CILINDRO
Definição
A figura geométrica formada pela reunião de
todos os segmentos de reta paralelos à reta r,
com uma extremidade num ponto do círculo R e
a outra no plano , denomina-se cilindro
circular.
Elementos
Bases: círculos de raio r e centros O e O´,
situados nos planos paralelos  e ,
respectivamente.
Elementos
Altura: é a distância h entre os planos paralelos
 e .
Elementos
Eixo: É a reta que contém os centros das bases.
Elementos
Geratriz: São os segmentos paralelos ao eixo e
cujas extremidades são pontos das
circunferências das bases.
Cilindro circular reto
Um cilindro se diz reto (revolução) quando as
geratrizes são perpendiculares as bases. Ele
pode ser obtido pela rotação completa de um
retângulo de lados r e g em torno do eixo 𝑂𝑂´.
Nesse caso, a altura do cilindro coincide com a
medida g da geratriz.
http://www.uff.br/cdme/solidos_revolucao/desa
fio.html
http://prod.docscd.abrileducacao.com.br/Conte
udosDigitais/Conversores%20e%20simuladores/
000865/solidoscirculares9.swf
Área da superfície do cilindro
Planificando a superfície do cilindro:
Área da superfície do cilindro
Área da base (Sb)
É a área do círculo de raio r: Sb=r2
Área da superfície do cilindro
Área lateral (Sl)
É a área do retângulo de dimensões 2r e h:
Sl=2rh
Área da superfície do cilindro
Área total (St)
É a soma da área lateral com as áreas das duas
bases do cilindro.
St=Sl+2Sb → St=2rh+2r2St=2r(h+r)
Exemplo1
Um tanque, na forma de um cilindro circular
reto, tem altura igual a 3m e área total (área da
superfície lateral mais áreas da base e da tampa)
igual a 20m2. Calcule, em metros, o raio da
base deste tanque.
Dados: h=3m e St=20m2
St=2r(h+r) → 20=2r(3+r) → 20=2r(3+r)
10=r(3+r) → 10=3r+r2 → r2+3r-10=0
Exemplo1
Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, tem
altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral
mais áreas da base e da tampa) igual a 20m2. Calcule,
em metros, o raio da base deste tanque.
Dados: h=3m e St=20m2
r2+3r-10=0
−3∓ 49
2
→ 𝑥´ = 2 𝑒 𝑥´´ = −5
32-4.1.(-10)
=49
Como -5 não convém, o raio da base do tamque
é igual a 2m.
Exemplo2
Calcule a área total do sólido obtido pela
rotação completa de um retângulo de
dimensões 4cm e 12cm em torno do lado:
a) Menor
b) Maior
Exemplo2
Exemplo2
Calcule a área total do sólido obtido pela rotação completa de um
retângulo de dimensões 4cm e 12cm em torno do lado:
a) Menor
O sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de
raio da base 12cm e altura 4cm.
St=2r(h+r) → St=2.12(4+12) → 2.12.16 2.192
→ St=384 cm2
Exemplo2
Calcule a área total do sólido obtido pela rotação
completa de um retângulo de dimensões 4cm e 12cm
em torno do lado:
b) Maior
O sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de
raio da base 4cm e altura 12cm.
St=2r(h+r) → St=2.4(12+4) → 2.4.16
2.64 → St=128 cm2
Volume do cilindro
V=(Área da base). (altura)
Em um cilindro circular reto de raio r e altura h,
a área da base é dada por Sb=r2
V=Sb.h → V=r2h
Exemplo1
Uma comunidade consome 30.000 litros de
água por dia. Para isso, conta com um
reservatório de forma cilíndrica cujo raio é 10m
e a altura 10m.
Por quanto tempo, aproximadamente, o
reservatório poderá abastecer essa
comunidade?
Exemplo1
Uma comunidade consome 30.000 litros de água por dia. Para isso,
conta com um reservatório de forma cilíndrica cujo raio é 10m e a
altura 10m. Por quanto tempo, aproximadamente, o reservatório
poderá abastecer essa comunidade?
O volume de água que o reservatório cheio pode
conter é dado por:
V=r2h→V= .102.10V=1000m3
Assumindo  com 3,14: V=1000.3,14V=3.140m3
Como 1m3=1000l→V=3140.1000V=3140000litros
A comunidade consome 30.000l por dia.
3140000
𝑡=
∴ 𝑡 ≅ 105𝑑𝑖𝑎𝑠
30000
Exemplo2
Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado
recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente,
também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior que o
primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo
recipiente?
Exemplo2
Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado
recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também
cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior que o primeiro. Qual será a
altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente?
Vamos indicar o volume de líquido no primeiro recipiente por V1
e no segundo por V2.
V1=r2h e V2= R2H
Dados: R=2r e h=10cm
Como o volume de líquido é o mesmo, temos:
V1=V2→ r2h= (2r)2H
r2h=4r2H
H=h/4
H=10/4→H=2,5cm
Exercício
Determinar a área lateral e o volume de um
cilindro reto de 30 cm2 de área total, sabendo
que o raio da base é 3/2 da altura.
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏 → 30𝜋 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟 2
30𝜋 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟 2
15 = 𝑟ℎ + 𝑟 2
Exercício
Determinar a área lateral e o volume de um cilindro reto de 30 cm2
de área total, sabendo que o raio da base é 3/2 da altura.
Substituindo r por 3/2h:
2
3
3
3 2 9 2
ℎ. ℎ +
ℎ = 15 → ℎ + ℎ = 15
2
2
2
4
15 2
ℎ = 15 → 15ℎ2 = 15.4
4
60
2
2
15ℎ = 60 → ℎ =
→ ℎ2 = 4
15
ℎ= 4→ℎ=2
Exercício
Como h=2, temos 𝑟 =
3
.2
2
6
2
→𝑟= →𝑟=3
Área lateral
𝑆𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑆𝑙 = 2𝜋. 3.2 → 𝑆𝑙 = 12𝜋
Volume
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ → 𝑉 = 𝜋. 32 . 2 → 𝑉 = 18𝜋
A área lateral é 12cm2 e o volume é 18cm2
Exercícios
Um cilindro reto tem altura igual a 5cm e raio da
base medindo 6cm. Calcule a área:
a) Da base
b) Lateral
c) Total
R: a) 36 cm2 b) 60 cm2 c) 132 cm2
Exemplo3
Um prisma quadrangular regular de aresta l está
inscrito num cilindro equilátero (h=2r),
conforme nos mostra a figura. Determinar o
volume V do cilindro em função da aresta l da
base do prisma.
Exemplo3
Um prisma quadrangular regular de aresta l está inscrito num cilindro equilátero (h=2r), conforme nos
mostra a figura. Determinar o volume V do cilindro em função da aresta l da base do prisma.
Como a base do prisma é um quadrado podemos obter o raio usando
a relação de Pitágoras:
2
2
2
2
𝑙
𝑙
2𝑙
𝑙
𝑙
2
2
𝑟 =
+
→𝑟 =
→𝑟=
→𝑟=
2
2
4
2
2
Como o cilindro é equilátero:
𝑙 2
ℎ = 2𝑟 → ℎ = 2.
→ℎ=𝑙 2
2
2
𝑙 2
2
𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ → 𝑉 = 𝜋.
.𝑙 2
2
2𝑙 2
𝑉 = 𝜋.
.𝑙 2
4
𝝅 𝟐𝒍𝟑
𝑽=
𝟐
Exercício
Determinar a área lateral e o volume de um
cilindro reto de 30 cm2 de área total, sabendo
que o raio da base é 3/2 da altura.
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏 → 30𝜋 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟 2
30𝜋 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟 2
15 = 𝑟ℎ + 𝑟 2
Exercício
Determinar a área lateral e o volume de um cilindro reto de 30 cm2
de área total, sabendo que o raio da base é 3/2 da altura.
Substituindo r por 3/2h:
2
3
3
3 2 9 2
ℎ. ℎ +
ℎ = 15 → ℎ + ℎ = 15
2
2
2
4
15 2
ℎ = 15 → 15ℎ2 = 15.4
4
60
2
2
15ℎ = 60 → ℎ =
→ ℎ2 = 4
15
ℎ= 4→ℎ=2
Exercício
Como h=2, temos 𝑟 =
3
.2
2
6
2
→𝑟= →𝑟=3
Área lateral
𝑆𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑆𝑙 = 2𝜋. 3.2 → 𝑆𝑙 = 12𝜋
Volume
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ → 𝑉 = 𝜋. 32 . 2 → 𝑉 = 18𝜋
A área lateral é 12cm2 e o volume é 18cm2