Lista de exercícios de fixação e aprofundamento – 1º EM – 4º bim –
30/11/15
Matemática 01 – Prof.ª Adriana Massucci
● Unidades Angulares:
As unidades para ângulo são: o grau [ º ], o
radiano [ rad ] e o grado [ gr ]. Vale observar
que, no SI [Sistema Internacional de
Unidades], a unidade para ângulo plano é o
radiano. No ciclo trigonométrico ao lado, temos
as extremidades dos quadrantes indicadas
com as 3 unidades angulares mencionadas:
Mais algumas considerações:
• Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses
pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360
ângulos centrais. Cada um desses ângulos é chamado de 1 grau.
• Radiano: um ângulo de 1 radiano é definido com sendo o ângulo no centro do círculo unitário
que limita [determina] um arco de comprimento 1 nesse círculo, medido no sentido anti-horário.
Isso implica que 1 radiano corresponde ao arco com o mesmo comprimento do raio da
circunferência em questão.
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Notas: a palavra “radiano” remete a palavra raio [radius]. Quando temos a particularidade do raio
ser unitário, será indiferente falar em arco ou ângulo.
A Conversão entre os sistemas é feita por meio de uma regra de três em que podemos utilizar a
relação:
180° ⇒ 𝜋 𝑟𝑎𝑑
Exercícios:
1) Transforme os ângulos abaixo para radianos.
a) 120º
b) 270º
c) 45º
d) 160º
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2) Transforme os ângulos abaixo para graus.
a)
𝜋
4
rad
b)
𝜋
6
rad
c)
7𝜋
6
rad
d)
2𝜋
3
rad
_____________________________________________________________________________
3) (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos?
16𝜋
9
5𝜋
𝑏)
3
4𝜋
𝑐)
3
4𝜋
𝑑)
2
3𝜋
𝑒)
3
______________________________________________________________________________
4) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de
1 radiano é:
𝑎)
Um pouco mais.......
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Alguns exemplos:
Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas nos casos:
a) 1856°
RESOLUÇÃO:
Aplicando o algoritmo da divisão, temos:
Logo, temos que a menor determinação positiva é 56° e o número de voltas
dado é igual a 5.
b) – 1820º.
RESOLUÇÃO:
Para o arco de medida -1820° devemos obter quantas voltas completas
este arco tem, pois 1820° > 360°. Dividindo 1820° por 360° teremos: 1820 ÷
360 = 5 voltas completas e resto 20.
Como a orientação é negativa, o ponto móvel se desloca no sentido horário.
O resultado da divisão significa que o ponto móvel percorre a circunferência
5 vezes mais um arco de 20° no sentido horário, como pode ser observado
na figura ao lado.
A 1ª determinação positiva é dada por 360°- 20° = 340°.
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EXERCÍCIOS:
1. Obtenha a menor determinação positiva dos ângulos:
23𝜋
15𝜋
b) 1820°
c) 125°
d) - 400°
𝑒) −
4
2
______________________________________________________________________________
2 - (Mackenzie-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:
a) 100°
b) 140º
c) 40º
d) 80º
e) n.d.a. X
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3 - (UFPA)Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º?
a) 270º
b) 280º X
c) 290º
d) 300º
e) 310º
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Probleminhas.....
𝑎)
1.(CEFET–MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo
central formado pelos ponteiros de um relógio que está
marcando 9h 30min?
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2. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos
que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º?
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3. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical,
tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se
ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso,
corresponde a:
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
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Respostas dos problemas:
1. 105°
2. 13h24
3. D
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