Informática no Ensino de Matemática
Prof. José Carlos de Souza Junior
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc
Aula 06 - Desvendando o GeoGebra
PARTE 15 - PROPRIEDADES DE UM OBJETO.
Ao iniciar o GeoGebra, escolha a disposição Geometria.
Veremos como mudar a aparência de um objeto (sua cor, seu tamanho, sua espessura) usando
o Botão Direito do Mouse.
Para tanto, vamos utilizar o arquivo baricentro.ggb, que se encontra na Aula 05, em nossa
página WEB:
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=informatica2013
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Passo 01: Após abrir o arquivo acima, ative a ferramenta Mover.
Passo 02: Coloque o apontador do mouse sobre a mediana CD e, então, clique com o botão
direito do mouse! No menu que aparecerá, basta escolher a opção “Propriedades . . .”
Passo 03: As várias guias (abas) dão acesso às várias propriedades do objeto!
Passo 04: Vamos mudar o estilo da linha da mediana do triângulo para o formato pontilhado!
Para tanto, clique na aba Estilo
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Passo 05: É possı́vel modificar as propriedades de outros objetos mantendo essa janela aberta!
Para isso, basta selecionar o objeto. Por exemplo, clique com o botão esquerdo do mouse sobre
a mediana BF .
Depois, basta mudar o estilo deste objeto para pontilhado! Deixe todas as medianas com a
mesma aparência!
Passo 06: Vamos agora, modificar a aparência do triângulo (polı́gono preenchido). Clique no
interior do triângulo, selecione Propriedades . . .. Depois mude a cor para azul, com um
nı́vel de transparência de 25%.
Resumindo, tudo o que fizemos na aula anterior através da Barra de Estilo, podemos
fazer clicando no objeto com o botão direito do mouse!
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PARTE 16 - A FERRAMENTA MEDIATRIZ.
Veremos como usar a ferramenta Mediatriz do GeoGebra. Lembramos que a mediatriz
associada a dois pontos dados é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes
a estes dois pontos.
Passo 01: Vamos criar dois segmentos de reta e dois pontos arbitrários, conforme a figura a
seguir.
Passo 02: Ative a ferramenta Mediatriz
Passo 03: Com a ferramenta ativada, selecione dois pontos! Por exemplo, clique nos pontos A
e B e também nos pontos E e F . Também podemos encontrar a mediatriz selecionando um
segmento. Por exemplo, clique no segmento CD.
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PARTE 17 - A FERRAMENTA BISSETRIZ.
Veremos como usar a ferramenta Bissetriz do GeoGebra. Lembramos que a bissetriz associada a duas retas concorrentes é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes
a estas duas retas.
Para tanto, vamos utilizar o arquivo bissetriz.ggb, que se encontra na Aula 06, em nossa
página WEB:
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=informatica2013
Passo 01: Selecione a ferramenta Bissetriz.
Passo 02: Com a ferramenta ativada, basta selecionar três pontos (para obter a bissetriz interna). Por exemplo, clique nos pontos C, A, B (o vértice sempre no meio) e nos pontos I, G, H.
Ao selecionarmos duas retas concorrentes, obtemos as bissetrizes interna e externa! Por exemplo, selecione as retas vermelhas.
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ATIVIDADE 01.
Nesta atividade, veremos como construir o incentro e o cı́rculo inscrito de um triângulo!
Lembre-se que o incentro é o ponto de interseção das bissetrizes internas de um triângulo!
Passo 01: Usando a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos, construa um
triângulo como na figura a seguir.
Passo 02: Usando a ferramenta Bissetriz, encontre as bissetrizes internas do triângulo construı́do no passo anterior.
Passo 03: Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e encontre a interseção
das bissetrizes internas. Mude o nome desse ponto para I.
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Passo 04: Selecione a ferramenta Reta Perpendicular e depois clique sobre o segmento
AB e sobre o ponto I.
Passo 05: Novamente, selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e encontre
o ponto que está na perpendicular, criada no passo anterior, e no segmento AB.
Passo 06: Selecione a ferramenta Cı́rculo dados Centro e Um de seus Pontos e
crie um cı́rculo com centro em I, passando pelo ponto D.
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Passo 07: Esconda as construções auxiliares. Sugestão: use a técnica de seleção múltipla. Para
tanto, mantenha a tecla CRTL pressionada e, então clique nos vários objetos a serem escondidos. No último objeto, clique com o botão direito do mouse e selecione Exibir Objeto.
Exiba apenas o triângulo, o cı́rculo e o ponto I.
Passo 08: Manipule os vértices do triângulo.
ATIVIDADE 02.
(Uma falácia clássica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstração errada
para o seguinte teorema falso: “todo triângulo é isósceles”.
(a) Usando somente lápis e papel, tente descobrir qual passo está errado. Anote a sua resposta! O ideal é que você faça os seus próprios desenhos no papel mas, se quiser, use esta
figura aqui:
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(b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra e confirme a sua resposta.
←→
Passo 01: No triângulo ∆ABC, seja O o ponto de interseção da mediatriz F O e do lado
←→
AB com a bissetriz CO do ângulo ∠ACB.
Passo 02: Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao
lado BC, respectivamente.
Passo 03: Os triângulos ∆CEO e ∆CDO são congruentes e, portanto, EO = DO e
EC = DC.
Passo 04: Como AO = BO, o triângulo retângulo ∆AEO é então congruente ao triângulo
retângulo ∆BDO e, assim, AE = BD.
Passo 05: Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triângulo ∆ABC
é isósceles.
ATIVIDADE 03.
(Uma falácia clássica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstração errada
para o seguinte teorema falso: “todo ângulo é reto”. Implemente estes passos no GeoGebra e
descubra qual é o erro da demonstração!
Passo 01: Dado um ângulo α, seja ABCD um quadrado e seja E um ponto com BE = BC e
m(∠EBA) = α. Sejam também R o ponto médio e DE, P o ponto médio de DC, Q o ponto
←→
médio de AB e O a interseção da reta P Q com a mediatriz do segmento DE (veja a figura a
seguir).
←→
Passo 02: Os triângulos ∆AQO e ∆BQO são congruentes, uma vez que OQ é a mediatriz do
segmento AB. Segue-se então que AO = BO.
←→
Passo 03: Os triângulos ∆DRO e ∆ERO são congruentes uma vez que RO é a mediatriz do
segmento DE. Segue-se então que DO = EO.
Passo 04: Agora, DA = BE, pois ABCD é um quadrado e E é o ponto escolhido de tal maneira
que BE = BC.
Passo 05: Desta maneira, os triângulos ∆OAD e ∆OBE são congruentes porque seus lados
possuem o mesmo tamanho.
Passo 06: Segue-se, portanto, que m(α) = m(∠EBA) = m(∠EBO)−m(∠ABO) = m(∠OAD)−
m(∠OAB) = m(∠BAD) = 90o .
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ATIVIDADE 04.
(O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. Construa os pontos A, B e C sobre a reta
←→
r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de interseção das retas AE
←→
←→ ←→
←→
e DB, Q o ponto de interseção das retas AF e DC e R o ponto de interseção das retas BF e
←→
EC:
←→ ←→
←→ ←→
←→ ←→
P = AE ∩ DB, Q = AF ∩ DC e R = BF ∩ EC.
(a) Implemente esta construção no GeoGebra. Os nomes dos pontos e das retas r e s devem
aparecer! Use cores diferentes para realçar as retas que definem os pontos P, Q e R.
(b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geométrico. Observação: um invariante geométrico é uma propriedade geométrica (concorrência, colinearidade, comprimento, medida de ângulo, etc) que permanece constante (invariante!) para
qualquer configuração da construção satisfazendo certas propriedades pré-estabelecidas.
ATIVIDADE 05.
(O teorema de Pascal para o cı́rculo) Seja C um cı́rculo. Construa os pontos A, B, C, D, E
←→ ←→
e F sobre o cı́rculo C. Sejam P o ponto de interseção das retas AE e DB, Q o ponto de
←→ ←→
←→ ←→
interseção das retas AF e DC e R o ponto de interseção das retas BF e EC:
←→ ←→
←→ ←→
←→ ←→
P = AE ∩ DB, Q = AF ∩ DC e R = BF ∩ EC.
(a) Implemente esta construção no GeoGebra. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use
cores diferentes para realçar os vários elementos da construção.
(b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geométrico.
ATIVIDADE 06.
Seja ABCP um quadrado qualquer. Sobre o lado AB construa o triângulo equilátero ∆ABQ
“para dentro” do quadrado e, sobre o lado BC, construa o triângulo equilátero ∆CBR “para
fora” do quadrado. Que propriedade marcante os pontos P, Q e R possuem? Identifique um
invariante geométrico e demonstre-o!
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ATIVIDADE 07.
Nesta atividade veremos como construir uma parábola de foco F e diretriz r.
Lembre-se que a parábola é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes de
F e r.
Passo 01: Usando a ferramenta Reta definida por Dois Pontos, crie uma reta passando pelos pontos A e B. Chame esta reta de r.
Passo 02: Crie um ponto F fora da reta r.
Para construir a parábola, vamos precisar de uma nova categoria de pontos: os pontos
semilivres.
Um ponto semilivre é aquele que é criado sobre um objeto e, devido a este vı́nculo, ele só pode
ser deslocado sobre o objeto.
Passo 03: Ative a ferramenta Novo Ponto e clique sobre a reta r para criar o ponto C
vinculado a esta reta! Mude a cor do ponto C para a cor rosa. Observe que este ponto só pode
ser deslocado sobre a reta r!
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Passo 04: Oculte os pontos A e B.
Vamos agora construir um ponto P que pertence à parábola, isto é, que pertence ao lugar
geométrico dos pontos equidistantes de F e de r!
Passo 05: Selecione a ferramenta Mediatriz e depois, clique sobre os pontos F e C.
Passo 06: Ative a ferramenta Reta Perpendicular e clique sobre a reta r e depois, sobre
o ponto C.
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Passo 07: Selecione a ferramenta Interseção de Dois Pontos e encontre o ponto pertencente à mediatriz e à reta perpendicular. Renomeie o ponto, chamando-o de P .
Passo 08: Oculte a mediatriz e a reta perpendicular.
Vamos agora usar um recurso do GeoGebra que permite rastrear (a posição de) um ponto! Ao
rastrear o ponto P , teremos uma percepção melhor do lugar geométrico!
Passo 09: Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P e selecione a opção Habilitar
Rastro. Depois selecione a opção Mover.
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Passo 10: Clique sobre o ponto C e movimente-o sobre a reta r. Veja o rastro do ponto P !
Passo 11: Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P e desabilite a opção Habilitar
Rastro. Rastros não são permanentes! Basta ampliar (use a roda do mouse) um pouco a
figura que o rastro irá sumir.
Usaremos agora a ferramenta Lugar Geométrico que permite construir o lugar geométrico
como uma curva permanente na construção.
Passo 12: Selecione a ferramenta Lugar Geométrico.
Agora, clique sobre o ponto P do lugar geométrico e, depois, clique sobre o ponto semilivre C,
do qual P depende.
Movimente os pontos C e F !
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ATIVIDADE 08.
Sejam C um cı́rculo de centro O e P um ponto de C. Para cada X em C, considere o ponto
médio M do segmento P X. Qual é o lugar geométrico do ponto M quando X se desloca
sobre o cı́rculo C? Implemente esta construção no GeoGebra, investigue, faça uma conjectura.
Justifique a sua conjectura para o lugar geométrico?
ATIVIDADE 09.
Considere dois cı́rculos C1 e C2 , com C1 contido no interior de C2 . O cı́rculo C1 tem centro no
ponto A e ele passa pelo ponto B. O cı́rculo C2 tem centro no ponto C e ele passa pelo ponto
D. Seja agora X um ponto do cı́rculo C1 . Marque o ponto Y que é a interseção da semirreta
−−→
AX com o cı́rculo C2 . Finalmente, construa o ponto médio M do segmento XY .
(a) Implemente esta construção no GeoGebra. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use
cores diferentes para realçar os vários elementos da construção.
(b) Quais são os pontos livres, semilivres e fixos desta construção?
(c) Rastreie o ponto M quando X se movimenta sobre o cı́rculo C1 . O lugar geométrico
descrito pelo ponto M é um cı́rculo? Justifique a sua resposta!
ATIVIDADE ELETRÔNICA 17.
No artigo “Estudo das cônicas com Geometria Dinâmica”, José Carlos de Souza Junior e Andréa
Cardoso exploram as definições alternativas das cônicas, que facilitam técnicas do Desenho
Geométrico com o auxı́lio do computador. Leia o artigo que está disponı́vel no link “Biblioteca”
na página WEB:
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=informatica2013
Implemente a construção da hipérbole no GeoGebra, salve a construção com o nome
hiperbole.ggb e envie o arquivo para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-17: Hipérbole” como assunto (subject) deste email. Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 12/07/2013 (sexta-feira). Não esqueça de
colocar o seu nome.
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ATIVIDADE ELETRÔNICA 18.
Seja ∆ABC um triângulo qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente,
triângulos equiláteros ∆P AB e ∆RCA “para fora” do triângulo ∆ABC. Sobre o lado BC,
construa o triângulo equilátero ∆QCB “para dentro” do triângulo ∆ABC. Por fim, trace os
segmentos P Q e QR.
(a) Implemente esta construção no GeoGebra. Quais são os pontos livres?
(b) Que propriedade marcante o quadrilátero P QRA possui? Identifique o invariante geométrico
e demonstre-o!
Implemente este enunciado no GeoGebra, salve a construção com o nome aquecimento.ggb
e envie o arquivo para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-18: Invariante Geométrico” como assunto
(subject) deste e-mail. Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 12/07/2013 (sextafeira). Não esqueça de colocar o seu nome.
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