Teoria de Planck
para a Radiação de Cavidade
Radiação de Corpo Negro
Teoria Clássica para a Radiação de Cavidade
Cálculo de Rayleigh-Jeans

Cavidade Radiante (V=a3)

Densidade de Energia

com ondas estacionárias:


E(x,t)= E0sen(2 x/)sen(2 t)




onde  c/
(1)



De acordo com a lei de
equipartição de energia,
por onda <Etotal>= kT (2)

onde k é a cte. de Boltzmann
energia por unidade de volume,
contida em uma cavidade, no
intervalo  e d.
8 2
T  d  3 kTd
c
contando ondas no intervalo
 e d:
N()d (8 a3/c3)2d
T()d= (<Etotal> N()d)/V
Ou em termos da radiância RT():
c
2 2
RT ( )d  T  d  2 kTd
4
c

Resultado que ficou conhecido
como a Catástrofe do ultravioleta!
Teoria Clássica para a Radiação de Cavidade
Resultado Clássico X Experiência

Espectro em frequências

Espectro em comp. onda
Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade
Origem da Lei de Equipartição de Energia

Distribuição de Boltzmann
e  / kT
P( ) 
kT


tal que P(E)dE seja probabilidade de se
encontrar um elemento do sistema, em
equilíbrio à temperatura T, com energia
entre E e EdE
Calculando a Energia média:


P( )d


 kT
 P( )d
0

0
Teoria de Planck para Radiação de Cavidade
A proposta de Planck

Para baixas frequências



A teoria clássica prevê resultados
coerentes, e podemos esperar que:
<E>  kT
( 0)
Para altas frequências


A discrepância poderia ser
removida se, por hipótese:
<E>  0
( )
Planck imaginou que, para as circunstâncias
que prevalecem no caso da radiação de corpo
negro, a energia média das ondas estacionárias
fosse função da frequência: <E>= f () .
Isto viola a lei de equipartição de energia?
Teoria de Planck para Radiação de Cavidade
Energia: variável contínua X discreta

Sendo E uma variável discreta


Assume apenas valores discretos
igualmente distribuídos, ou seja:
E= 0, E, 2E, 3E, 4E ...
Como consequência, o cálculo da energia
média passa ser feito por somas ao contrário
de integrais, como apresentado anteriormente!

Comparação qualitativa



com E << kT  E  kT
com E  kT  E < kT
com E >> kT E << kT
Observa-se que o resultado satisfaz as
condições esperadas para os mesmos limites
de frequência! E a Lei não é violada.
Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade
Hipótese e resultados

Definindo a relação entre E e 



Resultado de Planck para <E>
Função proporcionalidade simples:
E  h. (sendo h uma cte.)
h.
 
e
Satisfaz as exigências da proposta nos limites:
(0)
E 0
E kT (clássico)
()
E  E 0

Recalculando a energia média:

para
E n h. (n= 0, 1, 2, 3 ...)

h
kT
1
E tomando o resultado já conhecido
para a contagem N()d , temos:
8 2
h
T ( )d  3  h
d
c
e kT  1

Resultado de Planck para a radiação do
corpo negro, em função das frequências.

Ou, para: RT(ν)dν = (c/4).ρT(ν)dν

 
  .P ( )
n 0

 P ( )
n 0
Ver a dedução completa no exemplo 1.4
2 2
h
RT ( )d  2  h
d
kT
c
e
1
Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade
O resultado da teoria comparado à experiência

Calculando em função de :


T() é definida de forma que:
T()d = - T() d
T  d 
8hc
5
d

e
hc
kT
1
Ver demonstração no exemplo 1.5.
Resultados experimentais em completa
concordância com a previsão da teoria para o
espectro de corpo negro em qualquer T.
Planck não alterou a distribuição de
Boltzmann. Apenas tratou a energia das
ondas eletromagnéticas estacionárias na
cavidade radiante como uma variável discreta.
Teoria de Planck para Radiação de Cavidade
Cálculo da constante de Planck

Demonstração das leis empíricas







Lei de Stefan-Boltzman
RT= T4,
= 5,6710-8 W/m2.K4
Lei de Wien
maxT= CW , CW= 2,89810-3 m.K
Resultados de Planck (1901)1
h= 6,5510-27 erg.s
k= 1,34610-16 erg/grau

Valores atualmente aceitos:
h= 6,62610-34 J.s
k= 1,38110-23 J/K

1M.


Planck, Ann. d. Phys. 4 (1901), p. 553
Teoria de Planck para Radiação de Cavidade
O Postulado de Planck



Toda entidade física com apenas
um grau de liberdade, cuja
“coordenada” seja uma função
senoidal do tempo (tipo OHS),
tem a energia total quantizada.
Ou seja, a energia total (E) deve
satisfazer a relação:
E= n.h
n= 0, 1, 2, 3 ...


sendo  a frequência de oscilação,
e h a constante de Planck.