Sumário
• Função de utilidade em IRn
• Isoquanta (em IR2)
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Função de utilidade
• O valor dos BS resulta de satisfazerem as
nossas necessidades
• Já estudamos o caso de um BS
• Agora vamos estender a análise a n BS
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Função de utilidade
• Vamos supor que existe um cabaz
genérico A de BS.
• O cabaz A contêm a quantidade ai do BS i
A = (a1, a2, a3, …, an)
• Em termos matemáticos, teremos
A  IRn
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Função de utilidade
• O individuo atribui um valor ao cabaz
U = u(a1, a2, a3, …, an)
• Em termos matemáticos, temos uma
função real de várias variáveis reais
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Função de utilidade
• Na maioria das situações, não é
necessário que a função de utilidade seja
perfeitamente conhecida.
• e.g., a função de utilidade é u(q) = k+2q
Ex(q) = u(q) – q.p = k+2q – q.p
Max(Ex)  0.5/(q) – p = 0
q = 0.25/p2
• Não é necessário conhecer o valor de k
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Função de utilidade
• Apenas é necessário que a função de
utilidade ordene as preferências do agente
económico, a.e.
• Denomina-se por utilidade ordinal.
• Se precisamos do valor exacto, temos a
utilidade cardinal que é importante na
teoria do risco (van Newman - Mortensen)
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Comparabilidade
• Seja o cabaz A e o cabaz B
1) O a.e. é capaz de comparar A com B
Ou A é melhor que B
AB
Ou A é pior que B
AB
Ou A é equivalente a B
A~B
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Comparabilidade
• Normalmente são usados os símbolos
 para dizer que é preferível,
 para dizer que é pior e
~ para dizer que é indiferente.
Fonte “MT Extra”
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Comparabilidade
• Um cabaz é um conjunto de bens com
determinadas quantidades.
• Cabaz A: cinco quilos de arroz, dois de
massa e 1 litro de azeite
• Cabaz B: dois quilos de arroz, um de
massa e 2 litros de azeite
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Comparabilidade
Se A é melhor que B, então B é pior que A
ABBA
Se A é pior que B, então B é melhor que A
ABBA
Se A é equivalente a B, então B é
equivalente a A
A~BB~A
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Comparabilidade
• Se A é melhor que B, então
u(A) > u(B)
• Se A é pior que B, então
u(A) < u(B)
• Se A é equivalente a B, então
u(A) = u(B)
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Transitividade
• Se A é melhor que B e se B é melhor que
C, então A é melhor que C
(A  B e B  C)  A  C
• Se A é melhor que B e se B é indiferente a
C, então A é melhor que C
(A  B e B ~ C)  A  C
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Transitividade
• Se A é indiferente a B e se B é indiferente
a C, então A é indiferente a C
(A ~ B e B ~ C)  A ~ C
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Transitividade
• e.g.1.
• Sendo “A melhor que B” e “B indiferente a
C”, como se compara A com C?
(AB) e (B~C)  (A??C)
(AB), (B~C) e (D~E)  (A??E)
(EF) e (FG)  (E??G)  
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Transitividade
• e.g.1.
• (A  B) e (B~C)  (A  C)
(A  B), (B~C) e (D~E)  Não se sabe
(E  F) e (F  G)  Não se sabe
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Insaciabilidade
• Seja A e B de forma que
aj > bj e ai = bi, i≠j
(existe igual quantidade de todos os BS e
maior quantidade de um dos BS)
• Então, A  B  u(A) > u(B)
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Insaciabilidade
• e.g.2:
• Cabaz A: cinco quilos de arroz, dois de
massa e 1 litro de azeite
• Cabaz B: cinco quilos de arroz, dois de
massa e 2 litros de azeite
• A??B
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Insaciabilidade
• A função de utilidade é crescente com a
quantidade de cada um dos BS
u ( A)
 0, i  1,2,..., N 
ai
Mantendo constante as quantidades dos outros
BS e o tudo o resto.
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Insaciabilidade
• Mas cresce a velocidade decrescente
e.g., quando eu passo as férias de 7 dias para
8 dias, a minha utilidade aumenta 10utils.
quando eu passo as férias de 14 dias para 15
dias, a minha utilidade aumenta 5 utils.
 u ( A)
 0, i  1,2,..., N 
2
ai
2
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Curva da indiferença
• Vamos reduzir a nossa análise a cabazes
com 2 BS
• Teremos U = u(a1,a2)
• A representação gráfica faz-se com
isolinhas
• e.g.
u(a1 , a2 )  a
1/ 3
1
2/ 3
1
.a
20
Curva da indiferença
• Uma isolinha dá as combinações de a1 e
a2 que resulta num determinado valor para
a função, e.g., u:
1/ 3
1
a
.a2
2/3
 u  a2
2/3

u
1/ 3
1
a
3/ 2
u
 a2  1 / 2
a1
21
Curva da indiferença
a2
10
9
8
7
6
u=5
5
4
3
2
u=3
u=1
1
0
0
2
4
6
8
a1
10
22
Curva da indiferença
• A utilidade de todos os cabazes que
formam uma isolinha é igual
 O a.e. é indiferente entre quaisquer dois
cabazes que pertençam à mesma isolinha:
Se u(A) = u(B) então A ~ B
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Curva da indiferença
• Em termos genéricos, como será a forma
de uma isolinha de BS normais?
• Dois cabazes da mesma isolinha não
podem ter mais (quadrante I) nem menos
(quadrante III) de todos os BS.
• Para cada ponto, tem que vir do quadrante
II e ir para o quadrante IV
24
Curva da indiferença
25
Curva da indiferença
• Se os bens forem em parte
complementares e em parte substitutos,
então a função utilidade será côncava.
26
Curva da indiferença
27
Curvas de indiferença
28
Curvas de indiferença
• Os azuis são piores e os vermelhos são
melhores que A
– Se do ponto A andarmos para a esquerda,
mantém-se a quantidade do BS2 e diminui a
quantidade do BS1
– Se do ponto A andarmos para baixo, mantémse a quantidade do BS1 e diminui a
quantidade do BS2
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Curvas de indiferença
• Motivado pela insaciabilidade e pela
transitividade
• A curva de indiferença é descendente
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Curvas de indiferença
• Sendo que existe o cabaz A
• E que por A passa a curva de indiferença
IA
• Sendo que existe o cabaz B à direita da IA
• Então, o cabaz B é melhor que qualquer
cabaz que pertença à IA.
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Curvas de indiferença
• Sendo que por B passa a curva de
indiferença IB
• Então, qualquer cabaz de IB é melhor que
qualquer outro cabaz de IA
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Curvas de indiferença
• Sendo A  B e A ~ Ci e B ~ Dj
• Então, i,j, Ci < Dj
• Isto traduz que
• As curvas à direita são ‘melhores’
• Curvas diferentes, nunca se cruzam
33
Curvas de indiferença
34
Curvas de indiferença
• O que seria preciso para que as curvas de
indiferença se pudessem cruzar?
35
Curvas de indiferença
36
Curvas de indiferença
• A  B porque a1>b1 e a2>b2
• B ~ C porque estão sobre a mesma curva
de indiferença
• Então, pela transitividade, A  C
• Mas C  A porque c1<a1 e c2>a2! (não
pode ser)
• As preferências não poderiam ser
transitivas
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Inclinação da curva de ind.
• O que traduzirá a inclinação da curva de
indiferença?
• Já vimos uma curva parecida:
• A FPP.
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Inclinação da curva de ind.
• A fronteira das possibilidades de produção
• Traduz quanto eu obtenho do bem 2
quando abdico de produzir uma unidade
do bem 1
• Mantendo a quantidade de recurso
constante
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Inclinação da curva de ind.
• A curva da indiferença é equivalente
• Traduz quanto eu necessito de ter a mais
do bem 2 para poder abdicar de consumir
uma unidade do bem 1
• Mantendo-me numa situação equivalente
– O mesmo grau de satisfação
40
Inclinação da curva de ind.
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Inclinação da curva de ind.
• Eu posso consumir menos do BS1
• E manter-me indiferente se consumir mais
do BS2
• Sendo a inclinação i = (b2–a2)/(b1–a1)
• Por cada unidade do BS1 que eu deixo de
consumir, terei que consumir mais |i|
unidades do BS2.
42
Inclinação da curva de ind.
• e.g., os cabazes A = (10,15) e B=(13, 9)
encontram-se na mesma c. de indiferença.
• Quanto terei que aumentar o consumo do
BS2 se quiser diminuir o consumo do BS1
numa unidade e ficar indiferente?
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Taxa Marg. de substituição
• A inclinação é (9-15)/(13-10) = -2
• Terei que aumentar o consumo do BS2
em 2 unidades
• Esta inclinação denomina-se de taxa
marginal de substituição
44
Taxa Marg. de substituição
• S os bens são parcialmente substitutos e
parcialmente complementares.
• Então a curvatura das curvas de
indiferença é para cima/direita
• Traduz que a curva é convexa
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Taxa Marg. de substituição
• Em parte, a convexidade também traduz
que o consumidor vai ficando com a
‘barriguinha cheia’:
– Quanto mais tem menos valor dá a ter mais
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