
 Segundo Shapley-Shubik um jogador entra na coligação
para assumir um compromisso de permanência.

 Na
prática a escolha do método é baseada na
análise da informação que melhor se adequa às
características da situação.
 No
último exemplo torna-se muito mais fácil a
aplicação do índice de poder de Banzhaf do que
o de Shapley-Shubik.