Geometria
Espacial
Parte 1
Cursinho Popular Paulo Freire
Jaquicele Ap. da CostaGraduanda em Matemática- UFV
E-mail:[email protected]
Reflexão
“Tenha em mente que tudo que você aprende na
escola é trabalho de muitas gerações. Receba
essa herança, honre-a, acrescente a ela e, um
dia, fielmente, deposite-a nas mãos de seus
filhos. ”
Albert Einstein
Poliedros
Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é
formada por polígonos que são suas faces e
possuem dois a dois um lado comum.
Um poliedro é considerado convexo quando:
Duas a duas das suas faces poligonais não são
coplanares;
Cada lado da face poligonal é comum a duas, e
somente,duas,faces poligonais;
O plano que contém cada face poligonal divide o
espaço de tal forma que todas as outras faces
poligonais ficam num único semi-espaço.
Ex:
Polígono não-convexo
Polígono convexo
Elementos de um poliedro
Faces:São os
polígonos;
Arestas:são os
lados dos
polígonos;
Vértices:são os
vértices dos
polígonos.
Teorema de Euler
Considere um polígono convexo com os seguintes
elementos:
F:número de faces
A:número de arestas
V:número de vértices
É válida a seguinte relação:
V-A+F=2
Exemplo 1:
Determinar o número de vértices de um poliedro
convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces
triangulares
Soma dos ângulos das faces de um
poliedro convexo
Considerando um poliedro convexo com
número V de vértices, é válida a seguinte
relação:
S=(V-2).360°
Exemplo 2
Determinar a soma das medidas dos Ângulos das
faces de um poliedro convexo com 30 arestas e
12 faces.
Poliedros de Platão
Para que um poliedro seja considerado de
Platão é
necessário que:
Todas as suas faces tenham o mesmo
número (n) de arestas;
Dos vértices parta o mesmo número (m) de
arestas.
Existem 5 classes de poliedros de
Platão
Poliedros regulares
Um poliedro é considerado regular se:
As faces são polígonos regulares e congruentes;
Os seus ângulos poliédricos são congruentes;
• Todo poliedro
convexo regular é
um poliedro de
Platão mas nem
todo poliedro de
Platão é convexo
regular
Existem 5 tipos de Poliedros
regulares
PRISMA
É um poliedro
convexo tal que duas
faces são polígonos
congruentes situados
em planos paralelos e
as demais faces são
paralelogramos, por
isso tem-se as arestas
laterais congruentes.
Elementos de um prisma
• bases:as regiões
poligonais R e S
• altura:a distância h entre os
planos
• arestas das bases: os
lados (dos polígonos)
• arestas laterais:os segmentos
• faces laterais: os
paralelogramos AA'BB',
BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação de um prisma
Conforme a inclinação das arestas laterais podem ser:
-Retos
-Oblíquos
As arestas laterais são perpendiculares
ás bases(as faces laterais são
retângulos)
As arestas laterais não são
perpendiculares ás bases(as
fazes laterais são
paralelogramos)
Prisma reto X Prisma oblíquo
Classificação de um prisma
Pelo número de arestas de uma das faces:
Prisma regular
Quando um prisma é reto e suas bases são
regulares, ele é chamado de prisma regular.
Prisma regular octogonal
Área da superfície total do prisma
reto
É calculada
somando-se as áreas
das bases com a área
da superfície
lateral,isto é,
AT=2.AB+AL
Onde:
AB =área da superfície
da base
AL =área da superfície
da lateral
Volume do prisma reto
O volume é calculado pelo
produto da área da base(AB )
pela altura (b),isto é:
V=AB .h
No prisma reto a altura tem
a mesma medida que a aresta
lateral
Compreensão da fórmula do volume do
prisma reto- Princípio de Cavalieri
Considere dois sólidos com bases num plano .Se qualquer
planos ,paralelo a e secante aos sólidos,determinar nos
mesmos superfícies
com áreas iguais,
podemos afirmar ,
pelo Principio de
Cavalieri ,que os dois
sólidos têm o mesmo
volume.
Diagonais do paralelepípedo
retângulo
CUBO
Cubo-Prisma regular limitado por 6
quadrados
Exercício
Determine qual é o cubo que corresponde à
planificação:
Quizz da Matématica
1-(Cesesp- PE)Considere os seguintes poliedros:
A1:tetraedro
A2:dodecaedro
A3:icosaedro
Assinale, entre as seguintes alternativas ,a falsa:
a)O poliedro A1 tem as faces triangulares
b)O poliedro A2 tem 12 faces
c) O poliedro A3 tem as faces triangulares
d) O poliedro A2 tem as faces em forma de dodecágono
e) O poliedro A3 tem 20 faces
2-(PUC-SP)O poliedro que contém 20
vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se:
a)Tetraedro
b)Icosaedro
c)Hexaedro
d)Dodecaedro
e)octaedro
3-(Enem 2011)A resistência das vigas de dado
comprimento é diretamente proporcional
à largura (b) e ao quadrado da altura (d )
conforme a figura .A constante de
proporcionalidade k varia de acordo
com o material utilizado na sua
construção.
Considerando-se S como a resistência, a
representação algébrica que exprime essa relação é
4-(Unesp) Se dobrarmos convenientemente as
linhas tracejadas da figura, obteremos uma
figura espacial cujo nome é:
a)Pirâmide de base pentagonal
b)paralelepípedo
c)octaedro
d)tetraedro
e)prisma
5-(PUC-SP)O número de vértices de um poliedro
convexo que possui 12 faces triangulares é:
a)4
b)12
c)10
d)6
e)8
6-(FAAP-SP)Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal O Estado de
S.Paulo, em 6/9/2011, que a Secretaria de Agricultura e
Abastecimento determinou que os produtores de tomates enviem a
mercadoria ao Ceagesp usando caixas padronizadas do tipo K,
cujas dimensões internas são 495 mm de comprimento, 355 mm
de altura e 220 mm de largura. Cada medida tem uma tolerância
,para mais ou para menos de 3 mm. A diferença entre o volume
máximo e o volume mínimo de cada caixa (em milímetros
cúbicos) é:
a)1 097 832
b)1 078 572 c)2 176 404 d)2 160 000
e)2 700 000
7-Qual das seguintes alternativas é verdadeira?
a)Num poliedro convexo com 8 vértices triédricos
encontramos 10 arestas.
b)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares
encontramos 10 arestas.
c)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares
encontramos 10 arestas.
d)Num poliedro convexo com 10 vértices sendo 4
pentáedricos e 6 triédricos,encontramos 9 faces.
e)n.d.a
8-(Vunesp)O volume de ar contido em um galpão
com a forma e dimensões dadas pela figura
abaixo é:
a)288
b)384
c)480
d)360
e)768
9-(PUC-SP)Um tanque de uso industrial tem a forma de
um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a
seguir , são dadas as dimensões do prisma em metros: O
volume desse tanque em metros cúbicos é:
a)50
b)60
c)80
d)100
e)120
10-(ENEM 2010)Um porta-lápis de madeira foi
construído no formato cúbico, seguindo o modelo
ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é
interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na
confecção desse objeto foi de
a)12 cm3
b)64 cm3
c)96 cm3
d)1216 cm3
e)1728 cm3
Gabarito
1) D
2) E
3) C
4) D
5) E
6) C
7) B
8) B
9) D
10) D
Referências
• http://www.lago.com.br/colecoes/vitoriaregia/p
df_medio/ma/Dia_a_dia.pdf
• http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geo
espacial.htm
• http://dc143.4shared.com/img/jKEoImjh/previe
w.html
• http://www.algosobre.com.br/matematica/geom
etria-plana-prisma.html