GEOMETRIA
ESPACIAL
POLIEDROS
Poliedro
É chamado de poliedro o sólido geométrico formado pela reunião de
uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço
delimitados por ela.
Exemplos
a)
b)
c)
Elementos de um poliedro
face
aresta
vértice
Nomenclatura de um poliedro
 Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu número de
faces.
6 faces
a) hexaedro
8 vértices
12 arestas
14 faces
b) tetradecaedro
16 vértices
28 arestas
12 faces
c) dodecaedro
20 vértices
30 arestas
Poliedros estudados com maior frequência
Número
de faces
4
6
5
7
Nome do tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro
poliedro
Número
de faces
8
12
20
Nome do
octaedro dodecaedro icosaedro
poliedro
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as
demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo;
caso contrário, é não convexo (ou côncavo).
Exemplos
Convexo
Não convexo
Relação de Euler
Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem sempre
um poliedro que satisfaz essa relação é convexo.
V+F–2=A
número de
vértices
número
de faces
Soma dos ângulos das faces
S = (V – 2).360°
número de
vértices
número de
arestas
Exercícios
1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces
e 8 vértices.
Resolução
Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros
convexos, temos:
V + F – 2 = A  A = 8 + 6 – 2  A = 12
Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.
Exercícios
2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces
triangulares e 5 faces quadradas?
Resolução
Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.
As 4 faces triangulares têm 12 lados (4  3) e as 5 faces quadradas têm 20 lados (5  4).
Então, o número de arestas é dado por:
(12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces consecutivas se dá sempre por uma
única aresta. Assim, o poliedro tem 16 arestas e 9 faces.
Logo: V + 9 – 2 = 16  V = 9
Portanto, esse poliedro tem 9 vértices.
Exercícios
3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de 7 vértices
tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e 2 vértices nos quais
concorrem 5 arestas. Quantas arestas e quantas faces tem esse
poliedro?
Resolução
 5 vértices com 4 arestas: (5
 4) arestas = 20 arestas
 2 vértices com 5 arestas: (2
 5) arestas = 10 arestas
Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada vértice), temos:
20 + 10
A=
= 15. Pela relação de Euler, obtemos:
2
V + F = A + 2  7 + F = 15 + 2  F = 10
Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces.
Exercícios
4. Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares
e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das
faces é 32 ângulos retos?
Resolução
S ( V  2 ). 360º
2880º

V

2

 V  2  8  10

360º
S  32( 90º )  2880º
A  15
 F  15  2  10  7

V

10

x  y  7
x  y  7  ( 4 )  4x  4y  28 y  2




 4 x 5y
4
x

5
y

30
4
x

5
y

30


15

x  7  2  x  5


2
2
Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.
Agora faça sozinho(a)!
RESPOSTA: B
Agora faça sozinho(a)!
7. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e
heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos
das faces é 64 retos?
Resolução
I.
S  (V  2).360º
5760º

V

2

 V  2  16  18

S

64
(
90
º
)

5760
º
360
º

A  28
II. 
 F  28  2  18  12
V

18

 x  y  12
 x  y  12  (3)  3x  3 y  36 4 y  20  y  5
III.  3x 7 y



3
x

7
y

56
3
x

7
y

56


28


 x  12  5  7

2
2
Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais.
Agora faça sozinho(a)!
8. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem
3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.
Resolução
O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número
de arestas em função das faces, temos:
nF 3(3)  4(1)  5(1)  6(2) 30
A


 15.
2
2
2
V  A  2  F  15  2  7  10
Logo há 10 vértices.
Poliedros de Platão
Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se, e somente se:
 é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler;
 todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas;
 em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m de arestas.
Exemplo
Esse poliedro é de Platão, pois:
 todas as faces têm 4 arestas;
 em todos os vértices concorrem 3 arestas;
 ele é convexo, portanto a relação de Euler é
válida
(8 + 6 – 2 = 12).
Poliedros de Platão
Exemplo
b)
Esse poliedro não é de Platão, pois, embora
seja convexo e em todos os vértices concorra
o mesmo número de arestas, nem todas as
faces têm o mesmo número de arestas. Há
faces quadrangulares, pentagonais e uma
triangular.
Poliedros regulares
Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais regulares e
congruentes entre si.
Observações:
 Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que a compõe
é regular;
 Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma medida e
todos os ângulos internos congruentes.
Pentágono regular
Poliedros regulares
Veja a seguir os cinco poliedros regulares.
Tetraedro Regular
Hexaedro regular
(cubo)
Dodecaedro regular
Octaedro regular
Icosaedro regular
Exercícios
9. Agora vamos determinar o número de faces, de arestas e de vértices
dos cinco poliedros regulares.
POLIEDROS
TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
FACES
4 F3
6F4
8 F3
12 F5
20 F3
ARESTAS
VÉRTICES