Logaritmo
1. (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x.
Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a:
a) Iog2 + Iog3 + Iog5
b) log30
c) 1+ Iog30
d) 1 + 2log15
e) 1 + 2Iog30
2. (Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente
industrial, atingindo o nível de toxidez T 0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as
informações a seguir.
- A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
- O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte
equação:
T(x) = T0  (0,5)0,1x
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário
para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
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3. (Ufsm 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a
uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação
de 6,775 bilhões de dólares.
Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, podese expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos),
por
V  6,775 1,05 
t 1
com t  1 correspondendo a 2011, t  2, a 2012 e assim por diante.
Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares?
Dados: log 2  0,3 e log 1,05  0,02.
a) 2015.
b) 2016.
c) 2020.
d) 2025.
e) 2026.
4. (Ufpr 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado
um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento
posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que,
de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em
minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão
S  18  log(t  1)  86.
a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado?
b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%?
5. (Ufrgs 2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias
dobra a cada 12 horas.
Tomando como aproximação para log2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o
número de bactérias está entre
a) 104,5 e 105.
b) 105 e 105,5.
c) 105,5 e 106.
d) 106 e 106,5.
e) 106,5 e 107.
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6. (Fuvest 2013) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra
diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N  t   N0 eλt , sendo N0 o número de
átomos deste isótopo em t  0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o
gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio
99 metaestável (99mTc), muito utilizado em diagnósticos do coração.
A partir do gráfico, determine
a) o valor de log10N0;
99m
b) o número N0 de átomos radioativos de
Tc ;
99m
c) a meia-vida (T1/2) do
Tc.
Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o
número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log10 2  0,3;
log10 5  0,7.
7. (Uepg 2013) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade
log9  2x  5   log3  3x   1, assinale o que for correto.
01) Existe uma única solução, que é um número primo.
02) Existem duas soluções cuja soma é positiva.
04) Existem duas soluções cujo produto é negativo.
08) Existe uma única solução fracionária.
16) Existe uma única solução, que é menor do que log5 625.
8. (Udesc 2013) Se log3 (x  y)  5 e log5 (x  y)  3, então log2 (3x  8y) é igual a:
a) 9
b) 4  log2 5
c) 8
d) 2  log2 10
e) 10
9. (G1 - cftmg 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo,
escreve-se log 3,6 em função de m e n como
a) 2mn.
b)
m 2 n2
.
10
m  n
.
10
d) 2 m  n  1.
c)
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10. (Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada
mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de
1800  1,1m1. Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses,
aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1
vezes a produção do mês um?
Dado: log1,1  0,04.
11. (Espcex (Aman) 2013) Se
6  logam
 2, com a  0, a  1 e m  0, então o valor de
1  log 2 m
a
m
a m
a) 4
1
b)
4
c) 1
d) 2
1
e)
2
é
3
2
 log3 x   1. A soma dos quadrados das
x
soluções reais dessa equação está contida no intervalo
a) [0, 5)
b) [5, 10)
c) [10,15)
d) [15, 20)
e) [20, )
12. (Ime 2013) Considere a equação log3x
13. (Insper 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da
fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em
que foi solto pelo avião de acordo com a lei d  10t2, em que t é o tempo em segundos. A
massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros),
conforme a expressão
M  1000  250log d.
Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve
soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser
a) 10.000 metros e 32 segundos.
b) 10.000 metros e 10 segundos.
c) 1.000 metros e 32 segundos.
d) 2.000 metros e 10 segundos.
e) 1.000 metros e 10 segundos.
14. (Insper 2013) O número de soluções reais da equação logx (x  3)  logx (x  2)  2 é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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15. (Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira
que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário
para que essa quantia dobre? (Use log2 (1,06)  0,084.)
16. (G1 - cftmg 2012) Se log3 a  x, então log9 a2 vale
x
.
2
b) x.
c) 2x.
d) 3x.
a)
17. (Espcex (Aman) 2012) Considerando log2  0,30 e log3  0,48, o número real x, solução
da equação 5x 1  150, pertence ao intervalo:
a)   , 0 
b)  4, 5 
c)  1, 3 
d)  0, 2 
e)  5,   
18. (G1 - ifal 2012) A solução da equação logarítmica log4 (x  6)  log2 (2x  16)  1 é o
número real “m”. Desse modo, podemos afirmar que
a) m = 7 ou m = 10.
b) o logaritmo de m na base dez é igual a um.
c) m = 10, pois m > 6.
d) m = 7, pois m > 6.
e) m2 = 20.
19. (G1 - ifsc 2012) O valor CORRETO da expressão E  log2 8 
0,001  1 

10000  2 
3
é:
a) 10000.
b) 11,0000001.
c) 11  10–7.
d) 11.
e) –1.
20. (Espm 2012) Se log15 2  a e log10 2  b, o valor de log10 3 é:
a
1
b
b
b  1
a
b
a  1
a
a
b  1
b
a
a b
b
a) a 
b)
c)
d)
e)
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21. (G1 - ifba 2012) O valor da expressão M  log2 0,25  log 3 27  co log4 8 é:
a) 1
b) -3/2
c) 2
d) -5/2
e) 3
22. (Fgvrj 2012) Adotando os valores log2  0,30 e log3  0,48, em que prazo um capital
triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano?
a) 5 anos e meio
b) 6 anos
c) 6 anos e meio
d) 7 anos
e) 7 anos e meio
23. (G1 - ifce 2012) Considerando-se K = 100log 3 + 1000log 2, onde os logaritmos são decimais,
é correto afirmar-se que K é
a) múltiplo de 10.
b) negativo.
c) maior que 100.
d) ímpar.
e) irracional.
24. (Fgvrj 2012) A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos
terrenos de certa região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo
não podia ser explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos.
Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser
2
expresso pela função f(x)  2000  e2x 0,5x , em que x representa o número de anos
transcorridos desde 2005.
Assim: f(0) é o preço do terreno em 2005, f(1) o preço em 2006, e assim por diante.
a) Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais?
b) Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005?
c) Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005?
Use as aproximações para resolver as questões acima:
...e2  7,4; ln 2  0,7; ln 5  1,6; 34,4  6
25. (Ufrgs 2012) O número log2 7 está entre
a) 0 e 1.
b) 1 e 2.
c) 2 e 3.
d) 3 e 4.
e) 4 e 5.
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26. (Ime 2012) Se log10 2  x e log10 3  y, então log5 18 vale:
a)
b)
c)
d)
e)
x  2y
1 x
xy
1 x
2x  y
1 x
x  2y
1 x
3x  2y
1 x
2
2

 x  6xy  9y  0
27. (Ifsp 2011) Resolvendo o sistema de equações 
obtém-se um par

log  x  2  logy  0
ordenado (x; y), cuja diferença x – y é
a) 3.
b) 2.
2
c) .
3
2
d)  .
3
e) - 2.
28. (Espm 2011) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do log9 160 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
4a  b
2
4a  1
2b
2a  3b
2
4b  2
a
a 1
3b
29. (G1 - cftmg 2011) O conjunto soluçăo da equaçăo log2 (x2  7x  10)  log2 (x  5)  log2 10 é
a) 5,12
b) 12
c) 5
d) 
30. (Ufrgs 2011) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número 1610 está entre
a) 109 e 1010 .
b) 1010 e 1011 .
c) 1011 e 1012 .
d) 1012 e 1013 .
e) 1013 e 1014 .
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]


2
A1  A 2  A 3  1 log 2  2  log 3  3  log5  log2  log32  log53  log 2  32  53  log  2  5    3  5   


log10  log152  1  2  log15.
Resposta da questão 2:
[C]
T(x)  101  T0
101  T0  T0  0,50,1x
log101  log(0,5)0,1x
1  0,1x  (log1  log2)
1  0,1x  (0  0,3)
1  0,03x
x  33,3333...
Logo, D = 34.
Resposta da questão 3:
[E]
13,55  6,775  1,05 
2  1,05 
t 1
t 1
log  2   log 1,05 
t 1
0,3   t  1  log1,05
0,3  (t  1)  0,02
15  t  1
t  16
t  1, representa 2011.
t  16 , representa o ano de 2026.
Resposta da questão 4:
a) S = –18.log(t+1) + 86
S = –18.log(9+1) + 86
S = –18.1 + 86
S = 68
Resposta: 68%.
b) 50 = –18.log(t+1) + 86
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–36 = –18.log(t+1)
log (t+1) = 2
t + 1 = 100
t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos
Resposta da questão 5:
[B]
O número N de bactérias após t períodos de 12 horas é igual a 10  2t. Logo, em uma
semana, teremos
N  10  214  logN  log10  214
 logN  log10  14  log2
 logN  1  14  0,3
 N  105,2.
Portanto, 105  N  105,5.
Resposta da questão 6:
a) No gráfico, log10No = 6.
b) log10No = 6  No=106 = 1 000 000.
c) N(t) 
No
2
N 
logN(t)  log  o 
 2 
logN(t)  logNo  log2
logN(t)  6  0,3
logN(t)  5,7
Observando o gráfico,
logN(t) = 5,7  t = 6 horas.
Resposta da questão 7:
01 + 16 = 17.
log9  2x  5   log3  3x   1 
1
log2 (2x  5)  log3 3x  1 
2
log3 (2x  5)  log3 (3x)  2  log3 (6x 2  15x)  2 
6x 2  15x  9  0
Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém).
[01] (Verdadeira). x = 3.
[02] (Falsa). Existe apenas uma solução.
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[04] (Falsa). Existe apenas uma solução.
[08] (Falsa). A solução x = 3 é inteira.
[16] (Verdadeira). 3 < log5 625, ou seja, 3 < 4.
Resposta da questão 8:
[E]
Lembrando que logb a  c  a  bc , com a  0 e 1  b  0, temos
log3 (x  y)  5
log5 (x  y)  3


x  y  35
x  y  53
x  184
.
y  59
Portanto,
log2 (3x  8y)  log2 [3  184  8  ( 59)]
 log2 1024
 log2 210
 10.
Resposta da questão 9:
[D]
log3,6  log
36
 log36  log10  log(22  32 )  1  log22  log32  1  2log2  3log3  1 
10
 2  (m  n)  1
Resposta da questão 10:
Seja a função p :

  , definida por p(m)  1800  1,1m1, com p(m) sendo a capacidade
de produção, em toneladas, no mês m.
O valor de m para o qual p(m)  12,1 p(1) é tal que
12,1 1800  1800  1,1m1  1,1m1  12,1
 log1,1m1  log12,1
 (m  1)  log1,1  log(1,1)2  10
 (m  1)  log1,1  2  log1,1  log10
 (m  1)  0,04  0,08  1
 m  27  1
 m  28.
Resposta da questão 11:
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[E]
1
Sabendo que log r p   logq p, para quaisquer reais positivos p, q e r, com q  1, vem
q
r
6  loga m
1


 2  2   1   loga m   6  loga m
1  log 2 m
 2

a
 2  loga m  6  loga m
 loga m  2
 m  a2 .
Portanto,
m
a m

a2
a a
2

a
1
 .
aa 2
Resposta da questão 12:
[C]
Sabendo que logb a 
logc a
, com a, b e c reais positivos e b, c  1, vem
logc b
3
log3
3
x  (log x)2  1.
log3x  (log3 x)2  1 
3
x
log3 3x
m
Daí, como logp (m  n)  logp m  logp n e logp    logp m  logp n, sendo m, n e p reais
n
positivos e p  1, temos

log3 x  1
 (log3 x)2  1.
log3 x  1
Fazendo y  log3 x, segue que
(y  1)(y  1) 

y 1
1 
 0  (y  1)  y  1 
0
y 1
y  1 

 y(y  1)(y  2)  0
 y  0 ou y  1 ou y  2.
Desse modo, as raízes reais da equação dada são x  1, x  3 e x 
1
e, portanto, o resultado
9
2
 1
1
pedido é 12  32     10   [10, 15[.
9
81
 
Resposta da questão 13:
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[A]
Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M  0.
Determinando, agora a altura, para M  0.
1.000 – 250  log d  0  250  log d  1.000 
 log d  4  d  104  d  100.00 m
Determinando o tempo de queda.
10 t 2  10.000
t 2  1.000
t 32 s
Resposta da questão 14:
[B]
Sabendo que logc a  logc b  logc ab para a, b e c reais positivos e c  1, vem
logx (x  3)  logx (x  2)  2  logx (x  3)(x  2)  2
 x2  x  6  x2
 x  6.
Portanto, x  6 é a única solução real da equação.
Resposta da questão 15:
M  mon tan te
C  capital

Cálculo de Juros Compostos M  C(1  i)t onde 
 i  taxa
 t  tempo
Portanto:
2000  1000(1  0,06)t  1,06t  2  log2 1,06t  log2 2  t(0,084)  1  t  11,9 anos
Resposta da questão 16:
[B]
log9 a2 
log2 a2 2  log3 a

 log3 a  x.
log3 9
2
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Resposta da questão 17:
[B]
Temos que
5 x 1  150  5 x 1  2  3  52
 5 x 3  2  3
x 3
 10 
 log  
 log(2  3)
 2 
 (x  3)  (log10  log2)  log2  log3
 (x  3)  (1  0,3)  0,3  0,48
0,78
 x3 
0,7
 x  3  1,1
 x  4,1.
Portanto, x  [4, 5[.
Resposta da questão 18:
[B]
Condição de existência: x – 6 > 0 e 2x – 16 > 0  x > 8
log2 (x  6)
 log2 (2x  16)  1 (x2)
2
log2 (x  6)  2  log2 (2x  16)  2
log2
(x  6)
(2x  16)2
(x  6)
2
(2x  16)

 2
1
 4x 2  68x  280  0  x  10 ou x = 7 (não convém)
4
Portanto, m = 10 e log10 = 1.
Resposta da questão 19:
[B]
E  log2 8 
E 3
0,001  1 

10000  2 
103
10
4
3
 23
E  3  103  4  8
E  11  107
E  11  0,0000001
E  11,0000001.
Resposta da questão 20:
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[B]
Escrevendo log15 2 na base 10, obtemos
log10 2
 30 
log10  
 2 
log10 2

log10 (3  10)  log10 2
log15 2 

log10 2
.
log10 3  log10 10  log10 2
Portanto, sabendo que log15 2  a e log10 2  b, vem
a
b
b
 1  b  log10 3 
1  b  log10 3
a
 log10 3  b 
b
 1.
a
Resposta da questão 21:
Questão anulada no gabarito oficial.
M  log2 0,25  log 3 27  co log4 8
M  2  6  3 2
M5 2
(Sem resposta)
Resposta da questão 22:
[B]
Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa
de juro de 20% ao ano.
Logo,
3C  C  (1  0,2)n  3  (1,2)n
n
 22  3 

 log3  log 
 10 
 log3  n  (2  log2  log3  log10)
0,48
n
0,08
 n  6.
Resposta da questão 23:
[D]

K  100log3  1000log2  10log3
  10 
2
log2
3
 32  23  17 (ímpar).
Resposta da questão 24:
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a) O maior valor de mercado do terreno ocorreu em 2007, ou seja,
2
f(2)  2000  e220,52
 2000  e2
 R$ 14.800,00.
b) Em 2005, o valor de mercado do terreno era de R$ 2.000,00.
Queremos calcular o valor de x para o qual f(x)  2000, isto é,
2
2000  2000  e2x 0,5x  1  e2x 0,5x
2
 n1  n e2x 0,5x
2
 0,5x 2  2x  0
 x  4.
Portanto, o preço do terreno em 2009 foi igual ao preço do terreno em 2005.
c) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem f(x) 
2
2000  e2x 0,5x 
1
 f(0), ou seja,
10
2
1
 2000  e2x 0,5x  10 1
10
2
 n e2x 0,5x  n (2  5)1
 ( 0,5x 2  2x)  n e  ( n 2  n 5)
 0,5x 2  2x  2,3  0
 x 2  4x  4,6  0
 x  5.
Por conseguinte, em 2010 o preço do terreno foi igual a um décimo do preço em 2005.
Resposta da questão 25:
[C]
log2 7  x  2x  7  2  x  3.
Resposta da questão 26:
[A]
log5 18=
log(32  2) log32  log2 2log3  log2 x  2y



10
log5
log10  log2
1 x
log
2
Resposta da questão 27:
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[B]
Condição de existência x = 2 > 0 e y > 0
  x  3y 2  0
2
2


 x  3y
 x  6xy  9y  0
   x  2


log
x

2

logy

0

0

y  x  2
log
 
y

Resolvendo, temos x = 3 e y = 1.
Logo, 3 – 1 = 2.
Resposta da questão 28:
[B]
Sabendo que loga b 
log9 160 

logc b
, temos que
logc a
log160
log9
log24  log10
log32

4  log2  1
2  log3

4a  1
.
2b
Resposta da questão 29:
[B]
 x 2 - 7x  10  0
(condição de existência)

x-5  0

log2
x 2 - 7x  10
 log2 10
x-5
x 2 - 7x  10
 10
x-5
x 2 - 17x  60  0
x  12 ou x  5( não convém)
S = {12}
Resposta da questão 30:
[D]
Façamos x  1610  (24 )10  240. Assim,
log x  log240  log x  40  0,301
 log x  12,04
 x  1012,04.
Portanto, 1012  x  1013.
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