3. Comportamento mecânico dos materiais Resumo dos Capítulos 3-4: O MC exibe devido às solicitações: , , u Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes 6 Equações deformações - deslocamento 3 Equações de equilíbrio u f 0 T A ligação que falta são as equações que relacionam e Equações constitutivas (6): é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC Ensaio uniaxial E=tgα α análise geometricamente linear Limite de linearidade análise fisicamente linear Análise linear 1. Definição de constantes elásticas Módulo de Young declive inicial do gráfico tensão - deformação módulo de elasticidade: E = tgα unidade: Pa, GPa=109Pa Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos de tensão e de deformação E tangente inicial E tangente E secante inicial E secante Thomas Young (1773-1829) Efeito de Poisson Lei de Hooke b E L h Robert Hooke (1635-1703) F h z L h x L L h x z L h z x Siméon-Denis Poisson (1781-1840) Δh: variação da altura < 0 ΔL: variação do comprimento > 0 : coeficiente ou número de Poisson (sem unidade) extensão na direcção transversal à força aplicada razão negativa extensão na direcção da força aplicada y F u Assume-se distribuição uniforme b L h h x Módulo de distorção, Módulo de corte (GPa) Módulo de volume (“bulk”) K (GPa) xy u h xy F Lb xy G xy 1 V 3 m m K E, , G, K: constantes elásticas do material 2. Definições ligadas ao comportamento do material Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço) Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço) Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos 3. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear Duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material, habitualmente usam-se E e ν y z x x Carga na direcção de x G E 21 K E 0 31 2 1;1 / 2 Valor negativo obtém-se em materiais não-homogéneos Condição necessária e suficiente de isotropia Comportamento linear Consequência da lei constitutiva 1/ 2 Lei de Hook generalizada C D D C 1 incompressível [C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6,6) [C]: matriz de rigidez de material [D]: matriz de flexibilidade de material Indiferentes do referencial Direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem D1 D 0 0 D C 0 C 0 C 2 1 1 D1 1 E 1 1 0 0 1 D2 0 1 0 G 0 0 1 1 2 1 E 1 C1 1 1 2 1 1 0 0 C2 G 0 1 0 0 0 1 4. Estados planos Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z” a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos Tensão plana z 0, xz 0, yz 0 Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa (2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões) x 1/ E / E / E 0 0 0 x D red 1 0 0 0 y y / E 1 / E / E z / E / E 1 / E 0 0 0 0 0 0 1/ G 0 0 0 yz 0 xz 0 0 0 0 1/ G 0 0 red 0 0 0 0 1 / G xy D 2 xy 0 D red Apenas índices x, y e xy xz yz 0 x y (invariante) z x y E 1 D D red 1 1 red 1 E 1 1 2 1 Deformação plana z 0, xz 0, yz 0 Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens C C red red 1 xz yz 0 E x y x y z 1 1 2 2 1 1 red 1 C1 E 1 (invariante) Estados planos não correspondem um a outro !!! 1 1 5. Materiais ortotrópicos Existem 3 direcções ortogonais de ortotropia para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia 1 Ex xy D1 Ex xz E x yx Ey 1 Ey yz Ey zx Ez zy Ez 1 E z 1 G yz D 2 0 0 0 1 G xz 0 0 0 1 G xy De simetria xy y x Ex Ey jj ij i j ii Carga na direcção i -matriz de rigidez pela inversão -ambas sempre positivamente definidas, ou seja com determinante maior que zero direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação 6. Outras designações para comportamento dos MC mais geral Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes E tangente inicial Et E secante inicial Es descarga linear descarga linear p e elástica plástica, permanente p e elástica plástica, permanente Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas Tensão de cedência: transição entre o comportamento reversível e irreversível incompressibilidade após Y enfraquecimento, endurecimento amaciamento plasticidade Mais rígido após a cedência perfeita Menos rígido após a cedência Y Y Y Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência Modelos para o cálculo Y Y ,1 Y , 0 Y C. rígido perfeitamente plástico C. elasto-perfeitamente plástico C. elasto-plástico com endurecimento