09/10/2014
Geoestatística Aplicada em
Ciências Agrárias:
WebTreinamento.
Professor Paulo M. Barbosa Landim
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2
Na jogada de um dado, o resultado ser 1, 2, 3, 4, 5 ou
6 tem a mesma probabilidade de ocorrer: processo
aleatório e não tendencioso.
Várias jogadas e vários dados : pode-se calcular a
probabilidade
Modelagem dos fenômenos naturais
Modelos determinísticos
Modelos probabilísticos
E na Natureza?
Como prever a ocorrência de um evento?
•Modelos probabilísticos e a Estatística
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1
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Modelagem espacial de
fenômenos naturais
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Variáveis “A” e “B”
6
Adicionar as
coordenadas XY
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Distribuição espacial dos
valores é diferente
A importância do
georreferenciamento
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Estatística espacial e interpolação
de valores
Estratégia para a amostragem:
Valores são coletados (amostra) para
estimar o comportamento espacial do
fenomeno em estudo (população)
•características da area a ser amostrada
•planejamento a ser adotado para determinar
a seleção de amostras em termos de
localização e densidade
Interpolação: procedimento matemático
de ajuste de uma função à pontos não
amostrados, baseando-se em valores
obtidos em pontos amostrados.
•procedimento a ser utilizado para o cálculo
da estimativa e sua interpretação.
Produto final: Mapas (Modelo digital)
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Usando informações pontuais conhecidas,
como estimar um valor em local não
amostrado?
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Mapeamento de solos
Amostragem para o teor de um painel
Amostragem baseada na estatística
Amostragem baseada na estatística espacial
Os resultados são sempre incertos.
Essa incerteza não é uma propriedade
intrínsica do fenômeno.
• Reflete apenas o grau de desconhecimento do
observador.
•
•
•
•
15
●
●
●
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4
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Diversos métodos de estimativa para
modelagem de superfícies por meio de redes
regulares
Questões
Quantas amostras devem ser utilizadas?
Até que distâncias devem ser consideradas as
amostras?
Aquela eventualmente colocada no centro da área a
ser mapeada terá um peso maior que as demais?
Se as amostras formarem grupos qual a influência
desses agrupamentos?
Como evitar que os resultados sejam sub ou super
estimado?
A relação espacial, em termos geométricos, entre as
amostras estimadoras e a área a ser estimad, tem
importância?
A técnica de estimativa pode ser usada para qualquer
tipo de solo. Por exemplo, autóctone ou transportado?
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Fornecidos “n” valores conhecidos, regularmente
distribuídos ou não,
Z1, Z2,..., Zn,
O valor Z* a ser interpolado para qualquer nó da
rede será igual a
Z* = ΣpiZi
Diferença entre métodos: maneira como os Zi são
escolhidos e os respectivos pesos “pi” são
calculados e aplicados durante o processo de
reticulação.
18
Uma divisão simples entre os métodos pode ser em
modelos determinísticos e modelos estocásticos.
Algorítmos para interpolação
Os modelos determinísticos têm por base critérios
puramente geométricos em que as distâncias são
euclidianas e não fornecem medidas de incerteza como,
por exemplo, o conhecido método do inverso do quadrado
da distância (IQD).
inverso do quadrado da distância
curvatura mínima
vizinho natural
regressão polinomial
krigagem
19
Nos modelos estocásticos, os valores coletados são
interpretados como provenientes de processos aleatórios
e são capazes de quantificar a incerteza associada ao
estimador. Os modelos geoestatísticos pertencem à essa
categoria.
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Metodologia Geoestatística
•Análise estrutural: variograma
•Estimativa de valores:
•Metodos lineares: krigagem ordinária
•Metodos não lineares: krigagem indicativa
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Origens da Geoestatística
Kolmogorov, Weiner, Matern, Gandin (início até
meados de 1900)
Fisher (1935): variabilidade entre diferenças no
rendimentos de culturas pode ser explicada, em
grande parte, pelas propriedades ambientais e físicas
do solo da área em estudo, as quais possuem grande
dependência espacial.
No espaço ocorrem infinitos
valores de uma variável aleatória.
Por amostragem obtem-se
diversos resultados únicos dessa
mesma variável casual.
Amostra deve ser representativa.
Krige (1951) e De Wijs (1952-1953)
“Geoestatística”: localização geográfica e a
dependência espacial.
Matheron (1962,1963)
Teoria das variáveis regionalizadas
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Variável aleatória e função aleatória
Função aleatória
Cada ponto no espaço não apresenta um único valor, mas uma
distribuição de probabilidades de ocorrência de valores
No ponto x a propriedade Z(x) é uma variável aleatória com
média m, variância s2 e uma função de distribuição
acumulada.
No espaço existem infinitos pontos xi, i = 1,2, ..., Z(xi), com
suas próprias funções de distribuição
O conjunto de variáveis aleatórias constituem uma função
aleatória, ou processo aleatório, ou processo estocástico
O conjunto de valores reais de Z que inclui a realização da
função aleatória é conhecido como variável regionalizada
25
26
A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por
objetivo o estudo e a representação estrutural das
V.R. para a resolução de problemas de estimativa, a
partir de dados experimentais medidos sobre
suportes que não abrangem totalmente tais
domínios
Variável regionalizada (V.R.)
Duplo aspecto “contraditório”:
Característica “aleatória”: irregularidade e variação
imprevisível de um ponto para outro
Característica “estrutural”: ligações existentes entre os
pontos no espaço, motivadas pela gênese do fenômeno
natural.
(Problema clássico da inferência estatística quando
se pretende estudar uma população por meio de
amostragem)
É impossível prever com exatidão o teor de um
poluente na pluma de contaminação (aspecto
aleatório), mas é provável que se encontre um
alto teor de um poluente perto de outro alto teor
(aspecto estrutural).
A Teoria das Variáveis Regionalizadas tornou
possível a Geoestatística
27
O melhor estimador para uma V.R. deve levar em
consideração as respectivas posições relativas e,
portanto, a característica estrutural
Estimativas são sempre afetadas por erros e é
necessária a avaliação da precisão da estimativa
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GEOESTATÍSTICA E INTERPOLAÇÃO DE VALORES
Exemplos de VR:
• VARIÁVEIS REGIONALIZADAS
Variáveis físicas dos solos
Variáveis químicas dos solos
Altitude de cotas topográficas
Porosidade e permeabilidade de solos
Transmissividade hidráulica
Concentração de elementos-traço no solo
Densidade vegetal em florestas
Distribuição espacial de pragas
•A localização geográfica é parte integral de qualquer
variável.
•Os valores das variáveis não são independentes e
identicamente distribuidos.
•Ocorre dependência espacial entre os valores
•Consequência: “erro” da estimativa
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30
Momentos considerados na função aleatória
em Geoestatística: média e variância
Aplicações da geoestatística
Lavra e prospecção mineira
Agricultura de precisão
Análise espacial de crimes
Cartografia
Climatologia
Ecologia da paisagem
Engenharia Florestal
Epidemiologia
Geologia ambiental
Geologia do petróleo
Geotecnia
Hidrogeologia
Pedologia: mapeamento de solos
Softwares para Confecção de Mapas ou Sistemas de Informações
Georreferenciadas (Exemplo: SPRING)
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Momento de primeira ordem:
Média = E{Z(x)} = m(x)
Momentos de segunda ordem:
Variância (Covariância)
Correlação
Variograma
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8
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â
=
â
−
−
=
=
=
Variograma
−
−
−
Variância das diferenças entre dois valores em
pontos separados por h.
Os pares de valores referem-se à mesma
variável, obtidos em função da localização
espacial, ou seja, em locais com distâncias
múltiplas “h(lag)”,
33
Mede a variabilidade espacial em função da
distância
34
Variograma:
valores de “γ”, na ordenada, e “h”, na abcissa.
Variograma
relações espaciais são mostradas quando a função
γ(h) é colocada em gráfico contra h
para originar o
variograma experimental
γ(h) distribui-se de 0, quando h=0, até um valor igual
a variância das observações para um alto valor de h
a distância, segundo a qual γ(h) atinge um
patamar (soleira/sill), igual a variância dos dados, é
chamada de alcance (range).
γ(h) = variância [C(0)] – covariância [C(h)]
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Mesma direção θ e distâncias multiplas de h:
γ* para h, 2h, 3h, ...
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9
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A interpretação do variograma permite obter
parâmetros que descrevem o comportamento
espacial das variáveis regionalizadas.
O variograma substitui a distância euclidiana “h”
pela distância “γ(h)”, atributo específico do local
em estudo.
A distância dada pelo variograma mede o grau
médio de similaridade entre um valor não
amostrado e um valor conhecido vizinho.
O variograma é utilizado para calcular os valores
de variância, para uma dada distância, os quais
são necessários para a organização do sistema
de equações da krigagem.
h≤a: campo estruturado
h>a: campo aleatório
37
38
Modelagem
Modelos de variogramas
As funções matemáticas dos modelos devem
permitir que a matriz de covariâncias, neles
baseada, possa ser invertida, para fornecer os
“pesos” para a interpolação por krigagem.
Desse modo, somente certos modelos podem ser
usados.
39
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Modelo Esférico
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Modelo Exponencial
42
Modelo Potência
Modelo Gaussiano
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Modelo Efeito Pepita Puro
Todo o processo de inferência espacial tem início com a
coleta de uma amostra composta por n pontos de dados
e é esperado que essa amostra seja representativa do
fenômeno em estudo, em termos da distribuição e
variabilidade espaciais.
Krigagem é o processo geoestatístico de estimativa de
valores de variáveis distribuídas no espaço, e/ou no
tempo, a partir de valores adjacentes enquanto
considerados como interdependentes pela análise
variográfica.
S
Variograma
Este modelo representa um
fenômeno
completamente
aleatório, no qual não ha
correlação espacial
Krigagem (Krigeage/Kriging)
Distancia
45
46
Necessidade de um sistema de equações
normais em matriz, na qual são usados os
parâmetros variográficos para a obtenção dos
pesos a serem utilizados para o cálculo do
valor do ponto a ser estimado/interpolado
Único meio disponível para verificar a existência
ou não de continuidade espacial é, se houver, por
meio da análise variográfica que determinará os
parâmetros que caracterizam o comportamento
regionalizado
Quando um variograma é adequadamente
elaborado, a estimativa por krigagem
resultante é reconhecida como sendo a
melhor e não tendenciosa estimativa linear
Utiliza distâncias ponderadas e estimativa por
médias móveis, pelo qual os pesos adequados
são obtidos a partir de um variograma,
representativo da média das diferenças ao
quadrado dos valores de Z(xi) distribuídos a
intervalos de distâncias especificados (lags h)
47
48
O sistema de krigagem necessário para a
determinação dos ponderadores associados a
cada um dos pontos estimadores baseia-se na
ideia que quanto maior a covariância entre
uma amostra xi, i=1, 2, ..., n, e o local que
está sendo estimado, x0, mais essa amostra
deve contribuir para a estimativa.
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•Existe associado a esse estimador um erro,
ε=Z(x0)-Z*KO(x0); uma maneira simples seria
representá-lo pela variância da estimativa:
σ2=Var[Z*KO(x0)-Z(x0)]2
Cálculo dos ponderadores λi
•A variância não pode ser obtida porque não se conhece o valor
real que se esta estimando e, portanto, também não se sabe
qual o erro associado
•A solução é transformar a expressão em termos de quantidades
que possam ser calculadas:
O valor estimado por krigagem Z*(xi) é uma combinação
linear de n Variáveis Regionalizadas.
O valor estimado é não enviesado
E[Z(x)] = m
Var[Z(x)-Z(x+h)]2 = 2γ(h)
Variância dos erros: = desvios ao quadrado em relação ao erro
médio = média de [(Z(x0) – Z*(x0)]2.
A variância da estimativa é minimizada
Para estimar tal medida utilizar o variograma, em que são
medidas as diferenças de valores ao quadrado.
49
50
Variância dos erros: = desvios ao quadrado em
relação ao erro médio = média de [(Z(x0) – Z*(x0)]2.
Krigagem
Para estimar tal medida utilizar o variograma, em
que são medidas as diferenças de valores ao
quadrado.
Estimação por uma combinação
linear ponderada
Num variograma, previamente calculado, dada uma
distância h entre os pontos, pode-se estimar a
variância simplesmente lendo o valor no eixo dos
γ´s
O valor estimado é não enviesado
O erro cometido deve ter
uma esperança zero
γ(xi,xj): variância entre os pontos estimadores
γ(xi,x0): variância entre o ponto estimador i e o
Procura pela
máxima precisão
51
52
ponto a ser estimado
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Krigagem ordinária para a estimativa de um
ponto x0
É introduzido o multiplicador de Lagrange (µ)
porque os pesos λ devem somar 1
Representa o balanço entre como os valores
estimadores se relacionam com o valor a ser
estimado e como se relacionam entre si.
A variância da krigagem é homoscedástica
Independe dos valores dos pontos usados para
obter o estimador Z*(x0)
Mede apenas a configuração espacial dos
dados
53
[λ] = [A]-1 [B]
Cálculo da variância(desvio padrão) associada(o)
ao valor obtido por estimativa krigada
54
Exemplo: espessura de camada de carvão (Yamamoto & Landim, 2013)
γ * ( 0,5
)=
1
2*8
[ (1,4 − 1,3 )
γ * ( 1,0
55
56
)=
1
2 * 18
+ (1,3 − 1,5 ) + (1,2 − 1,23 ) + (2,09 − 1,6 ) + (1,6 − 1,4 ) + (1,4 − 1,41) +
2
2
]
(1,41 − 1,38)2 + (1,38 − 1,04 )2
[ (0,8 − 0,72 )
2
2
2
2
2
= 0,028
+ (1,19 − 0,94 ) + (0,94 − 0,96 ) + (0,96 − 1,05 ) + (1,02 − 1,2 ) +
2
2
2
2
(1,2 − 1,1)2 + (1,1 − 1,18 )2 + (1,55 − 1,57 )2 + (1,57 − 1,3 )2 + (1,18 − 1,4 )2 + (1,4 − 1,5 )2 + (1,85 − 1,2 )2 +
(1,23 − 1,3 )2 + (1,62 − 2,09 )2 + (2,09 − 1,4 )2 + (1,6 − 1,41)2 + (1,4 − 1,38 )2 + (1,41 − 1,04 )2 ] = 0,043
14
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Distância
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Leste-Oeste
Np
γ (h )
0,028
8
0,043
18
0,051
12
0,047
12
0,158
6
0,015
5
0,104
4
Norte-Sul
Np
γ (h )
0,028
11
0,097
15
0,069
13
0,147
7
0,216
9
0,133
3
0,178
3
Modelo esférico/ Co:0; C1:0.105; a: 1.94
57
58
Estimativa dos valores no reticulado
Mapa com valores
interpolados por
krigagem ordinária e
respetivos desvios padrão
da krigagem
100
100
90
80
80
70
60
60
50
40
40
30
20
20
10
0
0
0
20
40
60
80
100
100
100
90
90
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
20
10
10
0
0
0
59
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
60
15
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61
62
Modelo esférico/ Co:0;
C1:0.105; a: 1.94
[λ ] = [γxi, xi]−1[λxi, X ]
63
64
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KRIGAGEM INDICADORA
KRIGAGEM INDICATIVA
(Krigagem da Indicatriz)
65
Variável indicativa
No processo básico da krigagem, a estimativa é feita
para determinar um valor médio em um local não
amostrado.
Pode-se, porém, fazer estimativas baseadas em
valores que se situam acima ou abaixo de um
determinado nível de corte (cutoff).
Este procedimento, estabelecido para vários níveis
de corte de uma distribuição acumulada, conduz a
uma estimativa de vários valores dessa distribuição
em um determinado local, cuja função poderá ser
ajustada.
Variável indicativa: variável binária com apenas
duas possibilidades 0 ou 1
Os 0’s e 1’s podem ser usados para designar
duas diferentes classes:
0 = folhelho e 1= arenito
0= impermeável e 1= permeável
0= minério e 1= rejeito
Podem ser usadas para separar uma variável
continua em duas categorias:
0: Pb≤10ppm e 1: Pb> 10ppm
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Estimativa da distribuição de probabilidades
pela “krigagem indicativa”
Transformar os dados originais em indicadores, isto é,
transformar os valores que estão acima de um
determinado nível de corte em zero (0) e os que estão
abaixo em um (1):
1 se v j ≤ v c
ij (v c ) = 
0 se v j > v c
1 se v j > v c
ij (v c ) = 
0 se v j ≤ v c
Neste tipo de transformação, os maiores valores
estimados indicarão maior probabilidade de ocorrência de
valores acima do nível de corte e os menores valores
estimados indicarão menor probabilidade de ocorrência de
valores acima do nível de corte.
Neste tipo de transformação, os menores valores
estimados indicarão maior probabilidade de ocorrência de
valores acima do nível de corte e os maiores valores
estimados indicarão menor probabilidade de ocorrência
de valores acima do nível de corte.
Calculo dos variogramas experimentais indicativos para
determinados níveis de corte e modelagem variográfica
Krigagem ordinária pontual nos valores transformados,
fornece a probabilidade de vi < vc
Variogramas indicativos podem ser
estimados pela função:
h = passo (lag) básico
vC = nível de corte
N = número de pares
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Escolha dos níveis de corte
Conhecimento “a priori” ou distribuição de
probabilidades acumuladas
Objetivos:
procura de valores acima do nível de corte,
como na determinação de teores anômalos
de um determinado bem mineral
procura de valores abaixo do nível de corte,
como em análise ambiental para a
determinação de níveis de poluição abaixo
de um certo teor.
A Krigagem indicativa com múltiplos níveis de corte é
aplicada para encontrar a função de distribuição
acumulada de cada ponto a ser estimado.
Nesse caso alem de estimar o valor, é também
calculado um intervalo de confiança e a correspondente
probabilidade de exceder ou não um certo valor.
A média ponderada das variáveis indicativas é uma
estimativa da probabilidade acumulada
N
Pr ob(Z( x ) ≤ v c ) = ∑λ jI( x j )
j=1
O estimador fornecido pela krigagem suaviza os resultados.
Avaliação dos valores médios das variáveis que
definem um recurso natural: krigagem ordinária.
E para características extremas?
Para valores acima, ou abaixo, de valores de corte?
A relação entre um recurso natural e o seu entorno.
Uma pluma de um poluente não significa que a “nãopluma” adjacente esteja completamente limpa
daquele contaminante.
Funções de distribuição de probabilidades locais
estimadas para fornecer mapas de riscos
O estimador é não-enviesado em relação à média da lei de
distribuição da variável Z(x), mas não em relação à lei de
distribuição de probabilidades de Z(x).
A krigagem de Z(x) é um estimador ótimo em relação à
media, mas não em relação à variância.
Relação intrínseca entre o fenômeno de suavização e o erro
associado ao processo de estimação: a variância dos
valores reais é maior que a variância dos valores
estimados.
À medida que aumenta a quantidade de informação para
estimar a mesma área, o erro tende a ser menor, e, por
conseqüência, menos acentuado o efeito de suavização.
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Erros de classificação:
Uma das mais importantes conseqüências do efeito
de suavização: enviesamento dos valores
extremos, com subestimação dos valores acima da
média e sobreestimação dos valores abaixo da
média.
Exemplo: numa área com solo potencialmente
contaminado pretende-se avaliar qual a porção a
ser limpa e qual a que não esta contaminada e
que, conseqüentemente, não deve ser removida ou
recuperada
I.
Classificar como segura uma localização
contaminada
II. Classificar como contaminada uma localização
segura
Uma localização é classificada como segura
quando a respectiva estimativa calculada se
encontra abaixo do limite máximo permitido
(zc) para o contaminante de interesse. Essa
localização não estara sujeita a nenhum
tratamento ou remediação.
Caso contrário, a localização será classificada
como contaminada e estará sujeita a
tratamento.
Erro tipo I (risco α(x) ou falso positivo) ocorre
quando a estimativa em uma localização segura u
(Prob Z(x)≤zc) é superestimada (Z*(x)>zc); seu
valor fica acima do limite máximo permitido
α(u)=Prob{Z(x)≤zc|Z*(x)>zc,(n)}
=F(x;zc|(n)), para todas as localizações x tal
que a estimativa Z*(x)>zc.
Erro tipo II (risco β(x) ou falso negativo) ocorre
quando uma localização contaminada u (ProbZ(x)
>zc é subestimada (Z*(x)≤zc); seu valor fica
abaixo do limite máximo permitido
β(x)=Prob{Z(x)>zc|Z*(x)≤zc,(n)}
=1-F(x;zc|(n)), para todas as localizações x
tal que a estimativa Z*(x)≤zc.
(Myers, 1997:463)
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Exemplo: Bacia Delaware/Novo México/EUA
Poços para produção de petróleo: produtivos e
improdutivos (Hohn, 1999)
"X" "Y" "Z"
27 42 0
29 42 0
30 42 0
44 42 0
36 43 0
39 43 0
48 43 0
41 44 0
42 44 0
48 44 0
41 17 1
20 20 1
20 21 1
21 21 1
35 21 1
32 33 1
33 33 1
34 33 1
36 33 1
41 33 1
1: poço produtivo
0: poço improdutivo
21
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Pontos de coleta na bacia hidrográfica do Rio Araquá.
Metodologia geoestatística aplicada em
Ciências Agrárias
Talita Tanaka Fernandes, T. T. (2014). Krigagem Indicativa para
elaboração de mapas probabilísticos em Agricultura de
Precisão. Dissertação (Mestrado em Biometria) - Instituto de
Biociências/UNESP, Botucatu, .
SILVA, R. F. B. (2011). Planejamento do uso do solo em uma Bacia
Hidrográfica para conservação dos Recursos Hídricos. Dissertação
(Mestrado em Agronomia/Irrigação e Drenagem) – Faculdade de
Ciências Agronômicas/UNESP, Botucatu,..
8
6
85
Sph;20.000;40.000;3700
Fósforo: macronutriente importante devido a sua
participação na formação de componentes presentes no
núcleo das células vegetais
Potássio: essencial para as fases de crescimento vegetativo e
reprodutivo da cana de açúcar.
Saturação por bases: indica o estado de ocupação das cargas
da capacidade de troca catiônica total, ou seja, do total de
cargas negativas existentes no solo e qual proporção
ocupada pelos cátions úteis.
87
Sph;11.000;18.000;4000
88
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Areia
Krigagem ordinária
89
Argila
Krigagem ordinária
90
Krigagem indicativa
Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária – Embrapa (2013)
Areia: se <= 700, valor 0; se >700, valor 1,
Argila: se <=350, valor 0; se >350, valor 1,
Fósforo: se <=16, valor 0; se >16, valor 1,
Potássio: se <=3,1, valor 0; se >3,1, valor 1,
Saturação por Bases: se <=60, valor 0; se >60, valor 1.
91
92
23
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Regressão polinomial: análise de tendência
0
0
1 Grau
0
2 Grau
Y
3 Grau
Y
Y
VARIÁVEL
2
Dados com tendência
X
X
X
LINHA
Z
Efeito pepita puro
CURVA DE 3 GRAU
Z
Z
VARIÁVEL
3
???
X
X
X
PLANO
Y
93
0
PARABOLA
PARABOLOIDE
Y
0
SUPERFÍCIE DE 3 GRAU
Y
94
Ajustando uma superfície de tendência
de 1º grau
Regressão polinomial
Mapas de tendência:
Argila(a) e Areia(c)
Mapas de resíduos:
Argila(b) e Areia (d).
Dados interpolados
Dados originais
95
96
24
09/10/2014
Mapas de probabilidades de ocorrência
Krigagem Indicativa: locais com menor
concentração de areia e, por consequência, maior
teor em argila ocorrem maiores probabilidades de
presença de Fósforo (a), Potássio (b) e Saturação
por bases (c).
97
98
Muito obrigado pela atenção!
99
25