AESVISA – ASSOCIAÇÃO DE ENSINO SUPERIOR DE VITÓRIA DE
SANTO ANTÃO
FAINTVISA - FACULDADES INTEGRADAS DE VITÓRIA DE SANTO
ANTÃO
TOPOGRAFIA: UM INCENTIVO PARA O ESTUDO DE
TRIGONOMETRIA
JOZEILDO JOSÉ DA SILVA
Projeto
de
Pesquisa
apresentado
à
Coordenação de Prática Pedagógica sobre a
solicitação do professor Edson Álvares, titular
da disciplina Prática Pedagogia III do Curso de
Licenciatura Plena em Matemática das
Faculdades Integradas de Vitória de Santo
Antão, para análise e avaliação do rendimento
acadêmico
VITÓRIA DE SANTO ANTÃO, NOVEMBRO DE 2004
JUSTIFICATIVA
Na perspectiva de despertar em alunos do Ensino Médio o gosto pelo estudo de
matemática e em particular da trigonometria, este projeto visa uma forma direta da aplicação
de tal campo, uma vez que conhecimento sem aplicação acarreta desinteresse pelos mesmos.
Pois é de fundamental importância que se tenha consciência de que o ensino de
trigonometria em escola públicas de Pernambuco apresenta-se de forma decadente (resultado
da última avaliação do SAEPE). Um dos fatores que contribuem para esse fracasso é que essa
área da matemática, muitas vezes, não é ministrada pelos professores ou não é explorada de
maneira acessível pelos alunos.
A finalidade do projeto é mostrar que a topografia é um estimulante para o estudo e
aplicação da trigonometria no cotidiano, pois alguns de seus conhecimentos são utilizados em
trabalhos topográficos.
É claro que o aluno não tem
obrigação de saber topografia de maneira
aprofundada. Entretanto, é óbvio que o
bastante a aplicar os conhecimentos de
trigonometria.
A idéia é buscar um entrosamento
do aluno com a matemática. Para isso, faz-
Foto: José Gonçalves
Topógrafo de Orobó-PE
conhecimento básico dessa área o ajudará
se necessário uma boa orientação do
professor, pois o trabalho será realizado em campo e apresentado em sala de aula.
Pesquisas realizadas na área de Educação e Ciências Exatas em particular, mostram
que os alunos adquirem uma aprendizagem mais sólida quando o conteúdo é explorado de
maneira concreta, ou seja, o aluno precisa saber: para que estudar algo e qual a sua aplicação.
É com essa visão que esse projeto busca uma relação direta da trigonometria e sua
aplicação por meio da topografia, já que tal conteúdo é indispensável nessa área.
Outra visão do projeto, é fazer com que o aluno sinta-se mais responsável e consciente
da importância da matemática como ciência e sua relação com o cotidiano.
Nesse sentido, buscamos mostrar que a matemática é uma ciência presente
constantemente em nossa sociedade e “quebrar” a velha visão de que matemática é apenas um
conjunto de regras, números e uma infinidade de cálculos mecânicos que não possui nenhuma
utilidade.
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OBJETIVOS
Geral
Analisar junto aos professores de matemática e alunos do Ensino Médio a importância
da Topografia como um instrumento de incentivo ao estudo da trigonometria.
Objetivos Específicos
- Incentivar o aluno ao estudo e aplicação dos conhecimentos de trigonometria em
trabalhos topográficos;
- Proporcionar ao aluno o gosto pelo estudo da matemática e a importância de sua
aplicação em outras áreas;
- Auxiliar professores de Ensino Médio a fazer com que seus alunos desenvolvam o
gosto pela matemática, através de trabalhos extra-classe, bem como trabalho de campo;
- Aplicar o teorema dos senos e o teorema da área de triângulos em trabalhos
topográficos;
- Conscientizar o aluno sobre a importância do trabalho em grupo;
- Estimular o aluno ao estudo de geometria através da construção geométrica, por meio
da utilização e manuseio de instrumentos de medida, bem como medição e construção de
ângulos;
- Possibilitar aos alunos a construção e análise, de maneira consciente, de: planilhas,
gráficos, construções geométricas, etc.
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4. Fundamentação Teórica
Em termos teóricos, o trabalho ora proposto é pertinente ao campo da matemática e
em particular da trigonometria. No entanto, para que seja posto em prática é preciso que os
alunos tenham uma boa noção sobre tal conteúdo.
Em si tratando de conhecimento científico, o professor deve transmitir o conteúdo de
maneira implícita, ou seja, de modo que seus alunos não percebam a meta que se deseja
alcançar. Para isso, é importante a utilização dos diversos meios presentes na prática docente,
sempre propondo uma relação direta do conteúdo com o cotidiano.
O conteúdo deve ser trabalhado com o objetivo de proporcionar ao aluno uma visão da
necessidade de sua compreensão para execução de atividades presentes em seu dia-a-dia.
Segundo SMOLE (2001, p 287), “(...) os trabalhos de topografia eram feitos ainda
com aparelhos muito rudimentares, como o grafômetro, pouco mais de um transferidor de
madeira graduado, fixo a uma régua e a um tripé (...)” .
É importante que o aluno tenha consciência de que o conteúdo vivenciado em sala de
aula tem uma relação direta com o cotidiano. Além do mais, essa relação serve de incentivo,
pois o ele pode perceber que até mesmo os instrumentos mais simples, usados em atividades
didáticas, tem sua aplicação voltada para a necessidade na execução de trabalhos do dia-a-dia.
A partir da introdução e do desenvolvimento do conteúdo, o professor deverá fazer
com o aluno se aprofunde mais nesse campo de estudo, uma vez que ele já tem noção do que
está estudando e de sua aplicação na sociedade.
Conforme o PCN de Matemática (2001, p 127), o professor deverá trabalhar com sua
turma através de problemas presentes no dia-a-dia que exijam um nível de conhecimento
gradual. “(...) é fundamental propor atividades para que o aluno seja estimulado a progredir na
capacidade de estabelecer pontos de referência em seu contorno, para efeito de localização”.
Com essa visão, o professor estará inserindo o aluno em situações que resultem em
questões do tipo: o que fazer? Como proceder? O que utilizar?, contribuindo para o seu
desenvolvimento intelectual. Pois, é importante que os trabalhos propostos sejam executados
em grupo, pois os alunos precisam: discutir, levantar hipóteses e determinar soluções para tais
problemas.
No que diz respeito ao processo histórico-evolutivo da matemática e em particular da
trigonometria, IEZZI, (2004, p 378) busca uma interação do aluno com essa área do
conhecimento através de esclarecimento sobre as razões que levaram ao seu estudo. Segundo
ele, “A preocupação com as relações entre segmento e ângulos era antiga, a propósito, as
3
pirâmides egípcias eram construídas de maneira que todas tivessem praticamente o mesmo
seqt, o que denominamos hoje de cotangente, corresponde a um ângulo de cerca de 42º”.
O conhecimento sobre o processo histórico de determinado conteúdo de uma área é
essencial para que se tenha noção de seu desenvolvimento evolutivo e tecnológico entre a
sociedade. Pois a aquisição de tais informações, sana as curiosidade dos alunos em relação
aos termos empregados em determinado campo de estudo.
A topografia, tema da pesquisa, é uma das principais aplicações da trigonometria e já
era utilizada pelos egípcios desde os tempos mais remotos em: demarcação, localização e
representação geografia de uma região, por exemplo.
Hoje, sabe-se que devido ao grandes avanços tecnológicos, a topografia tem evoluído
de maneira bastante significativa. Segundo LUDWING (1988, p 11), “(...) a Topografia,
proporciona familiarizar com o modelado do solo, permitindo um aproveitamento mais
perfeito dos caminhamentos e acidentes do terreno, em uma construção, por exemplo(...)”
Mas a topografia, além do que foi proposto, serve de ferramenta que conduz o
incentivo pelo estudo de trigonometria, através de seu cálculo, elaboração e planilhas,
representação por meio de construções geométrica, etc.
Nessa pesquisa, os melhores aportes sobre temas assemelhados são dos autores citados
acima, que estão presentes na bibliografia. Mas vale destacar ainda, que outras obras também
foram analisadas, no entanto, foram descartadas por não se enquadrarem no objetivos da
pesquisa. Uma vez que visamos abolir a prática pedagógica voltada, apenas para um conjunto
de cálculos mecânicos, em que o alunos é levado a decorar regras, sem ter consciência da
importância de tal conteúdo.
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5. Metodologia
Parte da metodologia empregada será a confecção do material utilizado como
ferramenta para execução do projeto, que será relatada abaixo.
5.1 Materiais
- Trena
- Transferidor – 360º
- régua
- papel ofício e/ou milimetrado
- Calculadora Científica
-Teodolito
Vamos Construir um Teodolito
- 1 pote de requeijão (pequeno);
- 1 fio de arame de 9 cm de comprimento;
- 1 cano de 10 cm de comprimento e 8 mm de diâmetro;
- Xerox de um transferidor de 360º;
- 1 tábua 14 cm x 14 cm;
- Fita duréx transparente;
- Plástico adesivo;
- 1 prego;
- Suporte de madeira (tipo tripé).
Como Construir
- Cole a xérox do transferidor na tábua, de modo a deixá-lo bem visível;
- Após colar a xérox, envolva com plástico adesivo;
- Fixe o cano com fita duréx no fundo do pote de requeijão;
- Perfure o pote de requeijão na parte superior de modo a atravessá-lo e enfie o arame,
envergando as pontas para baixo;
- Prenda a tampa do pote de requijão com o prego, de modo a ficar no centro do transferidor;
- Encaixe o pote em sua tampa;
- Pronto! Está contruído o teodolito
- O arame servirá para indicar o ângulo descrito em uma situação.
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Como utilizar
Para utilização tem que haver pelo menos 3 pontos A, B e C, formando um triângulo.
Após isso, coloca-se o teodolito sobre o ponto A, apontando para B, em seguida gira-o até o
ponto C e verifica-se qual o ângulo descrito.
Esse será o ângulo BÂC formado a partir do triângulo. Para medir os outros ângulos,
procede-se da mesma maneira.
B
A
C
5.2 Como utilizar a Calculadora Científica
Em sua calculadora, aperte MODE DEG. Para obtermos o valor
de um seno, digitamos o ângulo correspondente a ele e digitamos a tecla
SIN.
Quando se conhece o valor de um seno e se que saber o ângulo,
basta digitar esse valor e em seguida SHIFT SIN -1, o mesmo pode ser
empregado para cosseno, tangente, etc.
Para que o valor de um ângulo seja expresso em graus, minutos e
segundos, digitamos SHIFT º „ “  e para que graus, minutos e
segundos sejam expressos em números, digitamos apenas º „ “.
É importante destacar que, devido a variedade de calculadoras científicas, as
orientações acima pode não se enquadrar em determinadas marcas ou modelos.
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5.3 Executando o Projeto
O projeto será executado através de pesquisas de campo e os alunos se colocarão no
papel de topógrafos.
Vamos aqui relatar a metodologia aplicada na execução do projeto, através de um
exemplo que será relatado a partir do
próximo parágrafo.
Para
um
levantamento
das
deverão começar medindo, com maior
precisão, um distância fixa AB, com o
auxílio de uma trena, como é mostrado na
figura abaixo.
Da extremidade A da base AB,
Foto extraída da Internet
www.cefetbambui.edu.br
características de um terreno, os alunos
eles medirão, com teodolito, o ângulo que está representado na figura pelo número 1, visando
os pontos B e C (C deve ser um objeto bem visível, como uma árvore, por exemplo). Feito
isso, da extremidade B, os alunos medirão o ângulo representado pelo número 2, visando os
pontos AC. Eles Têm, assim, a medida de um dos lado AB e de dois ângulos do triângulo
ABC. Desse modo, podem calcular o outro ângulo, pois em todo triângulo qualquer, a soma
dos ângulos internos é igual a 180º e também, os comprimentos BC e AC utilizando o
teorema ou lei dos senos e uma calculador científica.
Em seguida, os alunos fixarão outros pontos no terreno e formarão novos triângulos
adjacentes ao primeiro. Sabendo as medidas do triângulo ABC e medindo os ângulos dos
novos triângulos com teodolito, os alunos calcularão os lados desses triângulos.
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Assim, determinadas todas as distâncias, os alunos, poderão calcular todas as áreas dos
triângulos através do teorema da área e somá-las, determinando a área total do terreno.
Ao término do trabalho de
campo, os alunos construirão uma
Foto : José Gonçalves (Topógrafo)
e seu auxiliar (ao lado)
planilha (tabela) que conste: todos os
pontos
marcados,
correspondente
a
o
cada
ângulo
triângulo,
identificando-os por números, a medida
de cada ângulo e ao lado seu seno, cada
lado dos triângulos e seus respectivos
comprimentos. A última coluna deverá
constar a área correspondente a cada triângulo. A última linha da planilha será reservada para
a área total do terreno.
Feito isso, os alunos farão uma representação gráfica do local, utilizando uma escala
que seja mais adequada a situação, através de lápis grafite, régua e transferidor.
A planilha da próxima página exemplifica o levantamento topográfico de terreno
mostrado na figura da página anterior. É importante destacar que para seu total
preenchimento, será necessário um trabalho minucioso e é bom que seja realizado em um
local calmo e agradável.
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Planilha – Levantamento Topográfico
PONTO
A
B
C
B
A
D
C
B
E
B
F
E
B
D
F
A
G
C
ÂNGULO
MEDIDA SENO LADO
1
33º
0,54
BC
2
125º
0,82
AC
3
22º
0,37
AB
4
25º
0,42
AD
5
52º
0,79
BD
6
103º
0,97
AB
7
69º
0,93
BE
8
31º
0,51
CE
9
80º
0,98
BC
10
79º
0,98
EF
11
78º
0,98
BE
12
23º
0,39
BF
13
100º
0,98
DF
14
31º
0,51
BF
15
49º
0,75
BD
16
35º
0,57
CG
17
120º
0,86
AC
18
25º
0,42
AG
ÁREA TOTAL DO TERRENO
MEDIDA (m)
68,60
104,20
47,00
20,30
38,30
47,00
65,10
35,70
68,60
65,10
65,10
25,90
81,90
25,90
38,30
69,00
104,20
50,90
ÁREA (m²)
A1
1.322,40
A2
377,00
A3
1.138,80
A4
826,40
A5
795,40
A6
1.509,80
5.969,80
Para o preenchimento da planilha foram necessários alguns cálculos que serão
mostrados nas duas tabela abaixo, sendo que a primeira é referente ao cálculo dos lados, por
tanto, aplica-se a lei dos senos. A segunda é referente ao cálculo da área de cada triângulo, em
que é usado o teorema da área.
Cálculo dos Lados
BC
AB

sen 1 sen 3
BC 47,00

0,54 0,37
BC = 68,60
AC
AB

sen 2 sen 3
AC
47

0,82 0,37
AC = 104,20
... e assim por diante
Cálculo da Área
A1 
BC . AC . sen 3
2
A1 
68,60 . 104,20 . 0,37
2
A1 = 1.322,00
A2 
AD . BD . sen 6
2
A1 
20,30 . 38,30 . 0,97
2
A2 = 377,00
... e assim por diante
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Planificação do Terreno
Para construir a planta de um terreno, os alunos deverão proceder de acordo com os
dados da planilha. É importante que seja adotada uma escala para a realização da tarefa.
Para que a matemática seja depositada em cada um de nós, em forma de
aprendizagem, é preciso que professores e alunos arregacem as mangas e juntos busquem uma
melhor maneira de torná-la um veículo entre a sociedade.
Projetos como esse e outros, são de fundamental importância para a evolução do
ensino da matemática. Pois é chegada a hora de extinguir a “velha visão” que muitos que
fazem parte da sociedade ainda têm.
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6. Cronograma
FASES DA PESQUISA
SET
OUT
Escolha do título e conteúdo da pesquisa
X
Análises de livros didáticos, artigos
eletrônicos, revistas educativas, jornais,
etc
Relato Manual da pesquisa
X
X
X
X
Teste de aplicação do projeto
X
Digitação do Projeto
X
NOV
X
Revisão e correção
X
Impressão do projeto
X
Apresentação do projeto na FAINTVISA
DEZ
X
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7. Bibliografia
BRASÍLIA. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, 3ª ed.
2001.
IEZZI, Gelson et al. Matemática – Ciência e Aplicações, 1ª série: Ensino Médio, 2ª Ed. São
Paulo: Atual, 2004.
LUDWING, 1º Tem. PM Roberto. Noções de Topografia Militar, 1978.
SMOLE, Kátia Stocco & DINIS, Maria Ignez. Matemática – Ensino Médio, vol 1, 3ª Ed. São
Paulo: Saraiva, 2003.
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