Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência
A
c
Um ângulo formado por dois raios designa-se
ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide
com o centro da circunferência)
B
Qualquer porção da circunferência determinada
por dois dos seus pontos, que são os extremos
do arco designa-se Arco de circunferência.
Nota – Quando falamos em arco, sem nada
acrescentar referimo-nos ao arco menor
AB
 Ao ângulo ao centro ACB corresponde a
corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa.
Observa a circunferência de centro O da figura:
a)
Identifica quatro ângulos ao centro. AOB ; BOC ; COD e EOD
b)
Indica dois pares de ângulos ao BOC  FOE
centro geometricamente iguais.
c)
Classifica quanto aos lados o triângulo
[EOD].
Triângulo isósceles
AOB  EOD
A
D
Numa circunferência:
C
- a cada ângulo ao centro
corresponde um arco e vice-versa
- A arcos iguais correspondem
cordas e ângulos ao centro iguais
- A ângulos ao centro iguais
B
E
F
G
correspondem arcos e cordas iguais
- A cordas iguais correspondem
arcos e ângulos ao centro iguais
- A amplitude de um arco é igual à amplitude
do ângulo ao centro correspondente
H
C
I
Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y.
a)
Ângulos verticalmente opostos
x
y  30º e x  30º
y
c)
x+30º 2x - 10º
x  30º  2 x  10º 
 x  2 x  10º 30º 
 1x  40º 
 x  40º
Ângulo inscrito
F
Um ângulo formado por duas cordas designase
c
E
ângulo inscrito
(o vértice do ângulo
coincide com um ponto da circunferência)
D
80º
A amplitude de um ângulo inscrito é igual
a
metade
da
amplitude
do
arco
compreendido entre os seus lados
O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a
amplitude do arco correspondente também é 80º, o
que significa que a amplitude do ângulo inscrito é
igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º).
Observa a figura e indica:
a) Um ângulo ao centro;
AOC
b) Um ângulo inscrito;
ABC
c) Um arco de circunferência;
AB
d) Um raio de circunferência;
OC 
e) Uma corda da circunferência.
 AB
Considera a circunferência de centro O.
a) [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê?
Porque são cordas que passam pelo centro.
b) Se
b1)
AOD  34º , calcula:
COB
b2)
ABD
b3) DB
b4) B AD
b5)
ADB
ADB 
360º 146º 34º 180º

 90º
2
2
COB  34º (ângulos verticalmente opostos)
34º
ABD 
 17º
2
DB  180º 34º  146º
180º 34º 146º

 73º
2
2
( ângulos de 1 isósceles )
146º
B AD 
 73º
2
B AD 
( ângulo inscrito correspondente a BD que é 146º )
Abre agora o programa Geogebra, no teu
computador, e verifica o exercício anterior
começando por:
 traçar uma reta (com 2 pontos);
 desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e
raio no outro);
 marcar os pontos A e B;
marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C;
 marcar a corda DB;
verificar todos os resultados.
Ângulo inscrito
Propriedades:
 Os ângulos inscritos no mesmo arco de
circunferência são geometricamente iguais.
 Qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
O triângulo [MAR] representado na figura é retângulo em A e os seus
três vértices pertencem à circunferência.
Sabendo que MA  QM e que M RA  30º
calcula QAR .
MA  30º 2  MA  60º log o QM  60º
M AR  90º (ângulo inscrito numa semi  circunferência)
então MQR  180º
MQR  MQ
180º 60º
 QAR 

2
2
120
 QAR 
 QAR  60º
2
QAR 
Abre novamente o programa Geogebra e
verifica o exercício anterior começando por:
 traçar uma reta com dois pontos;
 desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio
no outro);
 marcar os pontos M e R;
 traçar o ângulo MRA de 30º;
 marcar o ponto A e a corda [MA];
 verificar que o ângulo MAR é 90º;
 traçar uma reta perpendicular a MR e marcar o ponto
Q;
 verificar todos os resultados.