Roteiro e figuras do curso
Caos em Sistemas
Hamiltonianos
Raúl O. Vallejos
Plano do Curso
Introdução
Sistemas
Dinâmicos
Os sistemas hamiltonianos pertencem à classe mais
ampla dos Sistemas Dinâmicos.
Um sistema dinâmico é definido por duas condicões:
a) o estado do sistema em um dado instante está
completamente determinado pelos valores de
N variáveis x ,, x
1
N
b) a evolução do sistema está governada por um
conjunto de N equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
 dx1
 dt  f1 ( x1 ,, xN )

ou
 
 dx
 N  f N ( x1 ,, xN )
 dt
dX
 F(X )
dt
Exemplo: o sistema
de Lorentz
dx1
  x1   x2
dt
dx2
  x1 x3  r x1  x2
dt
dx3
 x1 x2  b x3
dt
(  10, b  8 / 3, r  28)
Figura extraída de:
http://www.curvuspro.ch/english/curvuspro/gallery/3dgallery.html
Veja animação em:
http://www.exploratorium.edu/complexity/java/lorenz.html
Espaço de
fases
O espaço de N dimensões com os x1,, xN
como coordenadas é chamado “espaço de fases”.
O estado do sistema é representado por um ponto neste
espaço.
O ponto representativo X se movimenta com velocidade
F, descrevendo uma curva chamada trajetória ou órbita,
tangente em cada ponto ao campo de velocidades F.
Integrais do
movimento
Uma integral de um sistema dinâmico é uma
funçao I ( x , x cujo
valor é constante ao longo de
1
N)
uma trajetória qualquer. Isto é:
0
dI I
I

f1   
f N  I  F
dt x1
xN
As integrais (ou constantes) de movimento permitem
reduzir a ordem de um sistema dinâmico.
Seções e mapas de Poincaré
Se o nosso interesse for entender o comportamento
assintótico de uma trajetória, no será necessário seguir
sua evolução com grande detalhe. Bastará olharmos para
ela em certos instantes de tempo. Por exemplo, podemos
registrar apenas as interseções da trajetória com uma
superfície de referência. No caso de um espaço de fases
tridimensional:

Y0
Temos assim um mapa
Poincaré:
Y1
Y2
G :  ,chamado mapa de
Yi1  G(Yi ),    i  
As propriedades essenciais do sistema de equações
diferencias se verão refletidas nas propriedades do mapa
G. Por exemplo, uma trajetória periódica do sistema
diferencial se corresponde com um conjunto de
pontos periódicos de G; se a trajetória for instável, os
pontos periódicos também o serão.
Pontos fixos
Um ponto fixo é um ponto

Yque
satisfaz a equação
Y   G(Y  )
Os pontos pixos jogam um papel muito importante porque
forçam uma estrutura definida de órbitas na sua
vizinhança. Vejamos: se Y  Y  ,Uentão
Ui1  M Ui
onde M é a matriz jacobiana de G:
 dG 
M  
 dY Y Y 
A dinâmica em torno de Y é determinada pelos
autovalores e autovetores de M.
Ciclos, Variedades
invariantes
Um ciclo é uma seqüência de pontos
tais que
Y0 ,,Yn1
Y1  GY0 ,,Yn1  GYn2 ,Y0  GYn1 
Com outras palavras, um ciclo é uma trajetória
periódica.
A variedade estável de um ponto fixo Y é* o conjunto
de pontos Y0 tais que a trajetória que passa por
Y0
*
tende a Y quando t  
.
A variedade instável tem uma definição análoga: é o
conjunto de pontos que tendem ao ponto fixo quando
t  .
Variedades estáveis e instáveis são às vezes chamadas
separatrizes.
Sistemas hamiltonianos
Un sistema hamiltoniano é caracterizado, em primeiro
lugar, por um número par de dimensões: N=2n.
O número n é o número de graus de liberdade.
As 2n variáveis são chamadas tradicionalmente:
q1,, qn , p1,, pn
O sistema é definido completamente por uma função
das 2n variáveis, chamada “hamiltoniano”:
H (q1,, qn , p1,, pn )
As equações de evolução
são
dqi H

,
dt pi
dpi
H

dt
qi
Os mapas de Poincaré
hamiltonianos
possuem a propriedade
simplética.
Órbitas periódicas, estabilidade
V

V

V2
V1
V2

V1
Exemplo:
dinâmica linear em torno
de um ponto fixo de um
mapa de Poincaré de um
sistema com 2 graus de
liberdade. Três casos:
um par de autovalores
complexos conjugados e
de módulo unitário (ponto
fixo elíptico), dois
autovalores reais e
positivos (ponto fixo
hiperbólico), reais e
negativos (hiperbólico
com reflexão). As retas
representam os
autovetores V1 ,V2.
Sistemas Integráveis
Podemos tentar simplificar um sistema hamiltoniano
fazendo uma mudança de variáveis apropriada. Se as
novas coordenadas Q ,, Q , P ,, P
1
n
1
n
são tais que as equações de movimento podem ser
derivadas de um novo hamiltoniano
H (Q1,, Qn , P1,, Pn )
a transformação de coordenadas é chamada canônica.
O caso ideal é quando o novo H não depende das Qi
Nestas condições as equações de movimento
ficam
Pi (t )  Ci , Qi (t )  it  Di
Assim obtemos a solução geral em forma explícita.
As “ações” P são constantes do movimento. Um
sistema hamiltoniano pode ser resolvido completamente
se conhecemos n=N/2 integrais.
Exemplo

m1 , k1
m2 ,k2
mn , kn
Toros e
trajetórias
Para um sistema recorrente as coordenadas Q devem
ser cíclicas, i.e., representam ângulos. No caso de um
sistema com n graus de liberdade, as trajetórias ficam
restritas a toros n-dimensionais. Elas são periódicas ou,
quase-periódicas. Quando não existem relações de
comensurabilidade as trajetórias preenchem densamente
os toros respectivos.
Secão de Poincaré, números de rotação
O espaço de fases de um sistema hamiltoniano
integrável está organizado em toros n-dimensionais.
Quando cortarmos o espaço de fases com uma seção
de Poincaré veremos que as trajetórias (agora discretas)
ficam em toros de dimensão n-1. Cada um destes toros
é caracterizado por um conjunto de números de rotação.
Um grau de liberdade
Este caso é sempre
integrável.
Dois graus de
liberdade
Em geral as equações de
movimento não podem ser
resolvidas em forma explícita;
só existe uma constante
de movimento: o próprio
hamiltoniano.
E=0.0833
Exemplo 1:
Potencial triangular
H ( x, y, px , p y )  12 ( px2  p y2 ) 
1
2
( x 2  y 2  2 x 2 y  23 y 3 )
E=0.125
A figura mostra três seções de
Poincaré, definidas pelas
condições E=constante e x=0.
Para a energia mais baixa o
espaço de fases parece estar
organizado em toros. Conforme
aumentamos a energia, os toros
vão sendo destruídos e
substituidos por regiones caóticas.
E=0.16667
Exemplo 2: o mapa quadrático
2

 x'  x cosα  y sinα  x sinα

2

y
'

x
sin
α

y
cos
α

x
cosα

cos α  0.24
Trajetórias
do mapa
quadrático.
Organização hierárquica das ilhas
Detalhe da
figura anterior
O teorema KAM
Consideremos um mapa bidimensional associado a um
sistema integrável. Por cada ponto do espaço de fases passa
uma curva invariante. O que acontece com as curvas invariantes
quando perturbamos (fracamente) o sistema? O teorema KAM
afirma as curvas “suficientemente irracionais” sobrevivem.
O teorema de Poincaré-Birkhoff
E que acontece nas regiões do espaço de fases onde os toros
são destruídos?
Os toros racionais são substituídos por cadeias de pontos fixos,
alternativamente elípticos e hiperbólicos.
Em torno dos pontos fixos elípticos podemos aplicar de novo o
teorema KAM e o teorema de Poincaré-Birkhoff. Isto nos leva a
uma estrutura autosimilar em todas as escalas (ou fractal).
Regiões caóticas, interseções homoclínicas,
ferraduras
Variedades estável
(vermelho) e instável
(amarelo) do ponto fixo
hiperbólico (azul) do
mapa quadrático de
Hénon.
Caos e Fractais
Conjunto de Cantor dos terços.
http://personal.bgsu.edu/~carother/cantor/Cantor2.html
Um conjunto de Mandelbrot.
http://www.curvuspro.ch/english/curvuspro/
gallery/2dgallery.html
O mapa da ferradura de Smale. O mecanismo de esticamento e dobra gera chaos
no tempo e estruturas fractais no espaco de fases.
http://zebu.uoregon.edu/~js/21st_century_science/readings/Parker_Chap5.html
Quantificando o caos
Expoentes de Lyapunov, sensibilidade às
condições iniciais, entropias
Caos, entropia e
a segunda lei da
Termodinâmica
A evolução hamiltoniana tranforma uma região simples num fractal. A entropia
aumenta quando “suavizamos” o fractal.
http://necsi.org/faculty/baranger.html (M. Baranger, “Chaos, complexity and
entropy”)
Controle do caos
Seqüência de manobras que levaram o ISEE-3/ICE, primeiro até o
ponto L1/Terra-Sol, e mais tarde até os locais de observação dos
cometas Giacobini-Zinner e Halley.
(http://guinan.gsfc.nasa.gov/Images/misc_missions/isee3_traj.gif)