Algo fundamental ou mero fator de conversão?
UFMG – 21/09/2007
Parte I
Paradigma Newtoniano
As leis da natureza
estão escritas em
linguagem matemática.
Galileu Galilei
“Galileo’s eventual troubles which the Church had
the effect of expelling the Scientific Revolution
from Italy. It would come to rest in England, in the
person of Isaac Newton. On the way north,
however, it stopped briefly in France, where it
found René Descartes.”
D. L. Goodstein and J. R. Goodstein – 2000
• As leis têm caráter universal.
• Os fenômenos são determinados
por causalidade.
René Descartes
• O mundo é um mecanismo de
infinita precisão.
A máquina do mundo
pode ser entendida
more geometrico (ao
modo da geometria).
Blaise Pascal
Pierre Fermat
Invenção das derivadas e teoria das probabilidades
2
d r
m 2  V (r )
dt
Isaac Newton
Grandezas fundamentais:
massa, comprimento e tempo.

lP  

1
G 2
35
 1, 616 10 m,
3 
c 
1
 G
44
tP   5   5,390 10 s,
 c 

mP  

lP
c ,
tP
2
1
c 2
8
  2,177 10 kg.
G
2
3
mPlP
lP

, G
.
2
tP
mPtP
Eletrodinâmica
  E  4 
B  0
1 B
E  
c t
1 E 4
B 

J
c t
c
d 2r
dr


m 2  qE  B
dt
dt


Definição do Ampère (SI)
1A
1A
1m
1m
F
-F
F  4 10 N
7
Mecânica quântica


  (r, t )V (r ) (r, t )  i
 (r , t )
2m
t
2
2

[i c     b mc  V (r )] (r, t )  i
 (r, t )
t
2
Paradigma newtoniano:
As leis fundamentais da natureza são leis de
movimento, matematicamente expressas
como equações diferenciais no espaço e no
tempo.
Parte II
Calor e Temperatura
corpo quente
fluxo de energia
corpo frio
Calor Q é a energia que passa de um
corpo quente para outro frio sem
realização de trabalho
Lei zero da termodinâmica:
Se A está em equilíbrio térmico com B e
com C, B estará em equilíbrio com C
A
B
C
A lei zero não pode ser entendida como
algo decorrente da lógica.
A
B
C
O corpo A está em equilíbrio químico com
B e com C. Entretanto, se B é posto em
contato com C pode haver uma reação
química.
A lei zero expressa uma relação de transitividade do tipo:
Se B implica em A e A implica em C, então B implica em C.
Um exemplo de tal transitividade
refere-se a relações de igualdade:
B A e
AC  BC
Como relações de igualdade só podem ser estabelecidas
entre grandezas (entidades quantificáveis), a lei zero sugere
que o equilíbrio térmico entre dois sistemas A e B envolva a
igualdade entre duas grandezas referentes A e a B.
A lei zero parece implicar que, quando
dois sistemas estão em equilíbrio
térmico, há uma grandeza física que tem
o mesmo valor em ambos.
Não há eqüipartição de energia entre um
gás e um sólido em equilíbrio térmico. A grandeza
que eles compartilham não é energia.
A lei zero implica na existência de uma nova
grandeza física, a temperatura T, que não pode ser
expressa em termos de massa, comprimento e tempo.
Q
T
S 
Q
T
Lorde Kelvin
T1
T2
Q
S  S1  S2  
Q
T1

Q
T2
0
“The essence of Joule’s discovery is the
subjection of physical (read thermal)
phenomena to dynamical law. [...]
Physical processes, on the other hand, are
irreversible.”
Kelvin (1874)
Parte III
Probabilidade
S  kB ln W
Boltzmann
N=8
N moedas
são jogadas
à sorte, e n
é o número
de caras.
n   N
N = 20
P(n)
P(n)
4
N = 50
n
10
N = 126
25
63
n
2
P ( n) 
e
N
( n  N / 2)2

N /2
0,07
0,06
N = 126
0,05
0,04
P(n)
0,03
0,02
0,01
0,00
50
60
n
70
80
S  kB  p(n)ln p(n)
n
Sistema quântico isolado:
Claude Shannon
Hn  En n , H †  H
 (t )   an e
i
En
t
 En*  En
n
n
p(n, t )  an e
i
En
2
t
 an  p(n, 0)
2
“I think that I can safely say
that nobody understands
quantum mechanics.”
Richard Feynman
“Esse est percipi.”
(Existir é ser percebido)
George Berkeley
Lenda judaica antiga:
Jeová:
- Não fosse eu, você nem
sequer existiria.
Abraão:
- Não fosse eu, meu Senhor
nem sequer seria revelado.
O universo vendo si próprio.
(segundo John Wheeler)
A inexplicável robustez da estatística de
Boltzmann-Gibbs
1 – Limite termodinâmico. Significa a existência do limite
F
lim  f , onde F  U  TS .
n  n
Para uma estrela, ou outro corpo dominado pela gravitação, f
é infinito. Por isso, não podemos aplicar a termodinâmica a
uma estrela. Mas a estatística de Boltzmann-Gibbs permanece
válida (caso contrário, nem existiria a Astrofísica).
2 – A estatística de BG se baseia na hipótese de que os
microestados acessíveis ao sistema são igualmente prováveis.
Muitos materiais, como os vidros, as cerâmicas, não
satisfazem tal hipótese. Entretanto, em equilíbrio térmico,
todos os materiais conhecidos obedecem à lei das
probabilidades de Boltzmann:
p(1 )
 ( E1  E2 ) / kBT
e
p(2 )
Radiação de corpo negro
Lei de Planck
Os erros dos dados são menores que a largura da linha teórica.
Nenhum corpo jamais mostrou desvio da lei
radiação de Planck que não possa ser explicado
pelas variações da sua emissividade com a
freqüência da radiação.
Um fato de enorme importância:
Se existe a constante de Boltzmann, a constante de Planck
também terá de existir. Caso contrário, todo e qualquer
sistema físico terá entropia infinita.
Na verdade, a constante de Planck foi introduzida não por
Planck, e sim por Boltzmann, ao dividir o espaço-fase em
células com faces de área h.
[p]
Área h
[q]
Segundo Ostwald, em 1891 Boltzmann disse a
ele a Planck:
“I see no reason why energy shouldn´t also be
regarded as divided atomically.”
(Ludwig Boltzmann – A Pioneer of Modern Physics.
Dieter Flamm, 1997)
Dois mistérios da matemática
James Stirling:
N
N !  2 N  
 e
i
Leonhard Euler : e  1  0
N
Parte IV
Lei sem Lei?
O que é realmente fundamental:
a mecânica ou a estatística?
O mundo é governado por leis de infinita
precisão, ou são as leis que observamos nas
escalas acessíveis geradas a partir de
fenômenos caóticos elementares que dominam
o mundo ultramicroscópico?
Alguns defensores do caos fundamental:
John Archibald Wheeler
Wojciech Hubert Zurek
John David Barrow
To me, the greatest discovery yet to
come will be to find how this universe,
coming into being from a Big Bang,
developed its laws of operation. I call
this "Law without Law" (or "Order
from Disorder" ).
John Wheeler
John A. Wheeler
Lenda judaica antiga:
Jeová:
- Não fosse eu, você nem
sequer existiria.
Abraão:
- Não fosse eu, meu Senhor
nem sequer seria conhecido.
O universo vendo si próprio.
(segundo Wheeler)
Cinco considerações preliminares
• O mundo mecânico cartesiano, de precisão infinita,
a muitos parece assombroso.
• O paradigma newtoniano parece ser incapaz de
explicar os fenômenos térmicos.
• As constantes de Boltzmann e de Planck parecem
estar interligadas.
• Quando estendidas a dimensões infinitesimais,
todas as teorias físicas apresentam divergências.
• Ninguém consegue entender a mecânica quântica.
As leis da física sugerem que os fenômenos fundamentais
ocorrem na escala de Planck, cuja dimensão é
35
lP  10
m.
A menor dimensão já investigada é
19
lmín  10
3
3
 lmín   10 
48


10

  35 
 lP   10 
19
N  1048  N  1024
m.
N: Número de células de
Planck dentro da menor
dimensão já investigada.
Segundo Leibniz, o mundo é feito de entidades
minúsculas que ele denominou mônadas.
Mônadas de comportamento caótico, com
dimensões na escala de Planck, poderiam gerar leis
matemáticas precisas até o vigésimo quarto
algarismo na menor dimensão já investigada. Em
tais leis, os números e,  e i seriam freqüentes e
inevitáveis.
Especulação final
O mundo não tem leis mecânicas descritas em
linguagem matemática. Ele é fundamentalmente
caótico e suas leis são geradas pela matemática.
Obrigado pela atenção!