 No processo básico da krigagem, a estimativa é feita
para determinar um valor médio em um local não
amostrado.
 Pode-se, porém, fazer estimativas baseadas em
valores que se situam acima ou abaixo de um
determinado nível de corte (cutoff).
KRIGAGEM INDICADORA
KRIGAGEM INDICATIVA
(Krigagem da Indicatriz)
1
 Este procedimento, estabelecido para vários níveis
de corte de uma distribuição acumulada, conduz a
uma estimativa de vários valores dessa distribuição
em um determinado local, cuja função poderá ser
ajustada.
2
Variável indicativa
Estimativa da distribuição de probabilidades
pela “krigagem indicativa”
 Variável indicativa: variável binária com apenas
duas possibilidades 0 ou 1
 Transformar os dados originais em indicadores, isto é,
 Os 0’s e 1’s podem ser usados para designar
transformar os valores que estão acima de um
determinado nível de corte em zero (0) e os que estão
abaixo em um (1):
duas diferentes classes:
 0 = folhelho e 1= arenito
 0= impermeável e 1= permeável
 0= minério e 1= rejeito

1 se v j  v c
i j (v c )  

0 se v j  v c
 Neste tipo de transformação, os menores valores
 Podem ser usadas para separar uma variável
estimados indicarão maior probabilidade de ocorrência de
valores acima do nível de corte e os maiores valores
estimados indicarão menor probabilidade de ocorrência
de valores acima do nível de corte.
continua em duas categorias:
 0: Pb10ppm e 1: Pb> 10ppm
3
4

1 se v j  v c
i j (v c )  

0 se v j  v c
 Calculo dos variogramas experimentais indicativos para
determinados níveis de corte e modelagem variográfica
 Krigagem ordinária pontual nos valores transformados,
fornece a probabilidade de vi < vc
Neste
tipo de transformação, os maiores valores
estimados indicarão maior probabilidade de ocorrência de
valores acima do nível de corte e os menores valores
estimados indicarão menor probabilidade de ocorrência de
valores acima do nível de corte.
5
6
1
Escolha dos níveis de corte
 Conhecimento “a priori” ou distribuição de
 Variogramas indicativos podem ser
probabilidades acumuladas
estimados pela função:
 Objetivos:
 procura de valores acima do nível de corte,
como na determinação de teores anômalos
de um determinado bem mineral
 procura de valores abaixo do nível de corte,
como em análise ambiental para a
determinação de níveis de poluição abaixo
de um certo teor.
h = passo (lag) básico
vC = nível de corte
N = número de pares
7
8
A Krigagem indicativa com múltiplos níveis de
corte é aplicada para encontrar a função de
distribuição acumulada de cada ponto a ser
estimado.
Nesse caso alem de estimar o valor, é também
calculado um intervalo de confiança e a
correspondente probabilidade de exceder ou
não um certo valor.
A média ponderada das variáveis indicativas é
uma estimativa da probabilidade acumulada
N
Pr ob(Z( x ) ≤ v c ) = ∑ jI( x j )
j=1
9
Felgueiras, Druck, Monteiro (2004)
O resultado esperado:
Felgueiras, Druck, Monteiro (2004)
2
O estimador fornecido pela krigagem suaviza os resultados.
Avaliação dos valores médios das variáveis que
definem um recurso natural: krigagem ordinária.
O estimador é não-enviesado em relação à média da lei de
distribuição da variável Z(x), mas não em relação à lei de
distribuição de probabilidades de Z(x).
E para características extremas?
Para valores acima, ou abaixo, de valores de corte?
A krigagem de Z(x) é um estimador ótimo em relação à
media, mas não em relação à variância.
A relação entre um recurso natural e o seu entorno.
Relação intrínseca entre o fenômeno de suavização e o erro
associado ao processo de estimação: a variância dos
valores reais é maior que a variância dos valores
estimados.
Uma pluma de um poluente não significa que a “nãopluma” adjacente esteja completamente limpa
daquele contaminante.
À medida que aumenta a quantidade de informação para
estimar a mesma área, o erro tende a ser menor, e, por
conseqüência, menos acentuado o efeito de suavização.
Funções de distribuição de probabilidades locais
estimadas para fornecer mapas de riscos
13
14
Erros de classificação:
I.
Classificar como segura uma localização
contaminada
II. Classificar como contaminada uma localização
segura
Uma das mais importantes conseqüências do efeito
de suavização: enviesamento dos valores
extremos, com subestimação dos valores acima da
média e sobreestimação dos valores abaixo da
média.
Uma localização é classificada como segura
quando a respectiva estimativa calculada se
encontra abaixo do limite máximo permitido
(zc) para o contaminante de interesse. Essa
localização não estara sujeita a nenhum
tratamento ou remediação.
Caso contrário, a localização será classificada
como contaminada e estará sujeita a
tratamento.
Exemplo: numa área com solo potencialmente
contaminado pretende-se avaliar qual a porção a
ser limpa e qual a que não esta contaminada e
que, conseqüentemente, não deve ser removida ou
recuperada
15
16
Erro tipo I (risco (x) ou falso positivo) ocorre
quando a estimativa em uma localização segura u
(Prob Z(x)≤zc) é superestimada (Z*(x)>zc); seu
valor fica acima do limite máximo permitido
(u)=Prob{Z(x)≤zc|Z*(x)>zc,(n)}
=F(x;zc|(n)), para todas as localizações x tal
que a estimativa Z*(x)>zc.
Erro tipo II (risco β(x) ou falso negativo) ocorre
quando uma localização contaminada u (ProbZ(x)
>zc é subestimada (Z*(x)≤zc); seu valor fica
abaixo do limite máximo permitido
β(x)=Prob{Z(x)>zc|Z*(x)≤zc,(n)}
=1-F(x;zc|(n)), para todas as localizações x
tal que a estimativa Z*(x)≤zc.
17
(Myers, 1997:463)
18
3
Bacia Delaware/Novo México/EUA
Poços para produção de petróleo:
produtivos e improdutivos (Hohn, 1999)
Exemplos
19
20
"X" "Y" "Z"
27 42 0
29 42 0
30 42 0
44 42 0
36 43 0
39 43 0
48 43 0
41 44 0
42 44 0
48 44 0
41 17 1
20 20 1
20 21 1
21 21 1
35 21 1
32 33 1
33 33 1
34 33 1
36 33 1
41 33 1
1: poço produtivo
0: poço improdutivo
21
22
A fundamental diferença entre
os dois mapas obtidos é que o
primeiro mostra valores
pontuais representativos da
presença ou ausência de uma
determinada característica,
enquanto o seguinte apresenta
resultados em termos
probabilísticos, pois a krigagem
indicativa trabalha com
critérios probabilísticos.
 Probabilidade de ocorrências de casos
de malária em Porto Velho/RO
(Simão & Landim)
23
24
4
Pontos de distribuição de malária em
Porto Velho (RO)
Regularização
408000
406000
404000
402000
400000
9026000
9028000
9030000
9032000
9034000
9036000
9038000
9040000
408000
406000
404000
402000
400000
9026000
9028000
9030000
9032000
9034000
9036000
9038000
Malha regular: Inverso do quadrado da distância (25x25/2000 m)
25
26
Variogramas:
Curva de probabilidade acumulada
Column D: P50
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0
Column F: P25
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0
Column E: P75
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0
0.2
0.14
0.18
0.2
0.16
0.12
0.14
0.1
0.15
0.1
Variogram
Variogram
Variogram
0.12
0.1
0.08
0.06
0.08
0.06
0.04
0.05
0.04
0.02
0.02
0
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Lag Distance
27
3500
4000
4500
5000
0
500
1000
1500
2000
2500
Lag Distance
3000
3500
4000
4500
5000
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Lag Distance
28
Mapas de probabilidades de ocorrência
para 5 e 15 casos de malária
Mapa para a probabilidade de ocorrer 53 casos de
malária (1=0% probabilidade de ocorrência;
0=100% probabilidade de ocorrência)
Krigagem Indicativa para o 1º quartil (5 casos)
1 = 0% de probabilidade de ocorrência
0 = 100% de probabilidade de ocorrência
1
408000
0.9
0.8
406000
0.7
0.6
404000
0.5
402000
0.4
0.3
400000
0.2
0.1
398000
9026000 9028000 9030000 9032000 9034000 9036000 9038000 9040000 9042000
0
-0.1
Krigagem Indicatica para a mediana ( 15 casos )
-0.2
1
408000
0.9
0
0.8
406000
0.7
404000
0.5
0.6
0.4
0.3
402000
0.2
0.1
400000
0
-0.1
9026000
29
9028000
9030000
9032000
9034000
9036000
9038000
9040000
-0.2
30
5