4
Distribuição da Amostra
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.1)
população x amostra
• População:
– conjunto de todos os eventos associados a um fenômeno
– denominação originária do estudo de fenômenos econômicos e
sociológicos
– pode ser finita ou infinita
– normalmente é descrita através de sua distribuição
• Amostra:
– parte da população
– normalmente usada para inferir parâmetros de toda a população
– deve ser representativa da população: amostra aleatória
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.2)
amostra aleatória
• De uma população finita:
– Um conjunto de observações x1, x2, ..., xn constitui uma amostra
aleatória de tamanho n de uma população finita de tamanho N se é
escolhido de forma que cada subconjunto de n dos N elementos da
população tenha a mesma probabilidade de ser escolhido
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.3)
amostra aleatória
• De uma população infinita:
– Um conjunto de observações x1, x2, ..., xn constitui uma amostra
aleatória de tamanho n de uma população infinita com função
densidade de probabilidade f(x) se:
(a) Cada xi é um valor de uma VA cuja distribuição tem f(x);
(b) Estas VA são independentes.
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.4)
distribuição amostral da média
X
X
X
f(X)
X
X
=?
X
=?
Dois caminhos:
a) X conhecido
b) X desconhecido
f(X) = ?
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.5)
distribuição amostral da média com  conhecido
X
X
X
X  ?
X
X  ?
f(X)
f ( X)  ?
Teorema: Se X é uma amostra aleatória de tamanho n tomada de
uma população que tem média  e variância 2, então X é uma VA
cuja distribuição tem média  e:
(a) para amostras de populações finitas:
(b) para amostras de populações infinitas:
Var ( X ) 
Var ( X ) 
2 N n
n N 1
2
n
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.6)
teorema central do limite
• Se X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n,
obtida de uma população com média  e variância 2, então
X-
Z
 n
é uma VA cuja distribuição mais se aproxima da distribuição
normal padronizada à medida que n tende a infinito.
(Note que não importa qual seja a distribuição de X, a distribuição da
sua média se aproxima da normal à medida que n cresce)
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.7)
teorema do “sopão”
(versão culinária do teorema central do limite)
Quanto mais e mais verduras e legumes
diferentes são acrescentados a uma mesma
sopa, mais e mais o gosto resultante se
aproxima do gosto único e inconfundível do
sopão.
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.8)
verificação:
1
2
3
4
5
1
6
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
f(x) da média de três dados
f(x) de um dado
1
2
9
10
11
12
f(x) da média de dois dados
13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
f(x) da média de quatro dados
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.9)
distribuição amostral da média com  desconhecido
• Se X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n,
obtida de uma população com distribuição normal e média 
e seja:
2
n
( xi  X )
S 
n 1
i 1
2
então
X -
T
S n
é uma VA com distribuição t de Student com parâmetro
 = n-1 (graus de liberdade)
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.10)
-6
-4
Normal
-2
0
2
4
6
t de Student (u = 4)
Albertazzi.Distribuição da Amostra. (4.11)