O que você deve saber sobre
POLIEDROS
O conhecimento sobre os sólidos geométricos é bastante aplicado na
indústria, na engenharia e na arquitetura. Além disso, são utilizados
com muita frequência por artistas contemporâneos na produção de
suas obras.
I. Figuras geométricas
• Linha: objeto matemático com apenas uma dimensão, caracterizando
um comprimento ao qual podemos associar um número real, que é sua
medida de comprimento.
• Superfície: objeto matemático com duas dimensões, caracterizando
uma área à qual podemos associar um número real, que é sua medida
de área. Uma superfície pode ser plana ou não plana.
• Sólido: objeto matemático com três dimensões, caracterizando um
volume ao qual podemos associar um número real, que é sua medida
de volume.
POLIEDROS
I. Figuras geométricas
Podemos separar as figuras espaciais em dois grandes grupos.
Para distingui-los, é preciso cortá-los:
• poliedros: fornecem apenas superfícies poligonais;
• corpos redondos: fornecem uma secção não poligonal curva.
Poliedro
POLIEDROS
Região
do corte
Corpo
Redondo
Região
do corte
II. Definição, elementos e classificação
• Faces: superfícies que delimitam o espaço, formando o sólido;
• Arestas: os lados comuns de duas faces;
• Vértices: os pontos comuns a três ou mais arestas.
Face
Aresta
Vértice
POLIEDROS
II. Definição, elementos e classificação
Poliedro
convexo
POLIEDROS
Poliedro
não convexo
ou côncavo
III. Relação de Euler
Em todo poliedro convexo, a relação entre o número de faces F,
o número de arestas A e o número de vértices V é sempre:
POLIEDROS
IV. Poliedros regulares
 São convexos;
• Todas as suas faces
têm o mesmo número
de arestas;
• De cada vértice
parte o mesmo
numero de arestas;
• As faces são
polígonos regulares.
Tetraedro
regular
Hexaedro
regular (cubo)
Dodecaedro
regular
Icosaedro
regular
Representação das cinco classes de poliedros regulares
POLIEDROS
Octaedro
regular
V. Prismas
• Bases: as superfícies poligonais convexas P e P’ contidas nos planos
 e , respectivamente
• Faces laterais: as demais superfícies (quadriláteros) que formam
o prisma.
• Arestas laterais: pertencem somente às faces laterais, como CC’.
• Arestas das bases: pertencem exclusivamente a uma das bases,
como BC.
• Altura: a distância h entre os planos  e 
POLIEDROS
V. Prismas
a) Classificação
• Oblíquo: a reta r é perpendicular aos planos  e .
 Reto: a reta r não é perpendicular aos planos  e .
• Regular: os polígonos que delimitam as bases são regulares.
De acordo com o polígono que delimita sua base, os polígonos podem
ser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc.
b) Área da superfície
• Área da base (Abase): é a área de uma face que é base
• Área lateral (Alateral): é a soma das áreas das faces laterais
• Área total (Atotal): é a soma da área lateral com a área das duas bases:
c) Volume do prisma
Medida da porção do
espaço que ele ocupa.
POLIEDROS
VI. Pirâmides
• Vértice: o ponto V
• Base: o polígono S
• Arestas da base: os
lados do polígono S
• Faces laterais: os
demais polígonos
(triângulos) que
delimitam
a pirâmide
• Arestas laterais: os
segmentos com uma
das extremidades
nos vértices da base
• Altura: a distância h, do vértice até o plano que contém a base
POLIEDROS
VI. Pirâmides
a) Classificação
• Retas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano  coincide
com o centro da base.
• Oblíquas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano  não
coincide com o centro da base.
• Regulares: a base é um polígono regular.
As pirâmides também recebem uma nomenclatura de acordo
com o polígono da base, podendo ser triangulares,
quadrangulares, pentagonais etc.
POLIEDROS
VI. Pirâmides
b) Pirâmides regulares
• Apótema da pirâmide (g): a
altura de qualquer um dos
triângulos que formam as faces
laterais. Eles são sempre isósceles,
eventualmente equiláteros.
• Apótema da base (m): o raio
da circunferência inscrita
no polígono da base
• Raio da base (r): o raio da
circunferência circunscrita
ao polígono da base
Pirâmide regular hexagonal de altura h,
arestas laterais a e arestas da base 
POLIEDROS
VI. Pirâmides
c) Área da superfície
• Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma
a base
• Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais
(superfícies triangulares)
• Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base
d) Volume da pirâmide
POLIEDROS
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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(UEL-PR)
Observe a figura. Sobre o armazenamento de mel em colmeias,
tem-se que o volume V de cada alvéolo, considerado como
prisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da base iguais
a  é dado por:
RESPOSTA: E
POLIEDROS − NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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(UFRGS-RS)
A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides
triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1. O sólido obtido
após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir.
O volume do sólido obtido é:
a) 198.
RESPOSTA: A
b) 204.
c) 208.
d) 212.
e) 216.
POLIEDROS − NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
7
(UFPE)
Uma fábrica de embalagens confecciona caixas na forma de paralelepípedos reto-retângulos com base quadrada.
Pretende-se confeccionar caixas com volume 19% menor que o das anteriores, mantendo-se a mesma altura
da embalagem e diminuindo-se o lado da base quadrada.
Em qual percentual se deve reduzir o lado da base?
RESPOSTA:
POLIEDROS − NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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(UFPB)
Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura
H = 6 3 cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado.
Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que
o custo para a sua produção, por cm2, é de
R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é:
(Dado: considere
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
3
= 1,7)
12,30.
13,60.
8,16.
15,20.
17,30.
RESPOSTA: B
POLIEDROS − NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
15
(UFRGS-RS)
Na figura ao lado, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos
médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.
Se a aresta desse tetraedro mede 10,
então a área do quadrilátero ABCD é:
a) 25.
b) 25 3.
c) 75.
d) 50 3 .
e) 100.
RESPOSTA: A
POLIEDROS − NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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(UFU-MG)
Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios
das arestas a que pertencem.
Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H.
RESPOSTA:
POLIEDROS − NO VESTIBULAR