Cálculo B
A Integral
Profª Maria Cristina Kessler
Origem
-problemas de quadratura: encontrar o valor
exato da área de uma região bidimensional
cuja fronteira consiste de uma ou mais
curvas, ou de uma superfície tridimensional,
cuja fronteira também consiste de pelo
menos uma curva.
- cubatura: determinar o volume exato de um
sólido tridimensional limitado, pelo menos em
parte, por superfícies curvas.
Um pouco de história
Hipócrates de Chios (cerca de
440 A.C.) executou as primeiras
quadraturas quando encontrou a
área de certas lunas, regiões
que se parecem com a lua
próxima do seu quarto
crescente.
►
Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou
que poderia "quadrar o círculo" com
uma seqüência infinita de polígonos
regulares inscritos: primeiro um
quadrado; segundo um octógono, a
seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu
problema era o "etc., etc.". Como a
quadratura do círculo de Antiphon
requeria um número infinito de
polígonos, nunca poderia ser
terminada. Ele teria que ter usado o
conceito moderno de limite para
finalizar seu processo com rigor
matemático. Mas Antiphon tinha o início
de uma grande idéia agora chamado de
método de exaustão.
Método de exaustão
►
Mais de 2000 anos depois, é
creditado a Eudoxo (cerca de 370
A.C.) o desenvolvimento do método
de exaustão
Método de exaustão: uma técnica de aproximação da
área de uma região com um número crescente de
polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a
área exata sendo obtida depois de um número infinito
destas etapas.
Arquimedes (287--212 A.C.), o maior
matemático da antiguidade, usou o
método de exaustão para encontrar a
quadratura da parábola. Arquimedes
aproximou a área com um número
grande de triângulos construídos
engenhosamente. Arquimedes nunca
considerou que as somas tivessem
uma infinidade de termos. Para poder
definir a soma de uma série infinita é
necessário desenvolver o conceito de
número real que os gregos não
possuíam. A noção de limite pressupõe
a consideração do infinito que esteve
sempre excluído da matemática grega.
A idéia básica do conceito de
integral já estava embutida
no método da exaustão
atribuído a Eudoxo (406-355
a.C.), desenvolvido e
aperfeiçoado por Arquimedes
(287-212 a.C. Pode-se obter
a área de uma figura plana
irregular ou obter o volume
de um sólido com o formato
de um barril.
O que permitiu a passagem
do método de exaustão
para o conceito de integral
foi a percepção que em
certos casos, a área da
região pode ser calculada
sempre com o mesmo tipo
de aproximação por
retângulos.