Geometria Analítica
Vetores
Prof. Dr. Renivaldo
.
Ementa
Cálculo vetorial
Sistemas de coordenadas no plano.
Coordenadas no espaço.
Retas e planos.
Relação entre retas e planos.
A circunferência e as cônicas
Grandeza Física
TUDO QUE PODE
SER MEDIDO.
Grandeza Escalar

GRANDEZA DEFINIDA POR UM VALOR NUMÉRICO E
UNIDADE DE MEDIDA.
TEMPO
MASSA
TEMPERATURA
ENERGIA
Grandeza Vetorial
 GRANDEZA
DEFINIDA POR
MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO
VELOCIDADE
FORÇA
ACELERAÇÃO
Segmento de Reta Orientado

Consideremos uma reta r e sejam A e B dois
pontos de r

Ao segmento de reta AB, podemos associar 2
sentidos : de A para B e de B para A
Escrevemos AB para representar o segmento
de reta AB associado com o sentido de A para B

AB é o segmento orientado de origem A e
extremidade B
 BA é o segmento orientado de origem B e
extremidade A
 Chamamos BA , oposto de AB
 Se A = B então o segmento orientado AB
= BA é o segmento nulo, denotado por
AA = 0





Definida uma unidade de comprimento, a cada
segmento orientado, pode-se associar um
número real não negativo que é a sua medida
em relação a esta unidade
A medida do segmento AB é denotada por
med(AB)
Os segmentos nulos têm medida igual a zero.
med(AB) = med(BA)



Dados dois segmentos orientados não nulos AB
e CD, dizemos que eles têm mesma direção,
se as retas suportes destes segmentos são
paralelas ou coincidentes
Só podemos comparar os sentidos de dois
segmentos orientados, se eles têm a mesma
direção
Dois segmentos orientados opostos têm
sentidos contrários, mas têm a mesma direção
Exemplos – Mesmo sentido
Exemplo – Sentidos Opostos
Equipolência

O segmento orientado AB é equipolente
ao segmento orientado CD se:
 ambos
têm mesma medida e mesmo sentido
 se ambos são segmentos nulos

Denota-se: AB ~ CD
Exemplos
Exemplos
Propriedades

1. AB ~ AB (reflexiva)

2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica)

3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF
(transitiva)
Propriedades

4. Dados um segmento orientado AB e um
ponto C, existe um único ponto D tal que
AB~CD

5. Se AB~CD então BA~DC

6. Se AB~CD então AC~BD
Vetores

Chamamos vetor determinado por um
segmento orientado AB, ao conjunto de
todos os segmentos orientados
equipolentes a AB

O vetor determinado por AB, indicamos
por AB



Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente
se AB~CD
Um vetor AB é determinado por uma infinidade
de segmentos orientados, que são chamados
representantes desse vetor, e que são todos
equipolentes entre si
Os segmentos nulos são representantes de um
único vetor, chamado vetor nulo, e denotado
por 0

Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor
BA oposto de AB e indicamos por -AB ou
-v
Propriedade
Decorre da propriedade 6 de equipolência
a implicação:
 Se AB = CD então AC = BD




Dado um vetor u , todos os seus representantes
têm a mesma medida, chamada módulo do
vetor u, e indicamos por |u |
Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm
mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD
têm mesma direção (mesmo sentido)
Um vetor u é unitário se |u| = 1. Chamamos
versor de um vetor não nulo u, o vetor unitário
que tem mesmo sentido de u, e indicamos por
u°
Dizemos que dois vetores não nulos são
ortogonais, se podem ser representados
por segmentos orientados ortogonais, e
indicamos por u _v
 O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro
vetor no espaço

Soma – Ponto + vetor

Dados um ponto A e um vetor v, existe um
único ponto B tal que AB = v. O ponto B é
a soma do ponto A com o vetor v,
Indicado por A + v
Propriedades

1. A + 0 = A

2. (A – v ) + v = A

3. Se A+ v =B+ v então A = B

4. Se A+ u= A+ v, então u = v

5. A + AB = B
Soma – Vetor + Vetor

Considere dois vetores u e v , e um ponto
qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v

O vetor s = AC é chamado vetor soma
de u e v e indicamos por s = u + v

Observemos que o vetor s =u+ v
independe do ponto A. De fato, se
considerarmos outro ponto A’ obteremos
B’ =A’ + u e C’= B’+ v

Assim, AB = A’B’ e BC = B’C’

Usando a propriedade 1 de Vetores ,
concluímos que : AA’ = BB’ e BB’ = CC’

AA’ = CC’ e portanto AC = A’C’
Propriedades
(1) u + v = v + u ( comutativa )
(2)
(u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )
(2)
(u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)
(3)
u + 0 = u ( elemento neutro )
(4)
u +(-u)= 0 ( elemento oposto )

Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.

Notemos que u – v ≠ v - u
Produto de um número Real por
um Vetor
Dados a  R* e v ≠ 0 , chamamos
produto de a por v, o vetor w = av , que
satisfaz as condições:
1. | w | = | a | | v |
2. A direção de w é a mesma da v
3. O sentido de w é igual ao de v se a >
0, e contrário ao de v se a < 0
 Se a = 0 ou v = 0, o produto av é o vetor
nulo

Exemplos

Se a ≠ 0 , o produto 1/a v é indicado por
v/a. Se v ≠ 0, é fácil mostrar que v/| v | é o
versor de v

vº = v/| v |

portanto v =| v | v°
Propriedades
Considere u e v vetores quaisquer, a e b
números reais quaisquer
 (1) a(b v) = (ab) v
 (2) a(u + v) = au + av
 (3) (a + b)v = av + bv
 (4) 1 v = v

Exercício1
Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

u
v
w
Exercício 2
O paralelogramo ABCD é determinado pelos
vetores AB e AD, Sendo M e N pontos
médios dos lados DC e AB. Encontre
 AD+AB
 BA+DA
 AC -BC
M
D

C
AN+BC
 MD+MB
 BM-1/2DC

A
N
B
Exercícios 1 Resposta
Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

w/2
-3v
u
v
w
2u
Exercício 2 Resposta
AD+AB=AC
 BA+DA=CD+DA=CA
 AC-BC=AC+CB=AB
 AN+BC=AN+NM=AM
 MD+MB=MD+DN=MN
 BM-1/2DC=BM+MD=BD

D
A
N
M
B
C