Capítulo 9 – Progressão
Geométrica (PG)
• Prof. Daniel Keglis
• Matemática
9.3.1 Definição:
É toda a sequência de números não nulos, na
qual é constante o quociente da divisão de cada
termo (a partir do 2º) pelo termo anterior. Esse
quociente é chamado de razão da progressão e é
representado por q.
9.3.2 Razão da PG
Exemplo 1 – A sequência (2,10,50,250) é uma PG
a
q

finita de razão q = 5, pois
.
2
a1
Exemplo 2 – A sequência (6,-12,24,-48,96,......) é uma
a
PG infinita de razão q = - 2, pois q 
.
3
a2
Portanto podemos determinar a razão de uma PG
através da expressão:
q 
an
a n 1
9.3.3 Classificação e Razão da PG
• Crescente: Uma PG é crescente quando:
q > 1 e os termos são positivos. Ex: (2,6,18,54,....) e q = 3
1
0 < q < 1 e os termos são negativos. Ex: (-40, -20, -10...) e q =
2
• Decrescente: Uma PG é decrescente quando:
1
0 < q < 1 e os termos são positivos. Ex: (200, 100, 50,...) e q =
2
q > 1 e os termos são negativos. Ex: (-4, -12, -36,...) e q = 3
• Constante: Uma PG é constante quando q = 1:
Ex: (10,10,10,10....) e q = 1
• Alternante: Uma PG é alternante quando q < 0
Ex: (4, -8, 16, -32,.......) q = -2
9.3.4 Três termos de uma PG
Podemos obter 3 termos de uma PG através da relação:
 x


PG 
,
x
,
xq
 q



9.3.5 Fórmula do termo geral de uma PG
Em uma PG (a1, a2 , a3 , ....... ,an) de razão q, partindo do 1º
termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo
pela razão q (a2= a1.q), para avançar dois termos basta
multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a3= a1.q2),
para avançar 3 termos basta multiplicar o 1º termo pelo
cubo da razão (a4= a1.q3) e assim por diante. Desse modo
podemos definir o termo geral de uma PG como sendo a
expressão:
a n  a 1 .q
n 1
9.3.6 Fórmula do termo geral de uma PG
a n  a 1 .q
an
a1
q
n
termo geral
1º termo da PG
razão da PG
número de termos da PG
EXEMPLOS NO CADERNO:
n 1
9.3.7 Propriedade da PG
Quaisquer termos de uma PG, com exceção dos
extremos, é a média geométrica entre o termo anterior e o
termo posterior.
PG ( a , b , c )
Média Geométrica -------
b
a .c
9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Finita
Seja uma PG de termos (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ,.... an).
Para calcular a soma Sn dos n termos de um PG utilizamos
um artifício muito simples.
Sn = a1+a2 +a3 +a4 +.......an-1+ an I
Multiplicando a equação pela razão q
q.Sn = q.a1+q.a2 +q.a3 +q.a4 +.......q.an-1+q. an
q.Sn = a2 +a3 +a4 + a5+.......an+an+1 II
9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Finita
Fazendo I – II obtemos:
Sn- qSn= a1 – qan,
Substituindo o termo an por a n  a 1 .q n 1 e multiplicando
os dois membros por q obtemos:
Sn 

a1 . q  1
n
q 1

9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Infinita
Para calcular a soma dos termos de uma PG infinita
usamos a fórmula:
Sn 
Exemplos no caderno
a1
q 1