Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 6º Ano
Operações com números naturais:
potenciação
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
O que se espera do educando durante o desenvolvimento do conceito de potência no
6º Ano do Ensino Fundamental :
Um dos objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do Ensino Fundamental,
visando ao desenvolvimento do pensamento numérico por meio da exploração de situações
de aprendizagem, é “resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros,
racionais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação”(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental, Matemática, 1998, página 64).
CONCEITOS E PROCEDIMENTOS
-Compreensão da potência com expoente inteiro positivo como
produto reiterado de fatores iguais, identificando e fazendo uso das
propriedades da potenciação em situações-problema.
- Atribuição de significado à potência de expoente nulo e negativo pela
observação de regularidades e pela extensão das propriedades das
potências com expoente positivo.(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental, Matemática, página 72,1998)
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
LEIA O TEXTO COM MUITA ATENÇÃO E TENTE SOLUCIONAR OS PROBLEMAS
PROPOSTOS
O professor de Matemática convidou seus alunos a
participarem de um jogo composto por 3 fases, e cada uma possui
um problema a ser solucionado:
1ª FASE:
Dois amigos, Petrúcio e Pedro, estão doentes e
foram ao médico, que prescreveu a seguinte medicação:
Petrúcio precisa tomar dois comprimidos durante seis
dias, e Pedro, três comprimidos durante três dias.
Quantos comprimidos cada um deve tomar?
Problema inspirado em um problema dos PCN, Ensino Fundamental, Matemática, Página 109.
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Operações com números naturais: potenciação
SOLUÇÃO
PETRÚCIO:
2 COMPRIMIDOS DURANTE 6 DIAS
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12
ou
6 X 2 = 12
ou
6 . 2 = 12
PEDRO:
3 COMPRIMIDOS DURANTE 3 DIAS
3+3+3=9
ou
3 X 3 = 9 ou 3 . 3 =9
RESPOSTA: Petrúcio deve tomar 12 comprimidos, e Pedro, 9.
Observação:
1- No contexto do problema que foi apresentado, apenas a escrita 6 x 2 traduz o problema, embora 2 x 6 = 6 x 2.
2-Essa atividade é uma boa oportunidade para se refletir sobre a seguinte pergunta: Por que os médicos utilizam em
suas prescrições de medicamentos intervalos de hora do tipo: de 4 em 4 horas, 6 em 6 horas, 8 em 8 horas, 12 em 12
horas?
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
2ªFASE:
Para se preparar para os jogos escolares, Robério
precisa melhorar seu condicionamento físico, por isso pediu
ajuda a Issac, seu professor de Educação Física. Este lhe
recomendou um programa de condicionamento físico que é
iniciado com uma caminhada, durante 5 semanas, na pista do
campo de futebol próximo à casa de Robério, de modo que o
número de voltas deve dobrar a cada semana.
Quantas voltas Robério dará na 5ª semana?
PERÍODO
NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA
1ª semana
2
2ª semana
2.2 = 4
3ª semana
2.2.2 = 8
4ª semana
2.2.2.2 = 16
5ª semana
?
Observação:
As atividades físicas devem ser
orientadas por
um profissional
da área de Educação Física,
que determinará a frequência
e a intensidade
dos exercícios .
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
SOLUÇÃO
PERÍODO
NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA
1ª semana
2
2ª semana
2.2 = 4
3ª semana
2.2.2 = 8
4ª semana
2.2.2.2 = 16
Continuando o raciocínio da tabelas, temos:
5ª semana = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
Portanto, na 5ª semana, Robério dará 32 voltas.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
3ª FASE:
Kleison é um estudante muito aplicado e sempre faz suas tarefas
de casa. Ele gosta bastante das tarefas relacionadas às operações
matemáticas. Seu professor de Matemática, sabendo disso, chamou-o
para resolver, no quadro da sala de aula, as seguintes operações:
10.10.10.10 =
2.3.4.5 =
Quais foram os resultados encontrados por Kleison?
(A) 40 e 14 respectivamente
(B) 100 e 29 respectivamente
(C) 10000 e 120 respectivamente
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
SOLUÇÃO
Para resolver esse problema, Kleison realizou as multiplicações da seguinte forma:
2.3.4.5=
10 . 10 . 10 . 10 =
= 100 . 10 . 10 =
=
1000 . 10 =
=
6 .4.5=
=
24 . 5 =
10000
Resposta: 10000 e 120. Letra c.
=
120
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Operações com números naturais: potenciação
Ao término do desafio, o professor apresentou aos estudantes um quadro com as
multiplicações que apareceram durante a solução de cada uma das 3 fases.
1ªFASE: 6 . 2 e 3 . 3
2ªFASE:
2.2.2.2.2
3ªFASE:
10. 10. 10 .10
e
2.3.4.5
Em seguida, fez o seguinte
questionamento:
- Poderíamos separar essas
operações em dois grupos? O que
seria levado em consideração nessa
separação?
1º GRUPO
6.2
2.3.4.5
Após o
debate,
tem-se:
2º GRUPO
3.3
2.2.2.2.2
10.10.10.10
Parabéns! Observa-se que o 1º grupo é formado por multiplicações com fatores
diferentes, e o 2º grupo é formado por MULTIPLICAÇÕES DE FATORES IGUAIS.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
- No segundo grupo, está acontecendo uma coisa muito
especial, diz o professor. Em cada multiplicação, TODOS
OS FATORES SÃO IGUAIS.
Em seguida, o
professor lançou
mais um desafio:
- Vamos criar uma
maneira mais
sucinta, ou seja,
simples , de
representar as
multiplicações
apresentadas no 2º
grupo?
- Para iniciar, disse o
professor com intenção
de ajudar os alunos
nesse desafio, vou fazer
algumas observações.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Cada multiplicação está baseada em um
único número, ou seja, tem como BASE
apenas um número.
Exemplo:
3.3
( tem como BASE o número 3)
2 . 2 . 2 . 2 ( tem como BASE o número 2)
10.10.10.10.10 ( tem como BASE o número 10)
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Operações com números naturais: potenciação
Cada multiplicação nos EXPÕE uma certa
quantidade de fatores.
Exemplo:
3.3
2.2.2.2.2
10.10.10.10
Expõe dois fatores
Expõe cinco fatores
Expõe quatro fatores
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Em seguida, o professor analisou:
Se tem como BASE o número 2,
Se tem como BASE o número 3,
3.3
nos EXPÕE dois fatores.
2.2.2.2.2
nos EXPÕE cinco fatores.
Se tem como BASE o número 10,
10.10.10.10
nos EXPÕE quatro fatores.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
- Então, diz o professor, podemos representar essas
multiplicações assim:
2.2.2.2.2=2
5
3 . 3 = 3²
3 é o número BASE dessa
multiplicação, e o 2, a
quantidade de fatores que ela
nos EXPÕE.
O número 2 é a BASE dessa multiplicação, e o
número 5 é a quantidade de fatores EXPOSTO
por essa operação
4
10.10.10.10= 10
10 é a BASE e 4, o EXPOENTE.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Seguindo, o professor questiona: - Quem pode dar
outros exemplos aqui no quadro? Qual a quantidade mínima
de fatores? E a máxima?
MAIS EXEMPLOS:
Nota:
Preparando para
generalizar
a
ideia .
0.0 = 0²
7.7.7 = 7³
6
4
5.5.5.5 = 5
1.1.1.1.1.1 = 1
5
12.12.12.12.12 = 12
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
O professor conclui:
Essa multiplicação de fatores iguais é uma operação
matemática que recebe o nome de POTENCIAÇÃO. O símbolo que
representa essa multiplicação é denominado POTÊNCIA.
-
EXEMPLO:
5 . 5 = 5² = 25
POTENCIAÇÃO
Nota:
Consultar
no
dicionário o
significado
da palavra
potência.
POTÊNCIA
EXPOENTE
5²
BASE
RESULTADO ou
POTÊNCIA DE 5
Pesquisa na
Internet: Qual(is)
o(s) matemático(s)
responsável (is)pela
criação da potência?
Sugestão de sites:
http://www.educ.fc.
ul.pt/docentes/jpon
te/artigos_pt.htm
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
LEITURA DAS POTÊNCIAS
- Agora
surgiu uma
dúvida, diz
o professor,
como essas
potências
são lidas?
3 2 Lê-se: Três elevado à segunda potência.
2 5 Lê-se: Dois elevado à quinta potência.
4
10 Lê-se: Dez elevado à quarta potência.
710 Lê-se: Sete elevado à décima potência.
Agora é sua vez, leia as potências:
12
5²
06
1013 20³ 1820
8
7
8
4
3418
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Vamos agora escrever uma potência de um modo
mais amplo, generalizado, isto é, vamos defini-la.
Considerando p e n números naturais, sendo n
maior que 1, temos:
pn é o produto de n fatores iguais a p.
p n = p . p . p . p . ... . p
Lê-se: p elevado a n
n vezes
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
O estudante Antônio Luiz, pedindo licença,
indagou: - Professor, o que acontece se o
expoente for 0 ou 1?
O professor respondeu: - Antônio Luiz, para
saber o que acontece quando o expoente é 0
ou 1, observe ATENTAMENTE a tabela a seguir
e tente completar as células vazias com o
auxílio de seus colegas.
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Operações com números naturais: potenciação
POTÊNCIA
RESULTADO
24
16
23
8
22
4
21
?2
20
?1
POTÊNCIA
16 dividido por 2 = 8
8 dividido por 2 = 4
RESULTADO
34
33
32
31
81
27
9
?3
30
?1
Dividido por 3
Dividido por 3
De acordo com o que observamos nas tabelas,
podemos concluir que:
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Toda potência com base diferente de zero e
expoente zero é igual a 1.
Exemplos: 2°=1
3°=1
4°=1
8°=1
Toda potência de expoente 1 é igual à própria
base.
Exemplos: 2¹=2
5¹=5
14¹=14
0¹=0
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
De um modo geral, para todo número natural p diferente
de zero (p ǂ 0) e n menor que 2 (n < 2), temos:
p¹ = p
p° = 1
OBSERVAÇÃO:
0° = INDETERMINAÇÃO
Leia mais sobre
indeterminação
no endereço
eletrônico:
pt.wikipedia.org
Sugestão para revisão: assista aos 9 primeiros minutos do Novo
telecurso 2000, Ensino fundamental, Matemática, Aula 53.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
O professor segue apresentando POTÊNCIAS
ESPECIAIS.
Há potências que podem ser representadas por uma figura.
Exemplos:
Por estar associada a essas
figuras ao lado, as potências
de expoente 2 e de expoente 3
são lidas de uma forma
diferente, especial:
3² Lê-se: Três elevado ao
quadrado ou quadrado de
3.
5³ Lê-se: Cinco elevado ao
cubo ou cubo de 5.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
DICA DE AULA AO AR LIVRE
Como atividade complementar, pode ser desenvolvida uma
situação-problema ao ar livre, a qual consiste em medir os lados
de quadrados de tamanhos variados formados no chão com fita
crepe e, em seguida, calcular suas respectivas áreas. Nessa
atividade, os alunos devem perceber que todas as áreas das
figuras podem ser escritas por uma potência cuja base é igual à
medida do lado do quadrado e, na sequência, devem generalizar
essa ideia, escrevendo a fórmula da área de um quadrado.
Em seguida, farão uma atividade que consiste em formar
quadrados com grãos (sementes) separados com a mesma
distância (malha pontilhada), para que entendam porque os
resultados das potências que representam as áreas dos
quadrados são chamados de “quadrados perfeitos” e também
porque a potência de expoente 2 pode ser lida de forma diferente,
especial (elevado ao quadrado).
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
DICA DE AULA EM LABORATÓRIO
Com os blocos de cubos, os alunos devem construir
cubos partindo de um único cubinho, que será tomado como
unidade de volume, e assim observar os volumes, ao
construírem cubos com oito cubinhos e 27 cubinhos. Nessa
atividade, os alunos devem perceber que todos os volumes
das figuras espaciais podem ser escritos por uma potência
cuja base é igual à medida da aresta do cubo. Em seguida,
devem generalizar essa ideia, escrevendo a fórmula de
volume de um cubo e percebendo, assim, porque os
resultados das potências que representam os volumes dos
cubos são chamados de “cubos perfeitos” e também porque
a potência de expoente 3 pode ser lida de forma diferente,
especial (elevado ao cubo).
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Exemplo de aplicabilidade de potência na Informática.
As potências são muito utilizadas para representar
números grandes:
9
1.000.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10.10 = 10
100.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 108
10.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10 = 107
1.000.000 = 10.10.10.10.10.10 = 10 6
100.000 = 10.10.10.10.10 = 105
10.000 = 10.10.10.10 = 104
Nota: Utilizar
calculadora
simples ou
de celular,
para verificar
alguns desses
números (os
de expoente
menores ou
iguais a 7).
Observe que o número de zeros determina o valor do expoente:
1.000.000.000.000 = 10
Lê-se: Um trilhão
12 zeros
12
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
O computador é bastante utilizado para
armazenamento e processamento de informações de
maneira precisa e rápida e tem como unidade de medida
de informação o byte (lê-se: baite).
VEJA ALGUNS MÚLIPLOS DO
BYTE:
Kb = 1.000 bytes
Mb = 1.000.000 bytes
Gb = 1.000.000.000 bytes
Observe uma configuração básica de um computador:
Processador de 2 GHz, memória de 128Mb,
HD de 120 Gb, monitor de 18”, placa de vídeo
de 8Mb.
Nota: Pesquisar:
a)em
revistas,
jornais, etc, outras
configurações de
computadores
e
fazer um debate:
qual o melhor
computador a ser
comprado? O que
influencia o preço?
Etc.
b)Como é medida a
polegada
no
monitor?
c)O
que
é
configuração de um
computador?
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Passando para forma de potência, temos:
Agora, vamos ler:
MEDIDA
LÊ-SE
2 GHz
Dois gigahertz ou dois bilhões de hertz.
120 GB
Cento e vinte gigabytes ou cento e vinte bilhões de bytes.
128 MB Cento e vinte e oito megabytes ou cento e vinte e oito
milhões de bytes.
8 MB Oito megabytes ou oito milhões de bytes.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
Para agilizar cálculos com potências, utilizamos
algumas propriedades da potenciação.
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE:
7
4
2³ . 2 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
3 fatores
Outro modo:
2³ . 24 = 2 3+4 = 2 7
4 fatores
Observe que, para multiplicar potências de bases iguais,
conservamos a base e somamos os expoentes.
Outro exemplo: 5² . 5³ . 5 = 5 (2+3+1) = 56
Atenção!
5=51
4=41
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
3
2 5 : 2 2 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 . 2 . 2 = 2
2.2
5 fatores
2 fatores
Outro modo:
5
2 : 2² = 2
(5-2)
= 2³
Observe que, para dividir potências de bases iguais,
não-nulas, conservamos a base e subtraímos os
expoentes.
Outro exemplo: 5³ : 5 = 5(3-1) = 5²
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA
3+3
3
6
OUTRO MODO:
(3³)² = 3
3.2
=3
6
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos
a base e multiplicamos os expoentes.
5
Outro exemplo: [(5³)²] = 5
3 . 2. 5
= 5 30
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
POTÊNCIA DE UMA PRODUTO:
(2 . 5)³ = (2 . 5) . (2 . 5) . (2 . 5) =
Aplicando a
propriedade
comutativa da
multiplicação,
temos:
= (2 . 2 . 2) . (5 . 5 . 5) = 2³ . 5³
3 fatores
3 fatores
Para elevar um produto a um expoente,
basta elevarmos cada um dos fatores do
produto a esse expoente.
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição,
Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros curriculares nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. –
Brasília : MEC /SEF, 1998.148 p.1.
-Projeto Araribá, Matemática/obra coletiva, Editora responsável: Juliane Matsubara, São Paulo,
Moderna, 2006.
-Logen, Adilson, Matemática em movimento, 5ª série, São Paulo, Editora do Brasil, 1999.
-www.somatematica.com.br
-Novo telecurso, ensino fundamental, Matemática, aula 09( Propriedades da multiplicação).
-http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos_pt.htm
-http://tvescola.mec.gov.br/