LOM3090 – Mecânica dos Sólidos Aplicada
Prof. Dr. João Paulo Pascon
DEMAR / EEL / USP
Ementa (Júpiter)
• 1. Torção em Barras de Seção Circular
• 2. Flexão em Vigas de Seção Simétrica
P1: 24/09
• 3. Extensometria Aplicada
• 4. Critérios de Falha
• 5. Introdução à Teoria da Elasticidade
• Prova de recuperação (REC): 17/12
P2: 03/12
Aula de hoje
• 4. Critérios de Falha
– 4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
– 4.2. Tensões Principais e Invariantes
– 4.3. Tensões Octaédricas
– 4.4. Critérios de Fratura para Materiais Frágeis
– 4.5. Critério de Tresca
– 4.6. Critério de Von Mises
– 4.7. Componentes Hidrostático e Desviador
4. Critérios de Falha
• Critérios simples
• Tensão no caso geral
• Tipos de “falhas”:
– Fratura ou rompimento (colapso)
– Plastificação
• Curva tensão-deformação
– Materiais dúcteis
– Materiais frágeis
4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
• Estado Plano de Tensão (EPT)
– Definição das componentes e rotação do plano xy
– Relações geométricas e equilíbrio de forças
– Equações de transformação
4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
• Estado de Tensão 3D (Geral)
– Definição das componentes
– Rotação no espaço (plano oblíquo)
– Relações geométricas
– Equilíbrio de forças
– Equações de transformação
• Componentes
Exemplo 4.1. Estado de Tensão 3D
• O estado de tensão num ponto é definido pelas seguintes componentes:
– σx = 200; σy = 400; σz = -100; τxy = -100; τxz = 300; τyz = 0.
• Para um plano cujo vetor normal é n = {2,2,1}, determinar as seguintes
tensões:
– componentes de tensão em relação aos eixos x, y e z
– tensão normal no plano
– tensão total no plano
– tensão cisalhante no plano
x  x  xy y  xz z 
 t nx 


 
t N   t ny   σ   n  xy x   y y   yz z 
 


t








 nz 
z z
 xz x yz y
Exemplo 4.2. Estado de Tensão 3D
• Se a barra abaixo possui diâmetro de 10 mm, determinar o estado 3D de
tensão seção A, nos seguintes pontos:
– x = 5 mm, z = 0
– x = 0, z = 5 mm
4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
• Estado Rotacionado
x  x  xy y  xz z 
 t nx 


 
t N   t ny   σ   n  xy x   y y   yz z 
 










 t nz 
xz
x
yz
y
z
z


4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial






x '  t x '  n x '  x  x  xy  y  xz  z  x  xy x   y y   yz  z  y   xz x   yz y   z z  z












x ' y '  t x '  n y '  x  x  xy y  xz  z  x  xy x   y y   yz z  y   xz x   yz y   z z  z


x 'z '  t x '  nz '  x  x  xy  y  xz  z x  xy x   y y   yz  z  y   xz  x   yz  y  z z z




 y ' x '  t y '  n x '  x  x  xy y  xz  z  x  xy x   y y   yz z  y   xz x   yz y  z z  z



 

 y 'z '  t y '  nz '   x  x  xy  y  xz  z  x   xy  x   y y   yz  z   y   xz  x   yz  y  z  z  z
 y '  t y '  n y '  x  x  xy y  xz  z  x  xy x   y y   yz  z  y  xz  x   yz  y  z  z  z

 
 

z ' y '  t z '  n y '   xx  xy y  xzz   x   xyx   y y   yzz   y    xz x   yz y  zz   z
z ' x '  t z '  n x '  xx  xyy  xzz  x  xyx   y y   yzz  y   xzx   yz y  zz  z






z '  t z '  nz '  xx  xy y  xzz x  xyx   y y   yzz  y   xzx   yz y  zz z
Exemplo 4.3. Estado de Tensão 3D
• O estado de tensão num ponto é definido pelas seguintes componentes:
– σx = 1000; σy = -600; σz = 400; τxy = 800; τxz = τyz = 0.
• O sistema de coordenadas (x,y,z) é modificado para (x’,y’,z’), sendo que o
eixo z’ coincide com o eixo z, e o plano xy é rotacionado no sentido antihorário em 30º. Para o novo sistema, determinar as componentes de tensão.
Tópicos da aula de hoje
• Transformação de tensão no caso 3D
• Material 4 – Critérios de Falha
– 4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
Próxima aula
• 4. Critérios de Falha
– 4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
– 4.2. Tensões Principais e Invariantes
– 4.3. Tensões Octaédricas
– 4.4. Critérios de Fratura para Materiais Frágeis
– 4.5. Critério de Tresca
– 4.6. Critério de Von Mises
– 4.7. Componentes Hidrostático e Desviador