Opções - Avaliação
Prof. Antonio Lopo Martinez
Valores das Opções
• Valor intrínseco - ganho que pode ser
realizado se a opção for exercida
imediatamente:
– Call: preço do ativo - preço de exercício
• S0 - X
– Put: preço de exercício - preço do ativo
• Valor do Tempo: diferença entre o preço
da opção e o seu valor intrínseco.
Valores das Opções
•
a)
b)
•
•
Valor da Opção de Compra:
Preço da ação aumenta
Preço da ação cai
Preço aumenta substancialmente mais
provável exercício da opção.
Desembolso de X no futuro e PV(X) hoje
•
Dessa forma, valor = S0 – PV(X)
Determinantes de Valores de Opções
de Compra
Se Variável Aumentar
Preço da Ação S
Preço de exercício X
Valor da Call
Aumenta
Diminui
Volatilidade
Aumenta
Prazo ate vencimento T
Aumenta
Taxa de juros
Aumenta
Pagamento de dividendos
Diminui
Valores das Opções: Call
Valor da Opção
Valor da Call
Valor Intrínseco
Valor do Tempo
X
Preço da ação
Modelo (árvore)
Binomial
Valor
a
+
b
c
d
V
e
Tempo
0
f
-
g
a
Valor
b
+
c
d
e
f
V
g
Tempo
0
-
Valor
a
+
b
c
d
V
e
Tempo
0
f
-
g
Valor
a
+
b
c
d
V
e
Tempo
0
f
-
g
Modelo Binomial
• f = preço da opção
• S = preço da ação
• Su = preço futuro acima de S, retorno da
opção será fu
• Sd = preço futuro abaixo de S, retorno da
opção será fd
Modelo Binomial
• Não envolve as probabilidades de o preço da
ação subir ou cair.
• Não se está avaliando a opção em termos
absolutos. Estamos calculando em termos do
preço da ação objeto.
• Probabilidades de oscilações ascendentes ou
descendentes futuras já estão incorporadas
no preço da ação.
Modelo Binomial ...
Su  fu
S  f
Sd  fd
f = e-rT [pfu + (1 - p) fd ]
onde: p =
erT - d
u-d
Carteira Sem Risco :
Su  fu  Sd  fd
Retorno da Carteira:
Taxa Livre de Riscos
Modelo Binomial ...
• Variável p = probabilidade de uma
oscilação ascendente no preço da ação
• Variável 1-p = probabilidade de uma
oscilação descendente
• pfu + (1 - p) fd = retorno esperado da
opção
• Dessa forma, valor atual da opção é seu
valor futuro esperado, descontado à
taxa livre de risco.
Modelo Binomial ...
• Delta
fu  fd

Su  Sd
• É a razão de mudança no preço da opção
da ação em relação à mudança no preço
da ação objeto.
• É a quantidade de ações que devemos ter
para cada opção vendida.
Exemplo
• O preço atual da ação é $20
• Em 3 meses (0.25 anos) o preço será
$22 ou $18
• Preço de exercício de uma Call é $21
• Call do tipo européia Preço da Ação=$22
(aumento de 10%)
Preço da Ação=$20
Preço da Ação=$18
(redução de 10%)
Exemplo
Su = 22
ƒu = 1
S
ƒ
Su  Sd

fu  fd
Carteira Sem Risco :
Su  fu  Sd  fd
Sd = 18
ƒd = 0
1-0
22-18
= 0,25
22 x 0,25 – 1 = 18 x 0,25 – 0
4,5 = 4,5
Modelo Binomial ...
Su  fu
S  f
Sd  fd
Carteira Sem Risco :
Su  fu  Sd  fd
Retorno da Carteira:
Taxa Livre de Riscos

Su  fu 
S  f 
1  r T
T
T
f 1  r   S1  r   Su  fu
fu  fd

Su  Sd
f 1  r 
T
fu  fd
fu  fd
T
1  r   Su
S
 fu
Su  Sd
Su  Sd
Modelo Binomial ...
fu  fd
fu  fd
T
1  r   u
f 1  r  
 fu
ud
ud
T
T
T
f 1  r  u  d   fu 1  r   fd 1  r   ufu  ufd  fu u  d 
T

 


 u  u  d 
u  1  r  
 fd

f 1  r  u  d   fu 1  r   u  u  d   fd u  1  r 
T

T
T
1  1  r 
f 
fu
T 
u  d 
1  r  
T
T
u  d 

Modelo Binomial




T
T
u  1  r  
1  1  r   u  u  d 
 fd
fu
f 

T 
u  d  
u  d 
1  r  
T
T
u  1  r  
1  1  r   d
 fd
fu
f 

T 
u  d  
u  d 
1  r  
1
 fu. p  fd .1  p 
f 
T
1  r 



T

1 r  d
p
u  d 
T
T








u  d  1 r  d
1 r  d

1 p  1
u  d 
u  d 

T


u  1 r

u  d 
Modelo Binomial
• O preço atual da ação é $20
• Em 3 meses (0.25 anos) o preço será
$22 ou $18
• Preço de exercício de uma Call é $21
• Call do tipo européia Preço da Ação=$22
(aumento de 10%)
Preço da Ação=$20
Preço da Ação=$18
(redução de 10%)
Exemplo
Su = 22
ƒu = 1
S
ƒ
Sd = 18
ƒd = 0
• Considerando taxa de juros livre de risco =
12% a.a.
• Obtemos p da seguinte forma:
rT
0.120.25
d e
 0. 9
p

 0. 6523
u d
1.1  0. 9
e
Calculando o Valor da Call
Su = 22
ƒu = 1
S
ƒ
Sd = 18
ƒd = 0
O Valor da opção é:
e–0.120.25 [0.65231 + 0.34770] =
0.633
Valor de uma Call
• O preço atual da ação é $50
• Em 2 meses (0.166667 anos) o preço
será $53 ou $48
• Preço de exercício de uma Call é $49
• Call do tipo européia
• Taxa livre de risco = 10%
Exemplo
Su = 53
ƒu = 4
S
ƒ
Sd = 48
ƒd = 0
• Considerando taxa de juros livre de risco = 10% a.a.
• Obtemos p da seguinte forma:
p = erT - d
u-d
e 0,10x0,166667 - 0,96 = 0,5681
1,06 - 0,96
Calculando o Valor da Call
Su = 53
ƒu = 4
S
ƒ
Sd = 48
ƒd = 0
O Valor da opção é:
e–0.100.16667 [0.56814 + 0.43190] = 2,23
Considerando 2
períodos de Tempo
24.2
22
19.8
20
18
16.2
• Cada período é de 3 meses
Calculando o Valor da Call
D
22
20
1.2823
A
B
2.0257
18
24.2
3.2
E
19.8
0.0
C
0.0
F
16.2
0.0
• Valor no ponto B
= e–0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) =
2.0257
• Valor no ponto A
= e–0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) =
1.2823
Exemplo de uma Put
• O preço atual da ação é $50
• Em 1 ano o preço será $60 ou $40
• Preço de exercício da Put é $52
Preço da Ação=$60
(aumento de 20%)
Preço da Ação=$50
Preço da Ação=$40
(redução de 20%)
Exemplo
Su = 60
ƒu = 0
S
ƒ
Sd = 40
ƒd = 12
• Considerando taxa de juros livre de risco =
5% a.a.
• Obtemos p da seguinte forma:
e rT  d e0.051  0.8
p

 0.6282
ud
1.2  0.8
Calculando o Valor da Put
Su = 60
ƒu = 0
S
ƒ
Sd = 40
ƒd = 12
O Valor da opção é:
e–0.05x1 [0.6282x0 + 0.3718x12] = 4,24
Exemplo de uma Put
• Preço de exercício da Put é $52
D
60
50
4.1923
A
B
1.4147
40
72
0
48
4
E
C
9.4636
F
32
20
Exercícios
1)
S0 = $50
ST = $60 ou $42
i = 12%
X = $48
n = 6 meses
Qual valor da Call?
2)
S0 = $80
ST = $75 ou $85
i = 5%
X = $80
n = 4 meses
Qual valor da Put?
Exercícios
3)
S0 = $40
ST = $45 ou $35
i = 8%
X = $40
n = 3 meses
Qual valor da Put?
4)
S0 = $50
ST = + 6% ou – 5%
i = 5%
X = $51
n = dois próximos periodos de 3 meses
Qual valor da Call?
Exercício 1
Su = 60
ƒu = 12
S
ƒ
Sd = 42
ƒd = 0
• Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a.
• Obtemos p da seguinte forma:
p = erT - d
u-d
e 0,12x0,5 - 0,84
1,2 - 0,84
= 0,6161
Calculando o Valor da Call
Su = 60
ƒu = 12
S
ƒ
Sd = 42
ƒd = 0
O Valor da opção é:
e–0.12 x 0.5 [0.6161 x 12 + 0.3839 x 0] = 6,96
Exercício 2
Su = 85
ƒu = 0
S
ƒ
Sd = 75
ƒd = 5
• Considerando taxa de juros livre de risco =
5% a.a.
• Obtemos p da seguinte forma:
e rT  d e0.050,333  0.9375
p

 0.6345
ud
1.0625 0.9375
Calculando o Valor da Put
Su = 85
ƒu = 0
S
ƒ
Sd = 75
ƒd = 5
O Valor da opção é:
e–0.05x0,333 [0.6345x0 + 0.3655x5] = 1,80
Exercício 3
Su = 45
ƒu = 0
S
ƒ
Sd = 35
ƒd = 5
• Considerando taxa de juros livre de risco =
12% a.a.
• Obtemos p da seguinte forma:
e rT  d e0.080, 25  0.875
p

 0.5808
ud
1.125 0.875
Calculando o Valor da Put
Su = 85
ƒu = 0
S
ƒ
Sd = 75
ƒd = 5
O Valor da opção é:
e–0.08 x 0,25 [0.5808x0 + 0.4192 x5] = 2,06
Exercício 4
56,18
53
50,35
50
47,5
45,125
• Cada período é de 3 meses
p = erT - d
u-d
e 0,25x0,05 - 0,95
1,06 - 0,95
= 0,5689
Calculando o Valor da Call
53
50
A
56,18
D
5,18
B
2,91
E
47,5
50,35
0.0
C
0.0
F
45,125
0.0
• Valor no ponto B
= e–0.25 x 005(0.5689x5,18 + 0.4311x0) = 2,91
• Valor no ponto A
= e–0.25 x 005(0.56892,91 + 0.43110) = 1,635
Black-Scholes ...
• Valor intrínseco de uma call = S0 – PV(X)
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T]
(T1/2)
d2 = d1 - (T1/2)
Black-Scholes ...
onde
Co = valor (prêmio) da opção de compra
So = preço atual do ativo-objeto
N(d) = probabilidade que um elemento retirado
aleatoriamente de uma distribuição normal
seja inferior a d.
Podemos pensar que N(d) = probabilidades
ajustadas pelo risco de que a opção de
compra irá vencer “in the money”
0 < N(d) <1,0
Black-Scholes ...
N(d) -> quanto mais próximo de 1,0, maior
a probabilidade da opção ser exercida e,
consequentemente, maior seu valor.
N(d) -> quanto mais próximo de 0, menor a
probabilidade da opção ser exercida e,
consequentemente, menor seu valor.
Black-Scholes
X = preço de exercício
e = 2.71828, a base do logaritmo natural
r = taxa de juros livre de risco (anualizada e
composta continuamente)
T = prazo de vencimento da opção em anos
ln = função logaritmo natural
desvio padrão anualizado da taxa de
retorno do ativo-objeto
Calculando N(d)
1  Z ( x)(a1k  a2 k  a3k ) se x  0
N ( x)  
1  N ( x) se x0
2
3
 x2
1
1
k
Z ( x) 
e 2
1   .x
2
a1  0,4361836a2  0,1201676
a3  0,9372980  0,33267
Exemplo de uma Call
So = R$100
X = R$95
r = 0,10
T = 0,25 (trimestre)
= 0,50
d1 = [ln(100/95)+(0.10+(052/2)).0.25]/(05 .251/2)
= 0.43
d2 = 0.43 - ((5.251/2)
= 0.18
N (0.43)* = 0.666; e N (0.18)* = 0.571
*Tabela de distribuição normal cumulativa
Valor da Call
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
Co = 100 X .666 - 95 e- (.10 x .25) X .571
Co = 13.70
Exemplo 2
So = R$52
X = R$50
r = 12%
T = 0,25 (trimestre)
= 0,30
Exemplo 2
d1 = [ln(52/50)+(0.12+(032/2)).0.25]
(0,3 x .251/2)
= 0.5365
d2 = 0.5365 - ((03.251/2)
= 0.3865
N (0.5365) = 0,7042;
e N (0.3865) = 0,6504
Valor da Call
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
Co = 52 X 0,7042 - 50 e- (.12 x .25) X 0,6504
Co = 5,06
Opções - Paridade Put-Call
(sem dividendos)
• Investidor:
– compra opção de compra
– lança opção de venda
– Ambas com mesmo X e T
• No vencimento podem ocorrer:
Pagamento call comprada
Pagamento put lançada
Total
ST < X
0
-(ST – X)
ST - X
ST > X
ST - X
0
ST – X
Opções - Paridade Put-Call
(sem dividendos)
• Considere as duas carteiras seguintes:
– Carteira A: uma call européia + valor
presente do preço de exercício em dinheiro
– Carteira B: uma put européia + o ativoobjeto
• Ambas valem Máximo(ST , X ) no vencimento
das opções. Logo elas devem possuir o
mesmo valor hoje:
C - P = S0 - X(1+rf)T
• Desigualdade = Oportunidade de arbitragem
Opções - Paridade Put-Call
(sem dividendos)
Carteira 1
Carteira 2
Preço do ativo
objeto na data
de vencimento
P + S0
C + Xe -rT
ST < X
(X-ST)+ST
=X
( 0 )+X
=X
ST > X
( 0 )+ST
= ST
(ST -X)+X
= ST
Oportunidade de Arbitragem
•
•
•
•
•
Preço da Ação:
$110
Preço da Opção de Compra (n=6, X = $105)
$ 17
Preço da Opção de Venda (n=6, X = $105)
$ 5
Taxa anual de juros livre de risco (efetiva)10,25%
Juros no período (6 meses)
5%
C - P = S0 - X(1+rf)T
17 - 5 = 110 - 105/1,05
12

10
Opções - Paridade Put-Call
Arbitragem (1)
12  10
Compre a de menor preço e venda a de maior !
•Compra ações por $110
•Tomar emprestado X (1+rf)T = $100
•Compre P por $5
• Venda C por $17
• Lucro imediato de $2
Qual o valor desta operação na
data de vencimento?
Opções - Paridade Put-Call
Arbitragem (1)
Posição
Fluxo em 6 meses
Imediato ST < X
ST > X
Comprar ações
- 110
ST
ST
Tomar emprestado
+ 100
-105
-105
Vender call
+ 17
0
-(ST –105)
-5
105 - ST
0
2
0
0
Comprar put
Total
Usando a Paridade Put-Call
para Obter o Valor da Put
P = C + PV (X) - So
= C + Xe-rT - So
Exemplo (continuação):
C = 13.70
X = 95 S = 100
r = .10
T = .25
P = 13.70 + 95 e -(.10 x .25) - 100
P = 6.35
Fatores que influenciam o
valor das Opções: Call
Fator
Efeito no Valor
Preço do ativo
aumenta
Preço de exercício
diminui
Volatilidade do ativo
aumenta
Prazo de vencimento
aumenta
Taxa de juros livre de riscoaumenta
Taxa de dividendos pagos
diminui
Valor da Opção x Taxa de Juros
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
0.0%
5.0%
Parâmetros
(volatiliade)
T (em anos)
X
So
0.25
4
100
100
10.0%
Call
15.0%
Put
20.0%
25.0%
Valor da Opção x Prazo de Vencimento
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
0.5
Parâmetros
(volatiliade)
r (anual)
X
So
1
0.25
5.0%
100
100
1.5
Call
Put
2
2.5
Valor da Opção x Volatilidade
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
0.5
Parâmetros
T (em anos)
r (anual)
X
So
1
4
5.0%
100
100
1.5
Call
Put
2
2.5
Valor da Opção x Preço de Exercício
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
50
100
150
-20.00
Parâmetros
T (em anos)
r (anual)
(volatiliade)
So
4
5.0%
0.25
100
Call
Put
200
250
Valor da Opção x Preço do Ativo-objeto
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
-20.00 0
Parâmetros
T (em anos)
r (anual)
(volatiliade)
X
50
4
5.0%
0.25
100
150
100
Call
Put
200
250
Portfolio Insurance
Protegendo a Carteira
Protective Put
Carteira
Lucro
X
Lucro
Opção de Venda
+
Lucro
X
X
Problemas de Implementação
• Encontrar no mercado as Puts sobre
o ativo-objeto (carteira);
• Aproximações “inadequadas” do
ativo-objeto, como uma carteira de
mercado (ex. IBOVESPA, S&P500,
DAX, CAC40, Strait Times, Hang
Seng, FTSE, etc.);
• Prazo de vencimento das Puts x
Prazo da Proteção (insurance).
Como solucionar os problemas acima?
A Protective Put Sintética
• Considerando uma carteira de $ Z
milhões:
– calcula-se o “delta” de uma Put teórica, que
possui as características desejadas para a
proteção;
– vende-se uma proporção da carteira
equivalente ao “delta” da opção (Put);
– investe-se o valor resultante da venda de parte
da carteira em títulos de renda livre de riscos.
• Falha desta estratégia: o “delta” muda
com o preço das ações. Daí implementase uma versão dinâmica (dynamic
hedging).
Calculando o Delta de uma Put
• Árvore
MáxX  S .u;0 MáxX  S .d ;0
Binomial:  
S .u  d 
• Black & Scholes:   N d1   1


2
S0 


ln
.T
 r 
X
2


d1 
 T
• Carteira:
N
   wi . i
i 1
Protective Put Sintética Exemplo
• Valor atual da carteira (S) = $ 100 milhões
• Prazo do programa de proteção (T) = 4
anos
• Retorno mínimo = 0% (Preço de exercício
da Put (X) = Valor atual da carteira)
• Volatilidade (desvio padrão, ) = 25% a.a.
• Taxa de juros livre de riscos (r) = 5% a.a.
• Carteira não paga dividendos ou
dividendos são reinvestidos
Delta


2

ln 100
  0,05  0,25
100 
2
d1 
0,25 4
.4

  0,65
  N 0,65  1  0,742 1  0,258
Protective Put Sintética Exemplo
• Valor a ser investido em títulos livres
de risco =  . S = 0,258x100 = $25,8
milhões
• Valor da carteira a ser mantido em
ações = $100 - $25,8 = $74,2 milhões
Protective Put Sintética Exemplo
Carteira e Protective Put existente no Mercado
A. Valor atual da carteira - Ações
100,000,000
B. Valor atual da carteira - Títulos livre de riscos
0
C. Queda no valor (A x 20%)
-20,000,000
D. Delta da Put
-0.258
E. Aumento no valor Put (C x D)
5,156,921
F. Variação Total da carteira (C + E)
-14,843,079
Valor Total da Carteira (A + B + F)
85,156,921
Carteira e Protective Put Sintética
A. Valor atual da carteira - Ações
B. Valor atual da carteira - Títulos livre de riscos
C. Queda no valor (A x 20%)
D. Queda/Aumento Títulos livre de riscos
E. Variação da carteira (C + D)
Valor Total da Carteira (A + B + F)
74,215,396
25,784,604
-14,843,079
0
-14,843,079
85,156,921
Protective Put Sintética - Exemplo
Data D-1
Parâmetros
(volatiliade)
r (anual)
T (em anos)
X
So
d1
d2
N(d1)
N(d2)
Valor Call
Valor Put
Data D
0.25
0.05
4
100
100
0.650
0.150
0.742
0.560
28.40
10.27
Carteira e Protective Put Sintética
Valor atual da carteira
100,000,000
Delta da Put
-0.258
Ações
74,215,396
Títulos livre de riscos
25,784,604
Parâmetros
(volatiliade)
0.25
r (anual)
0.05
T (em anos)
3.996
X
100
So
85.16
d1
0.328
d2
-0.172
N(d1)
0.629
N(d2)
0.432
Valor Call
18.16
Valor Put
14.90
Carteira e Protective Put Sintética
Valor atual da carteira
85,156,921
Delta da Put
-0.371
Ações
53,530,320
Títulos livre de riscos
31,626,601
O que acontece se todo mercado utilizar o delta-hedging?
Protective Put Sintética Exemplo II
• Suponhamos que daqui a 4 anos o valor da
carteira pode aumentar 65% ou cair 39%. Qual
o valor de uma Put lançada sobre a carteira?
f  Put  MáxX  S ;0; S  100; X  100
T  4; r  5%a.a.; u  1,65; d  0,61
fu  Su  B1  r 
f  S  B.1
f d  Sd  B1  r 
Protective Put Sintética Exemplo II
Máx100100.1,65;0  100.1,65.  B1  0,05
4
f  100.  B.1
Máx100100.0,61  100.0,61.  B1  0,05
4
165.  1,22.B  0
61.  1,22.B  39
  0,375
B  50,72
f  100.  B.1  100. 0,375  50,72.1  13,22
Black & Scholes :   -0,258 e Put  10,27
Estabelecendo a Proteção
S  Valor da Carteira
Put  S.  B
Acrescentando a Put a Carteira S :
S  Put  S  S.  B
S  S 1     B - Put ou  S 1     B - S. - B 
S  1001  0,375  50,72  13,22
S  62,50  37,50  100
Ações Bonds
Opções - Referências
• Essentials of Investments; Bodie,
Kane and Marcus, 3rd ed.
• Options, Futures, and Other
Derivatives; Hull, 4th ed.
• Paul Wilmott on Quantitative
Finance; Wilmott, 1st ed.
• Real Options; Antikarov and
Copeland, 1st ed.