TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
Construções Elementares com Régua e
Compasso
(Entregar todos os exercı́cios até o dia 20/04/2004)
1
Construindo um triângulo equilátero, dado um dos
seus lados
A primeira proposição do primeiro livro dos “Elementos” de Euclides
ensina como construir um triângulo equilátero, dado um dos seus lados:
Com centro em A e raio AB construa o cı́rculo C1 . Com centro
em B e raio BA, construa o cı́rculo C2 . Seja X um dos pontos de
interseção entre os dois cı́rculos. O triângulo ∆ABX é equilátero.
X
C2
C1
A
B
Figura 1: A construção de um triângulo equilátero.
1
[01] Por que a construção sugerida por Euclides produz, de fato, um triângulo
∆ABC que é equilátero?
[02] Desenhe um triângulo ∆ABC qualquer. Sobre cada dos três lados deste
triângulo, construa triângulos equiláteros ∆ABP , ∆BCQ e ∆ACR de
tal forma que ∆ABP e ∆ACR estejam “apontando para fora” e ∆BCQ
esteja “apontando para dentro” do triângulo ∆ABC inicial. O que você
dizer a respeito do quadrilátero ARQP ?
2
Paralelas e perpendiculares
Para traçar por um ponto P uma reta perpendicular a uma reta r, trace
um cı́rculo de centro em P cortando a reta r em A e B (figura (2)). Em
seguida, trace cı́rculos de mesmo raio com centros em A e B, obtendo Q, um
←→
dos pontos de interseção. A reta P Q é perpendicular a reta r.
P
r
A
B
Q
Figura 2: Construção de uma reta perpendicular a uma reta r pelo ponto P .
Para traçar por um ponto P , uma reta paralela a uma reta r, proceda
como se segue. Trace três cı́rculos, sempre com o mesmo raio: o primeiro
com centro em P , determinado um ponto A na reta r, o segundo com centro
em A, determinando um ponto B na mesma reta e o terceiro com centro
em B, determinando um ponto Q sobre o primeiro cı́rculo (figura (3)). A
←→
reta P Q é paralela a reta r.
2
C1
C3
P
Q
C2
A
r
B
Figura 3: Construção de uma reta paralela a uma reta r pelo ponto P .
[03] Justifique por que as construções descritas acima produzem, de fato,
retas perpendiculares e paralelas a uma dada reta r passando por um
dado ponto P .
[04] Descreva como construir, usando régua e compasso, uma reta perpendicular a uma reta r passando por um ponto P que pertence a reta r.
Justifique a sua resposta!
[05] Como construir um quadrado a partir de um dos seus lados usando
régua e compasso? Justifique a sua resposta!
3
Desafio
[06] Desenhe um quadrilátero ABCD qualquer. Sobre cada dos quatro lados deste quadrilátero, construa quadrados que estejam “apontando
para fora” do quadrilátero ABCD. Em seguida, marque a interseção
das diagonais, isto é, marque o centro de gravidade de cada quadrado.
Considere os dois segmentos obtidos ligando-se os centros de gravidades
de quadrados construı́dos sobre lados opostos do quadrilátero ABCD.
Que propriedades interessantes você consegue estabelecer para estes dois
segmentos? Justifique a sua resposta!
3
4
A mediatriz
A mediatriz de um segmento de reta AB é a reta perpendicular a AB que
passa pelo ponto médio de AB. Para construir a mediatriz usando régua e
compasso, trace dois cı́rculos de mesmo raio, com centros em A e B e abertura
maior do que m(AB)/2, que se cruzam nos pontos P e Q (figura (4)). A
←→
reta P Q é a mediatriz de AB.
P
A
B
Q
←→
Figura 4: Construção da mediatriz P Q de um segmento AB.
[07] Justifique por que a construção descrita acima produz, de fato, a mediatriz de um segmento AB.
[08] Mostre que a mediatriz de um segmento AB tem a seguinte propriedade
geométrica: ela é o conjunto (lugar geométrico) dos pontos no plano que
eqüidistam dos extremos A e B do segmento.
4
5
A bissetriz
−→
A bissetriz de um ângulo ∠AOB é a semi-reta OC tal que m(∠AOC) =
m(∠COB), isto é, a semi-reta que “divide” o ângulo ∠AOB em dois outros
iguais. Para construir a bissetriz usando régua e compasso, trace um cı́rculo
de centro em O que determina os pontos X e Y nos lados do ângulo ∠AOC
(figura (5)). Em seguida, trace dois cı́rculos de mesmo raio com centros
−→
em X e Y de tal forma que eles se cruzem em ponto C. A semi-reta OC é
a bissetriz do ângulo ∠AOC.
B
C
Y
O
X
A
−→
Figura 5: Construção da bissetriz OC de um ângulo ∠AOB.
[09] Justifique por que a construção descrita acima produz, de fato, a bissetriz de um ângulo ∠AOB.
[10] Mostre que a bissetriz de um ângulo AOB tem a seguinte propriedade
geométrica: ela é o conjunto (lugar geométrico) dos pontos no plano
−→ −−→
que eqüidistam dos lados OA e OB do ângulo.
6
Outros exercı́cios
[11] Mostre como construir, usando régua e compasso, um quadrado a partir
de sua diagonal.
5
[12] Mostre como construir, usando régua e compasso, um quadrado a partir
dos pontos médios de dois lados adjacentes.
[13] Mostre como construir, usando régua e compasso, um cı́rculo circunscrito a um triângulo (figura (6)). Justifique a sua construção!
A
C1
B
C
Figura 6: C1 é o cı́rculo circunscrito ao triângulo ∆ABC.
[14] Mostre como construir, usando régua e compasso, um cı́rculo inscrito a
um triângulo (figura (6)). Justifique a sua construção!
A
C1
C
B
Figura 7: C1 é o cı́rculo inscrito ao triângulo ∆ABC.
6
Texto composto em LATEX2e, HJB, 13/04/2004.
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