Recursos do Professor
Novo Espaço
Matemática A • 11.° ano
Apresentação do Projeto
O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédia
em contexto.
O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,
com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.
Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,
de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.
Como aceder ao e-Manual?
Os professores que adotarem o projeto Novo Espaço 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:
• Manual (2 partes)
• Caderno Prático
• Caderno do Professor
1 Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt
2 Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.
Como utilizar?
• e-Manual
• Aplicações Dinâmicas para o Professor
Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos a
explorar.
Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelas
páginas, à semelhança do que faria na versão impressa.
Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de forma
a criar o seu próprio e-Manual.
w
O Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de
recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar este
manual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais
educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.
São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades:
animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitos
outros.
Educação 2011
+ Próximos de si!
Mais valor! Mais futuro!
Oo
1
Manual
Este Manual, dividido em duas
partes, privilegia metodologias
que favorecem a participação
ativa dos alunos e proporciona a
mobilização de recursos variados.
Desta forma, contribui para um
verdadeiro processo de ensino-aprendizagem e para o reforço
da autonomia dos alunos.
Os três temas trabalhados no 11.º
ano são apresentados no Manual
com a seguinte estrutura:
• Página de apresentação do
tema – tópicos a trabalhar no
tema.
• Introdução – diversidade de
situações relacionadas com o
tema.
10
INTRODUÇÃO
NEMA11-P1 © Porto Editora
A trigonometria tem na sua origem a aplicação de processos matemáticos eminentemente
práticos para determinar distâncias que não podiam ser avaliadas diretamente.
Surgem, deste modo, aplicações na resolução de problemas em vários domínios, com
principal destaque para a astronomia, a agrimensura e a navegação. A relação da astronomia
com a trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos esféricos –
triângulos sobre uma superfície esférica em que os lados são arcos de círculos máximos. A
trigonometria esférica antecedeu a trigonometria plana.
C
a
11
TEMA 1
c
1. Resolução de problemas que
envolvam triângulos
Triângulo esférico [ABC]
Com o passar do tempo a trigonometria libertou-se da astronomia e viu o seu campo de
ação mais alargado.
1.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo
Em termos cronológicos, de forma simplificada
podem ser referidos alguns marcos relacionados com a
Em Hipócrates
qualquer triângulo
podem ser considerados seis elementos printrigonometria: no século V a. C., com
de
cipais:
lados e três ângulos.
Quios, que estudou relações entre arcos
detrês
circunferência e respetivas cordas; no século IIISe
a. C.,
trêsArquimedes
desses elementos forem conhecidos, sendo um deles necesde Siracusa, na sequência do trabalho
desenvolvido
sariamente
a medida do comprimento de um dos lados, então o triângulo
para calcular o perímetro de um círculo, dado o raio,
fica definido, isto é, todos os outros elementos podem ser determinados.
calculou o comprimento de grande número de cordas e
Para a determinação
desses elementos deves recordar e aprofundar
estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas;
no
alguns
conceitos,
dados em anos anteriores, relacionados com a trigoséculo II a. C., é atribuída a Hiparco
de Niceia
a autoria
das primeiras tábuas trigonométricas.
nometria.
do ângulo”.
tir das razões entre as medidas dos compriNa análise que se segue, retoma-se
o estudo
da trigonometria
à resolução
de
mentos
dos lados
do triânguloassociada
obtêm-se
os
problemas que envolvem triângulos, seguindo-se uma primeira abordagem ao estudo das
valores de:
a
Para Saber Mais
Cotangente de a :
cotg a =
Secante de a :
sec a =
c
1
tg a
1
cos a
funções trigonométricas com aplicações.
seno de a , cosseno de a e tangente
de a .
Cossecante de a :
α
C
Razões trigonométricas de a :
b
a
sin a =
cos a =
c
c
A
b
tg a =
a
b
2
cosec a =
1
sin a
• Curiosidade – Para despertar o
interesse e estimular a reflexão
são apresentadas curiosidades
relacionadas com o tema em
estudo.
Proposta 4
Observa a figura. No momento em que o ângulo que os raios
solares fazem com o solo (ângulo de incidência) é igual a 35° ,
o comprimento da sombra da árvore é igual a 10 m .
Determina:
1.
a altura da árvore;
2.
o comprimento da sombra no momento em que o ângulo
de incidência é 50° ;
3.
o ângulo de incidência no momento em que a sombra da
árvore tem 3 metros de comprimento.
a
B
NEMA11-P1 © Porto Editora
2
4
β
sin
cos
α
C
2
2V√ 5
tg
4
√5
4
5
2√5
2√5
5
2
2√5
2 1
=
4 2
10 m
M
A
=
2√5
5
=
√5
5
2√5
4
=2
2
C
• o ponto M é o centro da base do cone;
• a base do cone tem 8 dm de diâmetro;
• o ângulo CBM tem 25° de amplitude.
1.
Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetros
cúbicos, arredondado às centésimas.
2.
Determina a amplitude a que o ângulo CBM deve tomar de modo que o
volume seja metade do volume do cone inicial.
a
B
Proposta 6
Os vértices do triângulo da figura representam três localidades: A ,
B e C . A distância de A a C é de 8 km e de B a C é 3 km .
C
Com base nos dados da figura, determina, com aproximação às
unidades, a distância entre as localidades A e B .
70˚ 3 km
8 km
B
Sugestão: Decompõe o triângulo [ABC] em dois triângulos retângulos.
A
Proposta 7
Na figura ao lado está representado um pentágono regular inscrito numa circunferência.
1.
Determina, em graus, as amplitudes a e b assinaladas na figura.
2.
Calcula, em centímetros quadrados, a área do pentágono no caso
deste ter 25 cm de perímetro. Apresenta o resultado arredondado às
décimas.
3.
Calcula o perímetro do polígono, admitindo que a circunferência tem
8 cm de raio.
E
D
b
A
a
C
B
b
=
=
2√5
A
35˚
• Propostas de planificação por
tema
Atendendo a que privilegiamos
processos dinâmicos de ensino-aprendizagem, as propostas de
planificação são flexíveis, de
modo a facilitar adaptações a
diferentes metodologias e a
diferentes realidades, não
deixando de assumir um papel
orientador da ação do Professor.
5 Aplicações Dinâmicas
para o Professor
• Diversificação dos recursos
– a integração da componente
experimental;
– a melhor gestão do tempo;
– a compreensão do contexto
por parte do Aluno;
– a diversificação/generalização.
• Desafios – para além da
componente lúdica
5
Aplicações Dinâmicas
para o Professor
Compreendem um conjunto de
interatividades com:
– resolução animada de
desafios;
– resolução animada de
exercícios/problemas
relevantes.
Apresentação da resolução dos
desafios.
Articulação com os tópicos
trabalhados e o conhecimento
matemático mobilizado.
Caderno do Professor
No Caderno do Professor
apresentam-se:
80
Exemplo 1
Em relação aos ângulos a e b do triângulo retângulo [ABC] representado na figura, tem-se:
3
4 e-Manual do Professor
A partir de tarefas propostas no
Manual e dos exercícios/
problemas no Caderno Prático,
são apresentadas sugestões
para:
– ampliar a exploração das
propostas;
– integrar recursos didáticos
que potenciem a exploração
das propostas;
– integrar explorações em
ambiente de geometria
dinâmica;
– promover a interação.
Este reforço de propostas
permite responder:
– a diferentes ritmos de
trabalho;
– a diferentes graus de
dificuldade;
– à diversidade de contextos;
– à mobilização de diferentes
recursos;
– articular contexto não
matemático com contexto
matemático;
– consolidar conhecimentos.
• Para saber mais – pequenos
apontamentos que
complementam a informação
trabalhada.
• Para praticar – conjunto
variado de propostas que
permitem retomar e consolidar
aspetos relevantes do tema.
Caderno Prático
O Caderno Prático está dividido,
tal como o Manual, em três
temas, sendo proposto um
conjunto variado de
exercícios/tarefas para cada um.
• Referência Histórica – para
facilitar o enquadramento no
tempo e a evolução de
conceitos.
Proposta 5
No século XVI, a aplicação da trigonometria na resolução de problemas algébricos é feita
pelo matemático Viète, que estabeleceu algumas fórmulas.
Recorda
• Recorda – Sempre que um ou
mais do que um pré-requisito
seja essencial à compreensão e
desenvolvimento do tópico em
estudo é retomado e referido
com destaque.
• Desafio – propostas/
curiosidades relacionadas com
o tema, com uma componente
lúdica, que permitem:
– reforçar a motivação;
– desenvolver o gosto pela
Matemática;
– desenvolver as capacidades
de raciocinar e comunicar.
Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que:
Mas foi Ptolomeu, astrónomo grego do século II d. C.,
que influenciou o desenvolvimento Nota
da trigonometria
durante séculos. A sua obra Almagesto
contémpara
umasimplificar a linguagem, faz-se referência a ângulo
Por vezes,
Retrato de Ptolomeu (100-170 d. C.) realitabela de cordas que pode ser considerada
em vezequivalente
de amplitudezado
dopor
ângulo.
É o caso de “razões trigonométricas
André Thevet (1502-1590)
a uma tabela de senos.
Atualmente, para além da trigonometria estar relacionada com a resolução de problemas
envolvendo triângulos, aparece associada
certas funções dede
ângulos,
chamadas
Razõesa trigonométricas
ângulos
agudos funções
circulares, goniométricas ou trigonométricas.
matemático
suíço Euler,
sua obra retângulo
denomiNa figuraOestá
representado
umna
triângulo
[ABC] , sendo
nada Introductio, de 1748, fez o estudo analítico das funções trigonométricas que se tornou
a , b e c as medidas dos comprimentos dos lados.
fundamental para o estudo de fenómenos periódicos, como, por exemplo, vibrações, movimentos ondulatórios e planetários. Seja a o ângulo agudo de vértice A . A par- B
• Exercícios de margem –
conjunto de exercícios/
problemas que permitem
desbloquear dificuldades e
fazer a consolidação necessária
para uma aplicação mais
autónoma dos conhecimentos
e ferramentas matemáticas.
3 Caderno do Professor
NEMA11-P1 © Porto Editora
b
A
GEOMETRIA
NO PLANOBE NO ESPAÇO II
• Tarefas – diversidade de
propostas que permitem:
– identificar, mobilizar e aplicar
conhecimento matemático;
– estabelecer conexões entre
diversos conceitos e relações
matemáticas;
– desenvolver capacidades de
comunicação matemática;
– integrar o uso da tecnologia,
nomeadamente a calculadora
gráfica.
2 Caderno Prático
4
e-Manual do Professor
(disponível também para o aluno)
Versão digital do Manual com a
ligação em contexto para outros
recursos, tais como animações,
que promovem:
– o reforço da motivação;
– a clarificação da situação
problemática colocada;
– o rigor;
– as simulações para
diversificar e generalizar;
Articuladas com o Manual,
favorecem a adequação e
diferenciação pedagógica na sala
de aula. Poderão ser usadas
como base para a criação de
outras apresentações e
materiais, adequados às suas
turmas.
Recursos do Professor
1 Manual
1
Manual
Este Manual, dividido em duas
partes, privilegia metodologias
que favorecem a participação
ativa dos alunos e proporciona a
mobilização de recursos variados.
Desta forma, contribui para um
verdadeiro processo de ensino-aprendizagem e para o reforço
da autonomia dos alunos.
Os três temas trabalhados no 11.º
ano são apresentados no Manual
com a seguinte estrutura:
• Página de apresentação do
tema – tópicos a trabalhar no
tema.
• Introdução – diversidade de
situações relacionadas com o
tema.
10
INTRODUÇÃO
NEMA11-P1 © Porto Editora
A trigonometria tem na sua origem a aplicação de processos matemáticos eminentemente
práticos para determinar distâncias que não podiam ser avaliadas diretamente.
Surgem, deste modo, aplicações na resolução de problemas em vários domínios, com
principal destaque para a astronomia, a agrimensura e a navegação. A relação da astronomia
com a trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos esféricos –
triângulos sobre uma superfície esférica em que os lados são arcos de círculos máximos. A
trigonometria esférica antecedeu a trigonometria plana.
C
a
11
TEMA 1
c
1. Resolução de problemas que
envolvam triângulos
Triângulo esférico [ABC]
Com o passar do tempo a trigonometria libertou-se da astronomia e viu o seu campo de
ação mais alargado.
1.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo
Em termos cronológicos, de forma simplificada
podem ser referidos alguns marcos relacionados com a
Em Hipócrates
qualquer triângulo
podem ser considerados seis elementos printrigonometria: no século V a. C., com
de
cipais:
lados e três ângulos.
Quios, que estudou relações entre arcos
detrês
circunferência e respetivas cordas; no século IIISe
a. C.,
trêsArquimedes
desses elementos forem conhecidos, sendo um deles necesde Siracusa, na sequência do trabalho
desenvolvido
sariamente
a medida do comprimento de um dos lados, então o triângulo
para calcular o perímetro de um círculo, dado o raio,
fica definido, isto é, todos os outros elementos podem ser determinados.
calculou o comprimento de grande número de cordas e
Para a determinação
desses elementos deves recordar e aprofundar
estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas;
no
alguns
conceitos,
dados em anos anteriores, relacionados com a trigoséculo II a. C., é atribuída a Hiparco
de Niceia
a autoria
das primeiras tábuas trigonométricas.
nometria.
do ângulo”.
tir das razões entre as medidas dos compriNa análise que se segue, retoma-se
o estudo
da trigonometria
à resolução
de
mentos
dos lados
do triânguloassociada
obtêm-se
os
problemas que envolvem triângulos, seguindo-se uma primeira abordagem ao estudo das
valores de:
a
Para Saber Mais
Cotangente de a :
cotg a =
Secante de a :
sec a =
c
1
tg a
1
cos a
funções trigonométricas com aplicações.
seno de a , cosseno de a e tangente
de a .
Cossecante de a :
α
C
Razões trigonométricas de a :
b
a
sin a =
cos a =
c
c
A
b
tg a =
a
b
2
cosec a =
1
sin a
• Curiosidade – Para despertar o
interesse e estimular a reflexão
são apresentadas curiosidades
relacionadas com o tema em
estudo.
Proposta 4
Observa a figura. No momento em que o ângulo que os raios
solares fazem com o solo (ângulo de incidência) é igual a 35° ,
o comprimento da sombra da árvore é igual a 10 m .
Determina:
1.
a altura da árvore;
2.
o comprimento da sombra no momento em que o ângulo
de incidência é 50° ;
3.
o ângulo de incidência no momento em que a sombra da
árvore tem 3 metros de comprimento.
a
B
NEMA11-P1 © Porto Editora
2
4
β
sin
cos
α
C
2
2V√ 5
tg
4
√5
4
5
2√5
2√5
5
2
2√5
2 1
=
4 2
10 m
M
A
=
2√5
5
=
√5
5
2√5
4
=2
2
C
• o ponto M é o centro da base do cone;
• a base do cone tem 8 dm de diâmetro;
• o ângulo CBM tem 25° de amplitude.
1.
Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetros
cúbicos, arredondado às centésimas.
2.
Determina a amplitude a que o ângulo CBM deve tomar de modo que o
volume seja metade do volume do cone inicial.
a
B
Proposta 6
Os vértices do triângulo da figura representam três localidades: A ,
B e C . A distância de A a C é de 8 km e de B a C é 3 km .
C
Com base nos dados da figura, determina, com aproximação às
unidades, a distância entre as localidades A e B .
70˚ 3 km
8 km
B
Sugestão: Decompõe o triângulo [ABC] em dois triângulos retângulos.
A
Proposta 7
Na figura ao lado está representado um pentágono regular inscrito numa circunferência.
1.
Determina, em graus, as amplitudes a e b assinaladas na figura.
2.
Calcula, em centímetros quadrados, a área do pentágono no caso
deste ter 25 cm de perímetro. Apresenta o resultado arredondado às
décimas.
3.
Calcula o perímetro do polígono, admitindo que a circunferência tem
8 cm de raio.
E
D
b
A
a
C
B
b
=
=
2√5
A
35˚
• Propostas de planificação por
tema
Atendendo a que privilegiamos
processos dinâmicos de ensino-aprendizagem, as propostas de
planificação são flexíveis, de
modo a facilitar adaptações a
diferentes metodologias e a
diferentes realidades, não
deixando de assumir um papel
orientador da ação do Professor.
5 Aplicações Dinâmicas
para o Professor
• Diversificação dos recursos
– a integração da componente
experimental;
– a melhor gestão do tempo;
– a compreensão do contexto
por parte do Aluno;
– a diversificação/generalização.
• Desafios – para além da
componente lúdica
5
Aplicações Dinâmicas
para o Professor
Compreendem um conjunto de
interatividades com:
– resolução animada de
desafios;
– resolução animada de
exercícios/problemas
relevantes.
Apresentação da resolução dos
desafios.
Articulação com os tópicos
trabalhados e o conhecimento
matemático mobilizado.
Caderno do Professor
No Caderno do Professor
apresentam-se:
80
Exemplo 1
Em relação aos ângulos a e b do triângulo retângulo [ABC] representado na figura, tem-se:
3
4 e-Manual do Professor
A partir de tarefas propostas no
Manual e dos exercícios/
problemas no Caderno Prático,
são apresentadas sugestões
para:
– ampliar a exploração das
propostas;
– integrar recursos didáticos
que potenciem a exploração
das propostas;
– integrar explorações em
ambiente de geometria
dinâmica;
– promover a interação.
Este reforço de propostas
permite responder:
– a diferentes ritmos de
trabalho;
– a diferentes graus de
dificuldade;
– à diversidade de contextos;
– à mobilização de diferentes
recursos;
– articular contexto não
matemático com contexto
matemático;
– consolidar conhecimentos.
• Para saber mais – pequenos
apontamentos que
complementam a informação
trabalhada.
• Para praticar – conjunto
variado de propostas que
permitem retomar e consolidar
aspetos relevantes do tema.
Caderno Prático
O Caderno Prático está dividido,
tal como o Manual, em três
temas, sendo proposto um
conjunto variado de
exercícios/tarefas para cada um.
• Referência Histórica – para
facilitar o enquadramento no
tempo e a evolução de
conceitos.
Proposta 5
No século XVI, a aplicação da trigonometria na resolução de problemas algébricos é feita
pelo matemático Viète, que estabeleceu algumas fórmulas.
Recorda
• Recorda – Sempre que um ou
mais do que um pré-requisito
seja essencial à compreensão e
desenvolvimento do tópico em
estudo é retomado e referido
com destaque.
• Desafio – propostas/
curiosidades relacionadas com
o tema, com uma componente
lúdica, que permitem:
– reforçar a motivação;
– desenvolver o gosto pela
Matemática;
– desenvolver as capacidades
de raciocinar e comunicar.
Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que:
Mas foi Ptolomeu, astrónomo grego do século II d. C.,
que influenciou o desenvolvimento Nota
da trigonometria
durante séculos. A sua obra Almagesto
contémpara
umasimplificar a linguagem, faz-se referência a ângulo
Por vezes,
Retrato de Ptolomeu (100-170 d. C.) realitabela de cordas que pode ser considerada
em vezequivalente
de amplitudezado
dopor
ângulo.
É o caso de “razões trigonométricas
André Thevet (1502-1590)
a uma tabela de senos.
Atualmente, para além da trigonometria estar relacionada com a resolução de problemas
envolvendo triângulos, aparece associada
certas funções dede
ângulos,
chamadas
Razõesa trigonométricas
ângulos
agudos funções
circulares, goniométricas ou trigonométricas.
matemático
suíço Euler,
sua obra retângulo
denomiNa figuraOestá
representado
umna
triângulo
[ABC] , sendo
nada Introductio, de 1748, fez o estudo analítico das funções trigonométricas que se tornou
a , b e c as medidas dos comprimentos dos lados.
fundamental para o estudo de fenómenos periódicos, como, por exemplo, vibrações, movimentos ondulatórios e planetários. Seja a o ângulo agudo de vértice A . A par- B
• Exercícios de margem –
conjunto de exercícios/
problemas que permitem
desbloquear dificuldades e
fazer a consolidação necessária
para uma aplicação mais
autónoma dos conhecimentos
e ferramentas matemáticas.
3 Caderno do Professor
NEMA11-P1 © Porto Editora
b
A
GEOMETRIA
NO PLANOBE NO ESPAÇO II
• Tarefas – diversidade de
propostas que permitem:
– identificar, mobilizar e aplicar
conhecimento matemático;
– estabelecer conexões entre
diversos conceitos e relações
matemáticas;
– desenvolver capacidades de
comunicação matemática;
– integrar o uso da tecnologia,
nomeadamente a calculadora
gráfica.
2 Caderno Prático
4
e-Manual do Professor
(disponível também para o aluno)
Versão digital do Manual com a
ligação em contexto para outros
recursos, tais como animações,
que promovem:
– o reforço da motivação;
– a clarificação da situação
problemática colocada;
– o rigor;
– as simulações para
diversificar e generalizar;
Articuladas com o Manual,
favorecem a adequação e
diferenciação pedagógica na sala
de aula. Poderão ser usadas
como base para a criação de
outras apresentações e
materiais, adequados às suas
turmas.
Recursos do Professor
1 Manual
Recursos do Professor
Novo Espaço
Matemática A • 11.° ano
Apresentação do Projeto
O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédia
em contexto.
O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,
com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.
Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,
de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.
Como aceder ao e-Manual?
Os professores que adotarem o projeto Novo Espaço 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:
• Manual (2 partes)
• Caderno Prático
• Caderno do Professor
1 Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt
2 Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.
Como utilizar?
• e-Manual
• Aplicações Dinâmicas para o Professor
Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos a
explorar.
Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelas
páginas, à semelhança do que faria na versão impressa.
Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de forma
a criar o seu próprio e-Manual.
w
O Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de
recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar este
manual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais
educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.
São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades:
animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitos
outros.
Educação 2011
+ Próximos de si!
Mais valor! Mais futuro!
Oo