OS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS
Círculo de estudos
MatB 10 Soure
Jan-Mai 2002
Júlia Portugal
Planificação do tema:
sólidos platónicos
1-Introdução ao tema
2-Revisões sobre:
 sólidos geométricos,
 classificação dos polígonos quanto ao
número de lados,
 sólidos convexos e côncavos,
 determinação da amplitude dos ângulos
internos de um polígono convexo regular .
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3-Breve resenha histórica sobre os sólidos platónicos.
4-Constituição dos grupos de trabalho e eleição do líder.
5-Entrega e explicação do roteiro de trabalho.
6-Início da realização da actividade.
7-Continuação do trabalho fora da sala de aula (T.P.C.)
8-Apresentação dos trabalhos. Alusões finais.
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1.Introdução ao tema
O tema que vamos discutir nas próximas aulas
tem origem na descoberta da existência de apenas cinco
poliedros regulares convexos. Pretendemos que durante as
próximas aulas com os conhecimentos adquiridos sobre
geometria no 3º ciclo, vão mais longe na descoberta do
teorema " só existem 5 poliedros regulares convexos".
Desta forma pretendemos pôr ênfase num ramo da
matemática tão importante ao longo da história mas por
vezes tão negligenciado .
Como complemento, fica no ar também a proposta da
actividade "Será que todos os poliedros regulares são
convexos"?(ver anexo 3)
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Objectivos curriculares:
 Investigar a razão pela qual não existe uma
infinidade de poliedros regulares convexos.
 Determinar, construindo,
platónicos existem.
quantos
sólidos
 Indo mais longe.... "Será que todos os
poliedros regulares são convexos"?
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Objectivos curriculares:
• Materiais de apoio: Material Polydron (triângulos
equiláteros, quadrados, pentágonos regulares,
hexágonos regulares), e uma tabela para que o
aluno registe algumas informações que vai
adquirindo.
• Pré-requisitos: Conhecimentos sobre Polígonos e
polígonos regulares. Poliedros, poliedros regulares
e convexos. Ângulos internos de um polígono
convexo, regular ou não.
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Objectivos curriculares:
• Avaliação: Elaboração de um relatório onde devem
fazer uma breve resenha histórica sobre os sólidos
platónicos, explicação sucinta e complementada
através de uma tabela acerca da existência de
apenas cinco sólidos regulares convexos.
Construção dos poliedros, onde também será
valorizado o embelezamento dos sólidos (por
exemplo com figuras de Escher).
• Descrição das principais dificuldades encontradas
na realização do trabalho e uma conclusão final.
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Tempos lectivos destinados ao
tema
Ponto 1- 2
0,5
Ponto 3-4-5
0,5
Ponto 6-8
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2. Revisões
 Sólidos geométricos: Poliedros, não poliedros
 Definição de polígono: Figura plana fechada limitada
por segmentos de recta.
 Polígono regular: polígono em que as amplitudes dos
ângulos internos do polígono são todas iguais, bem
como o comprimento dos seus lados.
 Classificação dos polígonos quanto ao número de
lados. Completa a tabela 1 (ver anexo 1).
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2. Revisões
 sólidos convexos e côncavos:
» Convexos: quaisquer dois pontos do sólido
definem um segmento de recta contido no
sólido.
» Côncavos: existem pelo menos dois pontos
do sólido cujo segmento de recta que os une
não fica contido no sólido.
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2. Revisões
• Determinação da amplitude dos ângulos
internos de um polígono regular convexo
completa a tabela 2 (ver anexo 1).
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BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS
SÓLIDOS PLATÓNICOS - 1
A Humanidade, na sua história, estudou a Matemática
em ordem inversa à que foi seguida nas suas escolas, ou
quase. De facto a numeração decimal é a primeira coisa
que se aprende, mal se vai à escola, e foi, pelo
contrário, uma tardia conquista de uma humanidade já
doutíssima em geometria. Poder-se-ia dizer que a
geometria é em vários milhares de anos mais velha do
que a Aritmética. Os gregos tinham um verdadeiro culto
pela geometria, que elevaram a um alto grau de
perfeição. Consideravam-na uma ciência que habitua a
raciocinar, que refina a inteligência; diziam pelo
contrário que não era preciso estudá-la com fins
práticos, mas para "a honra da mente Humana”.
BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS
SÓLIDOS PLATÓNICOS - 2
Platão (sec II a.C.9, o grande filósofo aluno de
Sócrates, foi o primeiro matemático a demonstrar que
existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo,
tetraedro, octaedro dodecaedro e o icosaedro. Para
Platão o universo era formado por um corpo e uma alma
ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por
triângulos, formando-se elementos que diferem entre si
pela natureza da forma das suas superfícies periféricas.
Se forem quadrados temos o cubo- o elemento da terra.
Se forem triângulos, formando um tetraedro, teremos o
fogo, cuja natureza penetrante está simbolizada na
agudeza dos seus vértices.
BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS
SÓLIDOS PLATÓNICOS - 3
O ar é formado por octaedros e a água de isocaedros.
Platão admitia ainda que por intervenção inteligente, uns
se transformavam nos outros à excepção da terra, que
se transforma em si própria. O dodecaedro cheio de
harmonia simbolizava o próprio universo. No entanto
ainda existem dúvidas se o teorema" só há cinco sólidos
platónicos" se deve a Platão ou a Pitágoras. Mas provarse-ia mais tarde que este teorema era falso e Cauchy
provou que há nove poliedros regulares e que não
existem mais. o erro do teorema de Platão ou de
Pitágoras reside no facto de os poliedros regulares por
eles considerados não serem obrigatoriamente convexos.
BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS
SÓLIDOS PLATÓNICOS - 4
Séculos mais tarde Kepler descobriu o primeiro poliedro
regular côncavo que é o dodecaedro estrelado de faces
regulares que resulta do prolongamento das faces do
dodecaedro. Dois séculos mais tarde ,Louis Poinsot
descobriu três novos poliedros regulares não convexos.
Na actualidade numerosos matemáticos, artistas
plásticos, designers e arquitectos entusiasmam-se com
as propriedades e aplicações dos poliedros propondo
várias formas de os construir e também de os
representar em ecrãs de computador.
5. Entrega e explicação do
roteiro do trabalho
Roteiro da Actividade
Sabendo que:
• Num poliedro a soma das amplitudes dos ângulos
internos em cada vértice é sempre inferior a 360º;
• Nos poliedros regulares as suas faces são
polígonos regulares;
• Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
regular ou não é (n-2)*180º.
Determina nestas condições quantos poliedros
regulares convexos consegues formar.
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5. Entrega e explicação do
roteiro do trabalho
• Sugestão: Para facilitar a tua investigação podes
utilizar completar a tabela 3 (ver anexo 1).
• Elabora um pequeno relatório com a explicação e
cálculos das conclusões a que chegaste
• Constrói agora os poliedros regulares convexos que
descobriste nos pontos anteriores.
• Não te esqueças de completar a resenha histórica
que te foi dada no início da actividade.
• Caso não tenhas conseguido encontrar os cinco
sólidos platónicos consulta o material de apoio
fornecido pelo teu professor (ver anexo3).
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