COLÉGIO PEDRO II
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II
Notas de aula de Matemática
3º ano/Ensino Médio
Prof. Andrezinho
NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL
Notas de aula de Matemática – Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial
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Superfícies
Podemos obter superfícies por meio de procedimentos como os descritos a seguir:
(a) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva passando por um ponto fixo não pertencente a ela.
(b) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva fixada (diretriz) sempre paralelamente a uma outra linha
reta fixa.
(c) fazendo um giro de 360° de uma curva (geratriz) em torno de uma linha reta fixada (eixo de revolução).
Sólidos geométricos
São corpos contidos dentro de uma superfície fechada e limitada por uma ou mais superfícies planas que
intersectem aquelas. Destacamos:
- Altura do sólido: é a distância entre os planos das
bases ou distância do vértice ao plano da base;
- Sólido reto: é aquele cuja base ou as bases são
perpendiculares às geratrizes (se elas forem paralelas)
ou à linha de união do vértice com o centro da base
(superfícies cônicas);
- Sólido oblíquo: é o sólido que não é reto;
- Sólido regular: é o sólido reto com faces laterais
iguais.
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Superfície Cilíndrica
É a superfície gerada por uma linha reta que se move, de maneira que é sempre paralela a uma dada reta fixa e
passa sempre por uma curva fixa dada.
A reta que se move é denominada geratriz e a curva dada fixa é a diretriz da superfície cilíndrica. Qualquer
posição da geratriz é denominada uma geratriz da superfície cilíndrica. O sólido limitado por uma superfície
cilíndrica recebe o nome de cilindro. O nome da superfície cilíndrica (ou do cilindro) é dado a partir da forma da
diretriz.
Na figura seguinte, a geratriz é destacada em negrito. Essa superfície é um cilindro elíptico reto.
Se ao invés de uma elipse tivéssemos um círculo, a superfície seria um cilindro circular reto. Se no lugar da elipse
ou do círculo tivéssemos uma poligonal simples, a superfície seria um prisma reto.
Cilindro circular reto
Prisma
Superfície cônica
É uma superfície gerada por uma reta r (AA´) que se move ao longo de uma curva  e que passa por um ponto
fixo S fora da curva. A reta móvel é chamada de geratriz, a curva  é denominada de diretriz e o ponto fixo de
vértice do cone.
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O vértice (S) separa cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas sendo muito usual
apresentamos apenas uma das folhas. O sólido limitado por uma superfície cônica recebe o nome de cone. O
nome da superfície cônica (ou do cone) é dado a partir da forma da diretriz.
Pirâmide
Cone circular
Observação:
É chamada de cônica toda a linha que se obtém como intersecção de um plano com uma superfície cônica.
Cônicas clássicas
Área da superfície de um cilindro (ou de um cone)
Planificar uma superfície cilíndrica ou cônica é a operação que consiste em cortar essa superfície ao longo de uma
de suas geratrizes, abrindo-as e tornando-as plana.
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Observação:
A figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada cilíndrica reta é sempre um retângulo cujas
dimensões são a altura do cilindro e o perímetro de sua base. A figura obtida por meio da planificação de uma
superfície fechada cônica reta é um setor circular cujo raio é a geratriz e cujo arco correspondente é o perímetro
de sua base.
A área da figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada é denominada área total e a área da
superfície cilíndrica (ou cônica) que limita o sólido é denominada área lateral.
Nos exemplos acima:
- Cone circular reto:
- Cilindro circular reto:
A área lateral corresponde à área de um setor circular
A área lateral corresponde à área de um retângulo de
e, a área total corresponde à área do setor acrescida
dimensões dadas pelo perímetro da base, que é um
da área da base que é um círculo.
círculo (perímetro: 2.π.raio), e pela altura do sólido e,
a área total corresponde à área do retângulo acrescida
das áreas das bases que são dois círculos de mesmo
raio (área: π.raio.raio).
- Prisma triangular regular:
- Pirâmide quadrangular regular:
A área lateral corresponde área de um retângulo de A área lateral corresponde área de quatro triângulos
dimensões dadas pelo perímetro da base, que é um
equiláteros de mesmo lado, e a área total corresponde
triângulo equilátero (perímetro: 3.lado), e pela altura
à área dos quatro triângulos acrescida da área da base
do sólido e, a área total corresponde à área do
que é um quadrado.
retângulo acrescida das áreas das bases que são dois
triângulos equiláteros de mesmo raio.
Volume de um sólido
Grosso modo, o volume de um sólido corresponde à porção do espaço ocupada pelo sólido ou a capacidade que
ele possui de armazenar substâncias. A unidade de volume é o volume de um cubo de aresta unitária. Assim,
calcular o volume de um sólido significa determinar quantas vezes um cubo unitário cabe nesse sólido.
Considere o seguinte exemplo:
Um aquário possui o formato de um paralelepípedo
com as seguintes dimensões:
Determine quantos litros de água são necessários para
encher o aquário.
Note que, pelo conceito que expressamos, nesse paralelepípedo cabem 50 x 20 x 15 = 15 000 cubos de aresta 1
cm. Logo, o volume desse paralelepípedo será 15 000cm3. Lembrando que, cada cm3 corresponde a 1 litro, temos
que a quantidade pedida é 15 litros.
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Esse exemplo nos permite intuir que, dado um paralelepípedo de dimensões medindo respectivamente a, b e c, o
volume do paralelepípedo será o produto a.b.c.
𝑽𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐 = 𝒂. 𝒃. 𝒄
Observação (Princípio de Cavalieri)
Considere que as figuras acima sugiram formatos que podemos visualizar em um pacote de pão de forma, desses
que são vendidos em padarias e supermercados. Na primeira figura, as fatias estariam bem arrumadas, enquanto
que a demais figuras representam deformações da posição inicial. Em qualquer das três posições, o volume do
sólido obtido é a soma dos volumes das fatias. Essa, em essência é a idéia do Princípio de Cavalieri que diz o
seguinte:
Se a interseção de dois sólidos com planos paralelos a um plano fixo resultar em
figuras de mesma área, então, esses sólidos têm mesmo volume.
Antes de aplicarmos esse resultado para obter os volumes de outros sólidos, faremos algumas considerações:
1ª) Esse plano fixo a que nos referimos no princípio de Cavalieri costuma estar na posição horizontal, como se os
sólidos repousassem sobre uma mesa.
2ª) Esse princípio afirma que se há uma maneira de dispormos os sólidos, de modo que as secções tenham
mesma área, então eles têm mesmo volume. Isso não quer dizer que sólidos de mesmo volume tenham,
necessariamente, secções de mesma área, quando interceptados por planos paralelos.
3ª) Para aplicarmos o princípio de Cavalieri, temos que dispor os sólidos em posições convenientes, de maneira
que as hipóteses sejam confirmadas.
Ainda com relação às figuras, imaginadas como um pacote de pão de forma, observamos que os sólidos foram
cortados em um mesmo número de fatias, todas com mesma altura (espessura) e bases de mesma área. Esse
mesmo procedimento poderia ser reproduzido com uma pilha de CD`s. Isso nos leva a intuir que o volume de
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qualquer prisma (mais genericamente, qualquer cilindro) será obtido por meio do produto da área de sua base
pela sua altura.
De fato, seja o plano que contém a base do cilindro. Construindo ao seu lado um paralelepípedo com área da
base igual a S e altura h, notamos que as áreas das secções obtidas no cilindro e no paralelepípedo por planos
paralelos são iguais às das bases dos respectivos sólidos. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo
volume. Como o volume do paralelepípedo é S.h, o do cilindro também é S.h.
𝑽𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝑺𝒃𝒂𝒔𝒆 . 𝒉
Ademais, seja ABCD uma pirâmide de base ABC. Vamos construir o prisma ABCDEF a partir da base ABC,
considerando a aresta CD como geratriz. Veja a figura a seguir.
É evidente que a altura do prisma construído é igual à altura da pirâmide que o gerou. Além disso, podemos
dividir a parte que foi acrescentada à pirâmide em duas outras pirâmides, conforme mostra a figura seguinte.
Assim, o prisma é formado por três pirâmides ABCD, DEFB e ABED, as quais possuem em comum algumas arestas.
Como podemos deduzir a partir de nossa intuição, o volume do prisma é igual à soma dos volumes das pirâmides.
Ocorre que V(ABCD)=V(DEFB), pois suas alturas são iguais (CD e FB) e as áreas das bases também (S(ABC)=S(EFD)).
Da mesma forma, V(DEFB)=V(ABED), já que e S(BDF)=S(ADE). Portanto, V(ABCD)=V(DEFB)= V(ABED). Dessa forma,
o volume do prisma é igual a três vezes o volume da pirâmide que o gerou. Portanto, como o volume do prisma é
o produto da área da base pela altura correspondente, temos que, o volume de uma pirâmide de base triangular
é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
De modo geral, dada uma pirâmide cuja base é um polígono de n
lados (n > 2), decompondo essa base em [n – 2] triângulos, teremos
que o volume será igual a um terço do produto da área da base pela
altura.
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Generalizando, consideremos o plano que contém a base de um cone. Construindo ao seu lado uma pirâmide
com área da base igual a S e altura h, notamos que as áreas das secções obtidas no cone e na pirâmide por planos
paralelos são iguais às das bases dos respectivos sólidos. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo
volume, ou seja:
𝑽𝒄𝒐𝒏𝒆 =
𝟏
.𝑺
.𝒉
𝟑 𝒃𝒂𝒔𝒆
Superfícies de revolução
São superfícies geradas pelo movimento de rotação completa (3600) de uma linha qualquer (eixo de rotação ou
de revolução) em torno de um eixo (diretriz). Pertencem a este tipo de superfícies os cones e cilindros retos, a
esfera, o toro, ogivas, e muitas outras. Este tipo de superfície tem grande aplicação prática e pode ser encontrado
em uma variedade muito grande de objetos, tais como: utensílios domésticos, embalagens, componentes
mecânicos, elementos arquitetônicos, fuselagens de foguetes e mísseis.
Exemplos:
Curva geratriz
Sólido
Curva geratriz
Superfície
Superfície geratriz
Sólido
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Superfície geratriz (retângulo)
Sólido (cilindro circular reto)
’
Superfície geratriz (triângulo retângulo)
Sólido (cone circular reto)
Superfície geratriz (semicírculo)
Sólido (esfera)
Área de superfícies de revolução (teorema de Pappus-Guldin)
Observe a figura:
d = distância do centro de gravidade (CG) da curva ao eixo e
L = comprimento da curva
𝑨𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖çã𝒐 = 𝟐𝝅. 𝒅. 𝑳
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Volume de sólidos de revolução (teorema de Pappus-Guldin)
d = distância do centro de gravidade (CG) da superfície ao
eixo e
S = área da superfície
𝑽𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖çã𝒐 = 𝟐𝝅. 𝒅. 𝑺
Observação:
O centro de gravidade (CG) de um sólido é, grosso modo, uma posição média da distribuição da força peso.
Centro de gravidade de algumas figuras planas
Segmento de reta
𝑨+𝑩
𝟐
𝐿 = 𝐴𝐵
𝑮 =
𝐿 = 𝜋. 𝑅
𝑮 = 𝟎;
𝑆 = 𝐵. ℎ
𝑮=
𝑩 𝑯
;
𝟐 𝟐
𝐵. ℎ
2
𝑮=
𝑩 𝑯
;
𝟑 𝟑
Semicircunferência
𝑆=
𝟐𝑹
𝝅
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𝑆=
𝜋. 𝑅 2
2
𝑮 = 𝟎;
𝑆 = 𝜋. 𝑅 2
𝟒𝑹
𝟑𝝅
𝑮 = 𝟎; 𝟎
Aplicações
1ª) Área lateral do cone circular
Por semelhança:
𝑥=
𝑅
2
𝑅
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 −𝑐𝑜𝑛𝑒 = 2𝜋. . 𝐻 2 + 𝑅 2
2
𝑨𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍−𝒄𝒐𝒏𝒆 = 𝝅. 𝑹. 𝑯𝟐 + 𝑹𝟐
2ª) Área da superfície esférica
𝐴𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓 í𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑠𝑓 é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 2𝜋.
2𝑅
. 𝜋𝑅
𝜋
𝑨𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆 𝒆𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒂 = 𝟒𝝅. 𝑹𝟐
3ª) Volume da esfera
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 2𝜋.
𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 =
4𝑅 𝜋. 𝑅 2
.
3𝜋 2
𝟒
. 𝝅. 𝑹𝟑
𝟑
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Exercícios de fixação
1-
Determine
a
área
total
e o
volume do
paralelepípedo ao lado.
2- Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de
20cm.
3- A altura de um prisma triangular regular é o dobro da aresta da base. Calcule a área lateral desse sólido
sabendo que seu volume é 108 3 cm3.
4- A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a altura é
de 12cm. Qual é o volume da casquinha?
5- Uma pirâmide quadrangular foi construída com quatro triângulos isósceles iguais tendo cada um deles base
igual a 2 m e dois lados iguais a
6 m. Calcule o volume dessa pirâmide.
6- Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície
coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total.
7- Calcule o volume e a área total de um cilindro equilátero (a altura é igual ao diâmetro) cuja área lateral mede
144 cm2.
8- Calcule a área da superfície e o volume de um prisma hexagonal regular cujo apótema da base mede 4 3 cm .
9- O volume de uma pirâmide triangular regular é 48 3 m3. Sabe-se ainda que a base desta pirâmide está
inscrita em um círculo de raio 8 m. Calcular a área total dessa pirâmide.
10- As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura
12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a área do cone.
11- A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base.
Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.
12- Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?
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13- Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica.
14- Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o
raio dessa nova esfera.
15- Calcule o volume de uma esfera de 100 cm2 de área.
11- Determine a área de uma esfera, sendo 2304 cm3 o seu volume.
16- Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1
cm?
17- Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e 2 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro cuja
altura mede 3 cm. Obtenha a medida do raio da base do cilindro.
18- Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo
de 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.
19- Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino
constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à
mesa?
20- Considere o sólido obtido pela rotação completa
do triângulo equilátero da figura em torno do eixo e.
Determine a área da superfície e o volume deste
sólido.
21- Considere um trapézio isósceles de altura igual à base menor e de base maior igual ao triplo da menor. Sendo
a a medida de cada um dos lados não-paralelos, calcule o volume e a área do sólido gerado pela rotação completa
desse trapézio em torno de sua base maior.
22- Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e
contém água até uma certa altura. As medidas internas da base do
aquário são 40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do aquário,
ficando totalmente submersa e fazendo com que o nível da água suba
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0,8cm. Qual é o volume dessa pedra?
23- Um tanque em forma de bloco retangular tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um
indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Calcule o volume do
indivíduo.
24- Chama-se octaedro regular o sólido obtido justapondo-se as bases de duas pirâmides regulares
quadrangulares, cujas faces são triângulos equiláteros. Determine o volume de um octaedro regular cuja aresta
mede a centímetros.
25- Calcule o volume de um tetraedro regular cujo apótema mede
3 cm.
26- Uma pirâmide hexagonal regular tem 10 cm de apótema. Sabendo que a base tem perímetro 24 3 cm,
calcule:
a) a altura desta pirâmide;
b) a medida da aresta lateral desta pirâmide;
c) o volume desta pirâmide;
27- A figura ao lado representa um cubo de 4 cm de aresta.
Retirando-se do interior desse cubo a pirâmide A-BCDE obtém-se
um sólido S.
Determine:
a) a área total da pirâmide;
b) volume que resta do cubo.
28- Uma pirâmide hexagonal regular tem 3 5 cm de apótema. Sabendo que o apótema da base mede 3 cm,
calcule:
a) a medida da aresta da base desta pirâmide;
c) a medida da aresta lateral desta pirâmide;
b) a altura desta pirâmide;
d) o volume desta pirâmide;
29- A figura ao lado representa um cubo de 3 cm de aresta, que tem
no seu interior uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma face do
cubo e a base é a face oposta.
Determine:
a) a área total desta pirâmide;
b) o volume que resta do cubo se retirarmos dele esta pirâmide.
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30- Considere um tronco de cone de bases circulares de raios R e r cuja altura é H. Determine a área da superfície
lateral que é gerada pela rotação de sua geratriz AB girando 2𝜋 radianos em torno do eixo OY conforme ilustrado
na figura.
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