200784 – Topografia I
TOPOGRAFIA
TRIANGULAÇÃO e TRIGONOMETRIA
Prof. Carlos Eduardo Troccoli Pastana
[email protected]
(14) 3422-4244
AULA 3
1. TRIANGULAÇÃO
•
Sabe-se que o triângulo é uma figura
geométrica que se torna totalmente
determinada quando se conhecem seus
três lados: não há necessidade de
conhecer os ângulos.
•
Para levantamentos com medidas
exclusivamente lineares os triângulos
constituirão a amarração do levantamento.
15/02/2014
200784 – Topografia I
2
1. TRIANGULAÇÃO
Deve-se, portanto, tomar-se alguns
cuidados para que não haja acumulação de
erros a saber:
•
•
•
•
15/02/2014
Deve-se ter a preocupação de
estabelecer triângulos principais;
Os detalhes devem ser amarrados a, se
necessário, triângulos secundários;
Deve-se medir cada uma das retas que
constituem os lados de todos os
triângulos;
200784 – Topografia I
3
1. TRIANGULAÇÃO
Deve-se, portanto, tomar-se alguns
cuidados para que não haja acumulação de
erros a saber:
•
•
A medição deve ser feita, de preferência,
com trena de aço;
•
Ao medir-se uma linha os detalhes que a
margeiam serão nela amarrados;
15/02/2014
200784 – Topografia I
4
1. TRIANGULAÇÃO
Deve-se, portanto, tomar-se alguns
cuidados para que não haja acumulação de
erros a saber:
•
•
Observar que a base do triângulo deverá
estar na linha, tendo como vértice o
ponto do detalhe;
•
Procurar determinar triângulos
acutângulos.
15/02/2014
200784 – Topografia I
5
1. TRIANGULAÇÃO
Deve-se, portanto, tomar-se alguns
cuidados para que não haja acumulação de
erros a saber:
•
•
Observar que a base do triângulo deverá
estar na linha, tendo como vértice o
ponto do detalhe;
•
Procurar determinar triângulos
acutângulos.
15/02/2014
200784 – Topografia I
6
1. TRIANGULAÇÃO
•
Para medição de um pequeno lote urbano
irregular
2
62,00 m
1
4
15/02/2014
48,50 m
200784 – Topografia I
3
7
1. TRIANGULAÇÃO
•
Para medição de um pequeno lote urbano
irregular
2
62,00 m
1
4
15/02/2014
48,50 m
200784 – Topografia I
3
8
1. TRIANGULAÇÃO
•
Para medição de um pequeno lote urbano
2
irregular
1
A
B
4
3
15/02/2014
200784 – Topografia I
9
1. TRIANGULAÇÃO
•
Para medição de um pequeno lote urbano
2
irregular
1
A
B
4
3
15/02/2014
200784 – Topografia I
10
1. TRIANGULAÇÃO
•
Para medição de um pequeno lote urbano
irregular
M6
M1
M2
A
F
E
G
B
M5
C
D
M3
15/02/2014
M4
200784 – Topografia I
11
1. TRIANGULAÇÃO
120 m
100 m
90 m
E
60 m
Para medição de um pequeno lote urbano
irregular
30 m
•
G
15/02/2014
200784 – Topografia I
12
1. TRIANGULAÇÃO
120 m
100 m
90 m
E
60 m
Para medição de um pequeno lote urbano
G 120
irregular
30 m
•
90
26,0
G
100
60
30
E
15/02/2014
200784 – Topografia I
13
2. CÁLCULO DA ÁREA DE UM
TRIÂNCULO QUALQUER
•
Também conhecido como fórmula de
Heron, permite o cálculo da área de um
triângulo utilizando-se apenas das
medidas de seus lados.
15/02/2014
200784 – Topografia I
14
3. EXERCÍCIO
•
Para o desenho representado na figura
abaixo, calcular a área.
15/02/2014
200784 – Topografia I
15
3. EXERCÍCIO
•
Para o desenho representado na figura
abaixo, calcular a área.
15/02/2014
200784 – Topografia I
16
200784 – Topografia I
TOPOGRAFIA
TRIGONOMETRIA
Prof. Carlos Eduardo Troccoli Pastana
[email protected]
(14) 3422-4244
2. TRIGONOMETRIA:
Circulo trigonométrico
15/02/2014
200784 – Topografia I
18
2. TRIGONOMETRIA:
Funções no triângulo retângulo
15/02/2014
200784 – Topografia I
19
3. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM
TRIÂNGULO QUALQUER:
Lei dos Co-senos
Analogamente:
15/02/2014
200784 – Topografia I
20
3. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM
TRIÂNGULO QUALQUER:
Lei dos Senos
Igualando e desenvolvendo
Desenvolvendo:
15/02/2014
200784 – Topografia I
21
4. EXERCÍCIOS
1 – Na observação de um triângulo que servirá
de apoio para um levantamento, obtiveramse os seguintes valores:
A = 51º16’39”;
B=74º16’35”;
C=54º26’46”;
lado BC=100,60 m.
Oposto ao ângulo Â
a =100,60m
Calcular o comprimento do lado AB.
100,60
c
100,60
o

c

sen
54
26
'
46
"

sen51o16'39" sen54o 26'46"
sen51o16'39"
c  104,905m
15/02/2014
200784 – Topografia I
22
4. EXERCÍCIOS
2 – Um segmento AB de 5,74 m, forma com a
reta “r”, um ângulo de 26º28’55”.
Calcule a medida da projeção ortogonal de
AB sobre “r”.
ÂNGULO = 26º28’55”.
A’
B’
r
A' B'  AB  cos 26o 28'55"
A' B'  5,74  cos 26o 28'55"  5,138m
15/02/2014
200784 – Topografia I
23
4. EXERCÍCIOS
3 – Qual é a altura de uma chaminé cuja sombra
se espalha por 20 metros quando o sol está
a uma altura de 60 grados em relação ao
horizonte?
15/02/2014
200784 – Topografia I
24
4. EXERCÍCIOS
4 – Calcular a distância entre dois pontos
inacessíveis A e B, conhecendo uma base
CD (medida) = 150,00 m e os ângulos
(medidos) α= 40º, β= 60º, ζ=38º30’,
δ=70º30’.
15/02/2014
200784 – Topografia I
25
4. EXERCÍCIOS
5 – Para determinar a largura AB de um rio, mediuse: CD – 85,00m, α= 74º18’, β= 56º20’, ζ= 18º56’.
15/02/2014
200784 – Topografia I
26
15/02/2014
200784 – Topografia I
27