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Mecânica
Preparado por: Tendayi CHIHAKA
Universidade Virtual Africana
Université Virtuelle Africaine
Universidade Virtual Africana
Nota
Este documento é publicado sob as condições de uma Criação Conjunta
http://en.wikipedia.org/wiki/Crative_Commons
Atribuição:
http:creativecommons.org/licenses/by/2.5/License (abbreviated “cc-by”, Version2.5.
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Conteúdos I. Mecânica........................................................................................................................3 II. Pré-requisitos do curso ou conhecimento.....................................................................3 III. Tempo .........................................................................................................................3 IV. Material.......................................................................................................................3 V. Racionalidade do Módulo ............................................................................................3 VI. Conteúdo.....................................................................................................................4 VII. Objectivos gerais .......................................................................................................6 VIII. Objectivos específicos da aprendizagem .................................................................6 IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem .....................................................................6 X. Actividades de Aprendizagem ...................................................................................10 XI. Glossário (Conceitos - chave).................................................................................109 XII. Leituras Compulsórias...........................................................................................114 XIII. Lista Compilada deRecursos(Opcionais) Multimédia ........................................114 XIV Lista Compilada de Links úteis ............................................................................115 XV. Síntese do Módulo.................................................................................................116 XVI. Avaliação Final ....................................................................................................117 XVII Referências ..........................................................................................................123 XVIII. Autor Principal do Módulo ...............................................................................123 3
I. Mecânica
Por Sr. Tendayi Chihaka.
II. Pré-requisitos do curso ou conhecimento
Álgebra Linear 1 e Cálculo 3 são pré-requisitos.
III. Tempo
O tempo total de estudo para este módulo é de 120 horas.
IV. Material
Os estudantes deveriam ter acesso às leituras básicas mais tarde. Também precisarão de
um computador para terem acesso completo às leituras básicas e links da internet nos
materiais.
V. Racionalidade do Módulo
Este tópico de Mecânica tem sido tratado como o capítulo da Matemática que procura
explicar matematicamente o ambiente físico. É o capítulo da Matemática que reduz a
separação entre a ciência natural e a Matemática.
O módulo infundiu como sua base a Matemática moderna e a Matemática tradicional, com
os conceitos básicos de Cinemática – que é o estudo dos movimentos sem referência para
as forças que causam o movimento das partículas.
Cinética – que relaciona a acção de forças sobre as partículas e corpos com os seus
movimentos resultantes.
Dinâmica – o estudo das causas gerais de movimento.
Estáticas – a mecânica do equilíbrio de corpos estacionários.
Foram sugeridos exemplos práticos e as suas implicações para prática de sala de aula
quando e onde sejam apropriados no módulo de forma a ajudar o professor a proporcionar
o conhecimento da Mecânica aos estudantes.
4
VI. Conteúdo
6.1 Visão Geral
Este módulo é um curso do primeiro grau em Mecânica. O módulo começa com um
tratamento de vectores e operações com vectores e procura explicar todos os tópicos em
Mecânica nesta base. Espera-se que os estudantes matriculando-se para este curso se
familiarizarem com as noções básicas de força e o movimento resultante da sua aplicação.
Quatro áreas da Mecânica: Estática, Dinâmica, Cinética e Cinemática de partículas e
corpos rígidos são tratadas neste módulo.
O estudante é fortemente aconselhado a consultar fontes de Física sobre Mecânica
juntamente com este módulo para obter exemplos práticos, os quais são matematicamente
modelados no módulo.
6.2. Esboço: Programa
Unidade1: Força, Energia e Movimento
Nível 1. Prioridade A. Álgebra Linear 1 e Cálculo 3 são pré-requisitos.
Vectores, Velocidade e Aceleração: Produto escalar, produto vectorial, produtos triplos.
Derivadas de vectores, Integrais de vectores. Velocidade relativa e aceleração. A
aceleração tangencial e normal no movimento Circular. Gradiente, Divergência e Integrais
de linha e Independência de percurso.
A Lei de movimento de Newton - Trabalho, Energia e Impulso: Trabalho, Potência a,
Energia cinética. Campos de forças conservadoras, Potencial, Conservação de energia.
Impulso, Torque e Momento angular, Conservação do Momento,
Movimento num Campo de Força uniforme. Queda livre e projécteis. Potencial e Energia
Potencial em um campo de força uniforme. Movimento de projécteis em um meio com
resistência.
Movimento com atrito. Por causa do volume de conteúdo nesta unidade, achou-se
prudente dividir esta unidade em duas partes - 1a e 1b.
Unidade 2: Oscilações
Nível 1. Prioridade A. e Mecânica 1 são pré-requisitos.
O Oscilador Harmónico Simples e o Pêndulo Simples: Energia de um oscilador harmónico
simples. Movimento super-amortecido, criticamente amortecido, sub - amortecido
extremamente – amortecido e sob cessação de movimento. Pêndulo simples. Oscilador
harmónico Bi e Tridimensional.
5
Unidade 3: Dinâmica
Nível 2. Prioridade B. Mecânica 2 é pré-requisito.
Forças centrais e Movimento planetário:
_ Equações de movimento para uma partícula num campo central;
_ Energia potencial de uma partícula em um campo central;
_ Conservação de energia. As leis de Kepler de movimento planetário.
Sistemas de Coordenada móveis:
_ Sistemas de coordenadas giratórios, Operações com derivadas, Velocidade, e
Aceleração num sistema móvel. Coriolis e aceleração centrípeta (e força). Movimento de
uma partícula relativamente à terra.
Sistemas de Partículas:
_ Conservação do Momento, Momento angular, Torque externo. Energia cinética,
Trabalho, Energia potencial. Princípio de trabalho virtual.
O princípio de D'ALembert. Foguetes e Colisões:
_ Problemas envolvendo massa variável. Foguetes, Colisões (directa e oblíqua).
Unidade 4: Corpos rígidos e Energia
Nível 3. Prioridade C. Mecânica 3 é pré-requisito.
Movimento plano de corpos rígidos:
_ O Teorema de Euler;
_O Teorema de Chasle;
_ Momento de inércia;
_ Rádio de gravitação;
_ Teorema dos eixos paralelos;
_ Teorema dos eixos perpendiculares;
_ Pares;
_ Energia cinética e Momento angular sobre um eixo fixo;
_ Princípio do momento angular;
_ Princípio de conservação de energia;
_ Princípio do trabalho virtual e o princípio de D'Alembert. Princípio de energia
potencial mínima.
6
6.3
Organizador gráfico
VII. Objectivos gerais
No final do módulo, o formando deveria ser capaz de:
o
Relacionar noções matemáticas com as quantidades físicas como força e
movimento;
o
Modelar alguns fenómenos físicos matematicamente como exigido para um ensino
efectivo da Mecânica na escola secundária;
o
Relacionar operações tradicionais de Mecânica com o cálculo vectorial e viceversa.
VIII. Objectivos específicos da aprendizagem
O estudante deve ser capaz de:
1.
Estar equipado com operações vectoriais;
2.
Estar infundido com as ferramentas básicas de análise em quantidades vectoriais;
3.
Infundir as ferramentas básicas de análise em vários tipos de movimento, por
exemplo, o Movimento Harmónico Simples.
IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem
Teste de Ideias Algébra Básica
Razão: Conferir a familiaridade do estudante com alguns conceitos assumidos no módulo
Perguntas:
1. Velocidade é a:
a.
taxa de mudança de deslocamento;
b.
taxa de mudança de velocidade;
c.
taxa de mudança de distância;
d.
taxa de mudança de tempo.
2. O que é que do seguinte é um grupo de vectores?
a.
velocidade, aceleração e tempo;
b.
deslocamento, velocidade e aceleração;
c.
direcção, deslocamento e velocidade;
d.
força, velocidade e tempo.
3. A resultante das velocidades 8ms-1 e 6ms-1 dispostas constituindo um ângulo recto é:
a.
12 ms;
b.
10 ms;
c.
7 ms;
7
d.
9 ms.
4. O momento de um corpo é:
a.
A massa de um corpo cronometra sua velocidade;
b.
O peso de um corpo cronometra sua velocidade;
c.
A massa de um corpo cronometra sua velocidade;
d.
O peso de um corpo cronometra sua velocidade.
5. A primeira lei de Newton sobre o movimento diz-nos que:
a.
Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso ou se está em movimento
move-se com uma velocidade até que pare;
b.
Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso ou permanece em
movimento até que actue sobre ele uma força resultante;
c.
Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso ou se está em movimento
ele move-se com uma velocidade constante até que actue sobre ele uma força resultante;
d.
Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso.
6. Um carro de massa 1.0x103 kg deslocando-se a 72 km/h-1 numa estrada horizontal é
obrigado a parar numa distância de 40 m pela acção dos freios e das forças de fricção.
Ache a força média de travagem.
a.
5.0 10 2 N ;
b.
5.0 10 3 N ;
c.
5.0 10 4 N ;
d.
5.0 101 N
7. Uma quantidade escalar tem:
a.
Apenas direcção;
b.
Apenas intensidade;
c.
Direcção e intensidade;
d.
Nenhuma das coisa acima.
8. Um trem que está se movendo com aceleração constante é observado a levar 20s e 30s
para viajar 400 metros sucessivos. Que distância vai ter que percorrer até que se
imobilize se aceleração permanecer constante?
a.
163.3 m;
b.
963.3 m;
c.
800 m;
d.
663.3 m.
9. A seguinte equação não é de movimento numa linha recta:
a.
v u at ;
1
x ut at 2 ;
b.
2
2
2
c.
v u 2ax ;
d.
v u at 2 .
10. Potência:
a.
É a habilidade para ter energia;
8
b.
c.
d.
È a habilidade para correr;
É a habilidade para ter velocidade;
É a habilidade para trabalhar.
11. Uma massa de 5 kg move-se num avião horizontal e liso com uma velocidade de 8 m/s,
estando preso a um ponto fixo no avião por um fio de comprimento 4 m. A tensão no
fio é:
a.
16 N;
b.
40 N;
c.
80 N;
d.
20 N.
12. Impulso está definido como:
a.
O produto de força e a distância;
b.
O produto de força e a massa;
c.
O produto de força e o tempo;
d.
O produto de força e a velocidade.
13. A velocidade angular da partícula é:
a.
Rádio de um círculo em cima da velocidade de uma partícula;
b.
Rádio de um círculo em cima da velocidade de uma partícula;
c.
Velocidade de uma partícula em cima do rádio de um círculo;
d.
Velocidade de uma partícula em cima do rádio de um círculo.
14. A força que deve ser mostrada pelas grades para o centro do círculo é:
a.
O momento sobre aquele eixo das forças internas que agem no corpo;
b.
O momento sobre aquele eixo das forças externas que agem no corpo;
c.
O momento sobre aquele eixo da velocidade do corpo;
d.
O momento sobre aquele eixo da aceleração do corpo.
15. Uma partícula de massa de 3 kg, em repouso numa mesa lisa e fixa a um ponto fixo na
mesa por uma corda de 1.2 m, está fazendo 300 rev/min. Ache A velocidade angular da
partícula é:
a.
10 rev/s;
b.
10 rad/s;
c.
5 rev/s;
d.
5 rad/s.
16. Uma máquina de massa de 80 Mg está se mudando para um arco de um círculo de rádio
de 240 m, a uma velocidade de 48 km/h. A força que deve ser mostrada pelas grades para o
centro do círculo é
a.
0.59 10 5 N ;
b.
0.59 10 4 N ;
c.
0.59 10 3 N ;
d.
0.59 10 2 N .
17. Diz-se que uma partícula move-se com movimento harmónico simples se:
a.
A partícula move-se de forma que a sua aceleração ao longo do seu caminho seja
dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia inversamente como sua distância
9
naquele ponto fixo;
b.
A partícula move-se de forma que sua aceleração ao longo do seu caminho seja
dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia directamente como sua distância
naquele ponto fixo;
c.
A partícula move-se de forma que sua velocidade ao longo do seu caminho seja
dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia directamente como sua distância
naquele ponto fixo;
d.
A partícula move-se de forma que sua aceleração ao longo do seu caminho seja
dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia directamente como sua velocidade
naquele ponto fixo.
18. Um pêndulo simples:
a.
Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio pesado
e balançando em um avião vertical;
b.
Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio leve e
balançando em todas as direcções;
c.
Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio pesado
e balançando em todas as direcções;
d.
Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio leve e
balançando em um avião vertical.
19. Qual dos seguintes não representa tipicamente um vector?
(a)
-5,
(b) (1, 2, 3),
(c) A,
4
(d) 8
3
20. Um Sub espaço de um espaço de vector:
a.
É também um espaço de vector;
b.
Não é um espaço de vector;
c.
Não é um espaço linear;
d.
É a metade de um espaço de vector.
Chave de resposta
1. a. ((b),(c),(d) têm quantidades escalares velocidade, distância e tempo respectivamente.
Então desde que velocidade seja um vector a está correcto)
2. b. (para (a) velocidade e tempo não são vectores, para (c) direcção não é um vector, para
(d) tempo não é um vector)
3. b. (usando o teorema de Pitágoras tome 8 ms-1 como o lado oposto e 6 ms-1 como o lado
adjacente, então o lado resultante será 10 ms-1)
4. c. (impulso é o produto da massa e da velocidade desde que a partícula esteja se
movendo numa direcção particular. Assim (a), (b) e (d) não são correctos)
5. c. ((c) está correcto porque o corpo está movendo-se para uma direcção particular e só
pára quando uma força atrito, por exemplo, é aplicada sobre ele).
6. b. (A velocidade inicial é de 72 km/h ou 20 m/s e a velocidade final 0 m/s e assim
aceleração é 5 m/s-1, dado que força é a aceleração vezes a massa dando a resposta em (b))
7. b. (uma quantidade de vector é tal que tem valor e direcção, assim (b) está correcto)
8. a.
9. d. ((d) não é a equação de uma linha recta por causa do t na equação. As outras equações
10
estão correctas)
10. d. (potência é força vezes velocidade ou a taxa de realização de trabalho, assim (d) está
correcto.
11. c. (aqui olha-se para o movimento em um círculo, assim aceleração para o ponto fixo é
(velocidade)2 rácio 64/4= 16 ms-2 então a tensão é massa vezes aceleração = 5×16 = 80 N)
12. c.
13. d.
14. b.
15 b. (o movimento está num círculo assim multiplicam-se as rotações feitas por segundo
por 2 desde que cada rotação seja feita para além de 2)
16. a. (48 km/h = 40/3 ms-1 e a força exercida é mv2/r = 80000 x (40/3)2/240)
17. b.
18. d.
19. a. ((c) normalmente representa um vector ou matriz, (b) e (d) representam vectores)
20. a.
Comentário pedagógico para Estudantes
A pré - avaliação foi projectada de modo a introduzir para os estudantes as noções básicas
de cinética e cinemática. Ela abarca conceitos como: identificar as equações de movimento
em uma linha recta, familiaridade de noções básicas com processos algébricos básicos.
Uma contagem de 50% ou menos deveria ser um motivo de preocupação e exigirá que os
estudantes revisitem o nível "O" de Álgebra e seus processos. É essencial que o estudante
leia amplamente sobre os conteúdos que não lhe são familiares, como é importante ter estes
conhecimentos prévios antes de embarcar nas unidades seguintes.
X. Actividades de Aprendizagem
Unidade 1a: Vectores, Cálculo de Vector, Velocidade e Aceleração
Objectivos específicos de aprendizagem
Ao terminar estas actividades o estudante deve ser capaz de:
Definir vectores e executar operações em vectores;
Diferenciar e Integrar funções vectoriais;
Definir a velocidade e a aceleração em termos de vectores e descrever as relações
entre velocidade e aceleração;
Dar situações apropriadas, definir e calcular as velocidades e acelerações relativas
de corpos em movimento;
Descrever o movimento circular e calcular a aceleração tangencial e normal de
partículas que se movem em movimento circular;
Definir e aplicar os conceitos de gradiente e divergência;
Definir e avaliar integrais de linha e independências de caminhos.
Resumo da actividade de aprendizagem
O estudante familiar-se-á com cálculo de vector elementar e com a sua aplicação para o
11
movimento em dois e três dimensões nesta actividade.
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001) Classical Mechanics: Na Introductory Course Austin, Texax UTP
Ligações pertinentes e Recursos
Vectores
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial)
Função vector-valued
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function
Aceleração
http://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration
Velocidade
http://en.wikipedia.org/wiki/Velocity
Divergência
http://en.wikipedia.org/wiki/DIVERGENCE
Curl
http://en.wikipedia.org/wiki/CURL
Gradiente
http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient
Gradiente
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/gradi.html
Palavras - chave (para descrição/definição veja o glossário)
Escalar
Vector
Velocidade
Aceleração
Função
Preenchendo a lacuna
Um sargento do exército dá a ordem seguinte a um grupo de soldados recrutas numa
parada: "Caminhem durante cinco horas."
A outro grupo ordena: "Corram por cinco quilómetros"
A um terço ele grita: “Dobrem; dez quilómetros por hora! "
Como se sabe muito bem, aos recrutas de exército não é permitido questionar sobre as
ordens dadas por um superior.
Descreva a situação no lugar da parada imediatamente depois destas ordens e as possíveis
perguntas que cada recruta poderia estar fazendo para ele próprio.
O que aconteceria se o sargento tivesse dado instruções semelhantes a um grupo de pilotos
com os dados e a terminologia apropriada?
Descrição detalhada das actividades
Nesta actividade, revisitam-se as ideias de vectores e funções vectoriais com a intenção de
12
explorar o cálculo vectorial. Usam-se então os resultados do cálculo vectorial para definir
velocidade, aceleração, força na Actividade 2 e finalmente discuti-se o movimento de
partículas e corpos em várias situações na Actividade 3. O estudante terá oportunidade para
examinar várias situações de problemas e soluções como também oportunidades para
resolver problemas por conta própria.
1a.1 Vectores e Escalares
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial)
1a.1.1 Exemplos de Quantidades de Escalar
Vectores são quantidades que não só requerem um valor, mas uma direcção para os
especificar completamente. Ilustre-se com alguns exemplos de
quantidades que não são vectores. O número de litros de
gasolina no tanque de gasolina de um carro é um exemplo de
uma quantidade que pode ser especificada por um único
número--- não faz sentido nenhum falar-se sobre uma
"direcção" associada à quantia de gasolina num tanque. Tais
quantidades que podem ser especificadas dando um único
número (em unidades apropriadas) são chamadas escalares.
Outros exemplos de quantidades escalares incluem a
temperatura, a massa, ou a população de um país; estes são
escalares porque eles estão completamente definidos por um único número (com unidades
apropriadas).
1a.1.2 Exemplos de Quantidades de Vector
Porém, considere uma velocidade. Se nós dizemos que um carro vai a 70 km/h, não
especificamos seu movimento completamente, porque não especificamos a direcção em
que vai. Assim, a velocidade é um exemplo de uma quantidade de vector. Um vector requer
geralmente mais que um número para o especificar; neste exemplo nós poderíamos dar o
valor da velocidade (70km/h), uma bússola para especificar a direcção (diga 30 graus do
Norte), e um número que dá o ângulo vertical com respeito à superfície da Terra (zero
graus menos em cenas de perseguição nos filmes de acção!). A figura ao lado mostra um
sistema de coordenadas típico para especificar um vector em termos de um comprimento r
e dois ângulos e
1a.1.3 Vectores em 2-d e 3-d
Definição: As formas componentes de um vector v em 2-d e 3-d cujo ponto inicial é a
origem e cujos pontos terminais são x1 , x 2 e x1 , x 2 , x3 respectivamente, são dados por:
Definição: O comprimento de um vector v será definido como:
v
x1 , x 2 ,
para 2-d e
13
v
x1 , x2 , x3
para 3-d
Definição: Se v é um vector não-nulo no espaço 2-d ou 3-d, então o vector,
v
1
u
v
v
v
tem o comprimento 1 na direcção de v.
Definição: Os vectores unitários standards (1, 0) e (0, 1) em 2-d e em 3-d são:
1,0,0, 0,1,0 e em 3-d são (0,0,1)
i = (1,0) e j = (0,1) e
i = (1,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1)
Suponha-se que se fez um trabalho sobre adição de vectores e multiplicação escalar e as
únicas operações que se vão discutir aqui sejam o produto escalar e produto vectorial.
Porém, o texto básico tem secções que tratam destas operações como está indicado abaixo.
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânica Clássica: Um Curso Introdutório. Austin, Texas. UTP pp
34-38
N.B O estudante terá reconhecido que a adição de vectores descrita é a componente de
adição com que ele está familiarizado.
Valor do vector P. 35
Teorema de Pitágoras (3.6) P. 35
N.B Nota que valor de um vector também é chamado de módulo do vector. Equação (3.6) e
(3.7)
Multiplicação escalar P. 35
Componente de multiplicação escalar 3.8 P. 36
Diagonais de um paralelogramo P. 36 - 38
N.B. Equações 3.9 - 3.13
Dicas pedagógicas
Isto dá uma interpretação geométrica de adição de vector e multiplicação escalar que são
uma ferramenta muito útil ao ensinar estudantes na escola secundária.
1a.1.4. O Produto escalar
O produto escalar de u u1 , u 2 e v v1 , v 2 é
u v u1v1 u 2 v 2
O produto escalar de u u1 , u 2 , u 3 e v v1 , v 2 , v3 é
u v u1v1 u 2 v 2 u 3 v3
N.B. v v v
2
Teorema: Se é o ângulo entre dois vectores não u e v, então,
14
cos
u v
u v
Definição: O trabalho feito, W por uma força que age ao longo da linha de movimento de
um objecto é determinado por
W = Força × distância = F PQ
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP
pp 40
N.B O produto escalar também é chamado de produto de "PONTO". A figura
geométrica apresentada na Figura 15 explica muito bem esta operação de vector.
1a.1.5 O produto vectorial (cruzado).
Definição: O produto vectorial de vectores u u1i u 2 j u 3 k e v v1i v 2 j v3 k é
u v u 2 v3 u 3 v 2 i u1v3 u 3 v1 j u1v 2 u 2 v1 k
Um modo mais conveniente é escrever isto como:
i jk
u v u1u 2 u 3
v1v 2 v3
que é o determinante de uma matriz 3x3. O estudante deve lembrar-se de recorrer ao seu
módulo em álgebra linear para se refrescar em propriedades de determinantes.
FAÇA ISTO
Verifique que as duas definições realmente são o mesmo.
N.B. O produto vectorial não é definido para vectores em 2-d
Teorema: Propriedades algébricas do produto vectorial
Sejam u e v vectores e c um escalar:
1.
uv vu
2.
u v w u v u w
3.
cu v cu v u cv
4.
u 0 0u 0
15
5.
uu 0
6.
u v w u v w
Teorema: Propriedades geométricas do produto vectorial.
Deixe u e v ser vectores não nulos e seja o ângulo entre eles.
1. u v é ortogonal a u e v.
2. u v u v sin
3. u v 0 se e só se a pessoa é um múltiplo de escalar do outro.
4. u v área de paralelogramo de lados u e v
N.B O produto vectorial pode ser usado torque - o momento M de uma força sobre um
ponto.
Exemplo: Se o ponto de aplicação da força for Q, o momento de F sobre P é
M = PQ × F
A intensidade do momento F mede a tendência do vector PQ girar no sentido horário
emtorno de um eixo dirigido ao longo do vector M
FAÇA ISTO
Exercício: Prove que u v u v sin onde u e v são vectores, o ângulo entre eles e x
o produto vectorial.
(Resposta): Sugestão. O estudante deve lembrar-se que sin 1 cos e que
2
u v
cos 2 2
u v
1a.1.6 O Produto escalar Triplo
Definição: O produto escalar triplo é o produto de ponto de u e v + w
u v w
Teorema: Para u u1i u 2 j u 3 k , v v1i v 2 j v3 k e w w1i w2 j w3 k
u v w =
16
FAÇA ISTO
Prove o teorema
1a.1.7 Funções válidas de Vectores
Definição: Uma função valor vector é uma função onde o domínio é um subconjunto dos
números reais e o contra - domínio é um vetor. Em outras palavras as funções valores
vectores associam um vedor a um número.
Mais especificamente,
Em 2-d
r (t ) x(t )i y (t ) j ou r (t ) x(t ), y (t ) ou
Em 3-d
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k ou r (t ) x(t ), y (t ), z (t )
O estudante notará a forte semelhança nas equações paramétricas. Na realidade há uma
equivalência entre as funções valores vectores e as equações paramétricas.
Exemplo
Esboce o gráfico de
r (t ) (t 1)i t 2 j
Solução
Puxar-se-ão vectores para vários valores de t e conectar-se-ão os pontos. Note-se que o
gráfico é igual a:
y ( x 1) 2
17
1a.1.8 Cálculos em Funções valores vectores
A definição formal da derivada de uma função valor vector é bem parecida com a definição
da derivada de uma função com valores reais.
1a.1.9 A Derivada de uma Função de valor vector
Seja r(t) uma função valor vector, então r ' (t ) lim
h 0
r (t h) r (t )
x' (t )i y ' (t ) j
h
Porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas, podem-se achar a derivada de cada
um dos componentes da função valor vector para achar a sua derivada.
Veja-se este link: http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function
Exemplos:
d dt 3i sin tj cos tj
d dt 3t 2 i cos(4t ) j te t k 6ti 4 sin(t ) j e t te t k
1a.1.10 Propriedades de diferenciação de Funções valores vectores
Todas as propriedades de diferenciação servem para funções valores vectores. Além disso
porque há uma variedade de modos de definir a multiplicação, há uma abundância de
regras de produto.
Suponha-se que v(t) e w(t) são funções valores vectores, f(t) é uma função de escalar, e c é
um número real então:
1.
d dt v(t ) w(t ) d dt v(t ) d dt w(t )
2.
d dt cv(t ) c d dt v(t )
3.
d dt f (t ) v(t ) f ' (t )v(t ) f (t )v' (t )
4.
v(t ) w(t ) ' v' (t ) w(t ) v(t ) w' (t )
v(t ) w(t ) ' v' (t ) w(t ) v(t ) w' (t )
d dt v( f (t )) v' f (t ) f ' (t )
5.
6.
1a.1.11 Integração de funções valores vectores
Definição: define-se o integral de função valor vector como o integral de cada
componente. Esta definição é válida para ambos integrais definidos e indefinidos.
1. Se r(t) = x(t)i +y(t)j onde x e y são contínuos em [a, b] então
18
r
t
dt
x
t
dt
i
y
t
dt
(
)
(
)
(
)
je
b
b
r
(
t
)
dt
x
(
t
)
dt
i y (t )dt j
a
a
a
b
2. se r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, e x, y, e z são contínuos em [a, b] então
r
(
t
)
dt
x
(
t
)
dt
i
y
(
t
)
dt
j
z
(
t
)
dt
k
Exemplo
Avalie
3
sin t i 2tj 8t kdt
Solução
Apenas tome o integral de cada componente
( (sin t )dti ) ( 2tdtj ) ( 8t 3 dtk )
( cos t c1 )i (t 2 c 2 ) j (2t 4 c3 )k
Note-se que se introduziram as três diferentes constantes, uma para cada componente e que
as três constantes escalares produzem uma constante do vector.
Actividade 1a.2 Velocidade e Aceleração
Defina velocidade e aceleração em termos de vectores e descreva as relações entre
velocidade e aceleração
Situações apropriadas dadas, defina e calcule as velocidades relativas e acelerações de
corpos em movimento.
1a.2.1 Velocidade
Veja-se este link: : http://en.wikipedia.org/wiki/Velocity
Definição: Velocidade e Velocidade
Num único cálculo de variável a velocidade é definida como a derivada da função de
posição. Para o cálculo de vector, faz-se a mesma definição para ambos os espaços 2-d e 3d.
Seja r(t) uma função valor vector diferenciável que representa o vector posição de uma
partícula num tempo t. Então o vector velocidade é a derivada do vector de posição.
19
No espaço2-d:
r (t ) x(t )i y (t ) j e velocidade = v(t ) r ' (t ) x' (t )i y ' (t ) j
O módulo da velocidade = v(t ) r ' (t )
x' (t )2 y ' (t )2
No espaço 3-d: r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k e Velocidade
= v(t ) r ' (t ) x' (t )i y ' (t ) j z (t )k
O módulo da velocidade = v(t ) r ' (t )
x' (t )2 y' (t )2 z ' (t )2
Exemplo
Ache o vector velocidade v(t) se o vector posição for r (t ) 3ti 2t 2 j sin tk
Basta acharmos a derivada
v(t ) 3i 4tj cos tk
N.B. Quando se pensa em velocidade, pensa-se no quão rápido se caminha. Velocidade não
deveria ser negativa. Num cálculo da variável, a velocidade era o valor absoluto da
velocidade.
Para o cálculo de vector é o módulo da velocidade.
1a.2.2 Movimento em uma dimensão
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas pp1831 de UTP
Esta secção introduz os conceitos de deslocamento, velocidade e aceleração e o movimento
de uma partícula variando as velocidades tais como constante, uniforme e assim por diante.
O estudante deveria poder relacionar as ideias do vector posição ao importante conceito de
deslocamento.
Discussão: São os dois conceitos de deslocamento e de vector posição o mesmo?
1a.2.3. Movimento em três dimensões
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP p
33-52
N.B. O estudante deveria notar a introdução do plano Cartesiano tridimensional para prover
um quadro de referência satisfatório para descrever o movimento nas três dimensões.
Para exemplos práticos o estudante pode usar a ideia de uma aeronave levantando o voo
20
num aeroporto.
Em qualquer momento dado, a sua posição com referência para o aeroporto pode ser
descrita fazendo as perguntas
Quão distante para norte está o avião do aeroporto?
Quão distante a leste?
1a.2.4 Aceleração
Veja-se este link: http://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration
Num cálculo da variável, define-se a aceleração de uma partícula como a segunda derivada
da função posição. Nada muda para o cálculo vectorial.
1a.2.5. Definição de Aceleração
Seja r(t) função valor vector diferenciável duas vezes representando o vector posição de
uma partícula em tempo t. Então o vector aceleração é a segunda derivada do vector
posição.
No espaço, 2-d r (t ) x(t )i y (t ) j e aceleração = a(t ) r ' ' (t ) x' ' (t )i y ' ' (t ) j
No espaço, 3-d r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
e aceleração = a(t ) r ' ' (t ) x' ' (t )i y ' ' (t ) j z ' ' (t )k
Exemplo
Ache a velocidade e a aceleração da função de posição
r (t ) 4ti t 2 j
quando t = -1. Depois esboce os vectores
Solução
O vector velocidade é
v(t ) r ' (t ) 4i 2tj
Calculando para t = -1 dá
v(1) 4i 2 j
Fazendo a outra derivada acha-se a aceleração
a(t ) v' (t ) 2 j
Abaixo está a figura dos vectores
21
FAÇA ISTO
Esboce a trajectória do movimento de um objecto cujo vector posição é
r (t ) t 2 4i j
FAÇA ISTO
Um objecto a partir do repouso em P(1, 2, 0) tem a aceleração
a (t ) j 2k
Onde a(t ) é medido em ms-2. Ache a localização do objecto após 2 segundos
O estudante não deve virar a página até que tenha acabado!
22
Resposta
Têm-se como condições iniciais v(0) = 0 e r(0) = x(0)i + y(0)j + z(0) k
i.e. r(0) = 1i + 2j + 0k = i + 2j
v(t ) a(t )dt ( j 2k )dt tj 2tk C onde C C1i C 2 j C 3 k
Quando t = 0, v(0) C1i C 2 j C 3 k 0 C1 C 2 C 3 0
Assim a velocidade a qualquer instante t é:
v(t ) tj 2tk
1
Agora r (t ) v(t )dt ( j 2k )dt t 2 t 2 k C onde C C 4 i C 5 j C 6 k
2
Também r (0) C 4 i C 5 j C 6 k i 2 j C 4 1C 2 , C 5 2, C 6 0
1
Assim r (t ) i t 2 2 j t 2 k
2
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP,
Movimento com velocidade constante p23
Movimento com aceleração constante p24
Equações de movimento em uma linha recta p26
1a.2.6 Movimento de Corpos em queda
A Física Aristotéliana diz que a velocidade de um corpo em queda depende completamente
do seu peso, assim uma pedra de um Quilograma cairá mais rápido que uma pedra de meio
- quilograma. Galileu negou isto, justificando que todo o corpo cai com a mesma rapidez e
aceleração, por exemplo, se alguém tem uma pedra em sua mão, e de repente deixa de a
segurar, ela cairá ao chão com velocidade V. E, se tem um papel e lança-o ao chão sua
velocidade de queda será agora v (uma velocidade menor), mas se fizer uma pequena
"bola" com o papel, a sua velocidade será V. (o mesmo que a pedra). Daqui postulou ele
que a velocidade não depende do peso, toda vez a aceleração é a mesma, mas no caso do
papel claro o ar tem mais resistência e isso é a causa da velocidade menor. Esta experiência
foi feita por Galileu na Torre de Pisa.
1a.2.7 Experiência
Propósito
Nesta experiência o estudante poderá ver a aceleração de diferentes objectos e os comparar
como Galileu (o precursor de Einstein) fez.
Materiais
Uma bola de ténis;
Uma bola de futebol;
23
Um caderno;
Uma folha.
Procedimento
1.
Levam-se ambas as bolas.
2.
Seguram-se ao mesmo nível, tão alto quanto se pode (ombro, em frente, etc.).
3.
Largam-se ao mesmo tempo para o chão.
4.
Ambos alcançam o solo ao mesmo tempo.
5.
O estudante pensa que isto só acontece porque eles têm a mesma forma? Logo
deverá tentar isto com o caderno e com a bola de ténis.
6.
Ambos alcançam o solo ao mesmo tempo!
7.
Depois, deverá tentar com o caderno e com a folha de papel. O que acontece? Por
que isto acontece?
8.
Depois deve fazer-se uma pequena "bola" com a folha de papel e repetir a
experiência.
9.
Eles deveriam alcançar o chão ao mesmo tempo. Porquê?
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP,
Queda livre sob acção da gravidade p 26-28
P28-31 de exemplos
FAÇA ISTO
Exercício
Uma criança apoia-se fora de uma janela de um edifício de uma altura 10 m do chão.
Ela lança verticalmente para cima uma bola com uma velocidade inicial de 12m/s. Qual é a
altura máxima sobre o chão alcançada pela bola e qual é o tempo total que ela leva até
golpear o chão?
Resposta: O estudante deveria chegar a estas respostas:
Altura de máxima = 17.4 m e tempo total decorrido = 3.11s.
24
1a.2.8 Movimento de Projéctil
N.B. Isto deveria ser lido com a secção sobre as leis de Newton na Actividade 2.
Como já se mencionou antes será assumido que a única força que age sobre o projéctil
depois do seu lançamento é a força de gravidade. Assim o movimento acontece em um
plano vertical.
Para um projéctil de massa m, a força devido à gravidade é:
F mgj
Comparando isto com
F ma (da segunda lei de movimento de Newton) pode ter-se
a gj que se torna vector aceleração.
Agora, como se mostra no diagrama acima, se o projéctil é lançado com velocidade inicial
v o e da posição r o então:
v(t ) a (t )dt gjdt gtj C1
1
r (t ) v(t )dt ( gtj C1 )dt gt 2 j C1t C 2
2
Agora v(0)= v o e s(0)= s o e isto implica que
C1 vo e C 2 s o
E então r (t ) 4ti
Recorde-se que
1 2
gt j tv o r0 o que dá ao vector posição
2
25
vo xi yj v o cos i vo sin j v o cos i vo sin j
1
Substituindo na expressão anterior, tem-se r (t ) gt 2 j tv o cos i tvo sin j hj onde
2
h é a altura inicial sobre o chão.
Rearranjando, tem-se a Função de posição de um Projéctil como:
1
r (t ) v o cos ti h vo sin t gt 2 j
2
FAÇA ISTO
Uma catapulta lança uma pedra de 3m acima do chão e a um ângulo de 45o da horizontal a
100 m/s. Ache a altura máxima da pedra. Passará a pedra por cima de uma parede de 10 m
de altura, localizada a 300m do ponto de projecção?
O estudante não deve virar a página até que tenha acabado!
26
Resposta
Deu-se, h=3, vo 100 , e 45 o
. Usando g = 9.8 ms-1.
4
r (t ) 100 cos ri 3 100 sin t 4.9t 2 j
4
4
50 2t i 3 50 2t 4.9t 2 j . .
A altura máxima dá-se quando a componente vertical de v é 0.
25 2
segundos
Isso é: y ' (t ) 50 2 9.8t 0 significa que t
4.9
25 2
25 2
4.9
Altura máxima é: y 3 50 2
4.9
4
.
9
2
FAÇA ISTO
Simplifique a anterior equação e ache o valor actual de y
Para a parede, x(t ) 300 50 2t
O que significa t 3 2 e y 3 50 2 (3 2 ) 4.9(3 2 ) 2 3 300 88.2 214.8
Isto significa que a pedra atinge a parede.
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP
Projéctil movimento P41-44
1a.2.9 Movimento Circular
Em geral, o movimento circular é a rotação ao longo de um círculo, uma trajectória
circular ou uma órbita circular.
A rotação ao redor de um eixo fixo de um corpo tridimensional envolve movimento
circular de suas partes. Pode falar-se sobre o movimento circular de um objecto se se
ignorar o seu tamanho, de forma que se tenha o movimento de uma massa de um ponto em
um avião.
Exemplos de movimento circular são: de um satélite artificial orbitando a Terra em órbita
geosincrónica, uma pedra que é amarrada a uma corda e está sendo balançada em círculos
(lançamento de martelo), um carro de corrida que vira por uma curva em uma pista de
corridas, um electrão que se move perpendicularmente a um campo magnético uniforme,
um torneamento de engrenagem dentro da caixa de câmbio de um carro.
Um tipo especial de movimento circular é quando um objecto gira em volta do seu próprio
27
centro de massa. Isto pode ser chamado movimento giratório ou movimento rotacional e
será discutido num módulo posterior. Seguramente, o estudante pode avançar com seus
próprios exemplos de movimento num círculo.
O movimento circular envolve a aceleração do objecto comovente por uma força
centrípeta que puxa o objecto comovente para o centro da órbita circular. Sem esta
aceleração o objecto mover-se-ia inercialmente em linha recta, tangente ao círculo, de
acordo com a primeira lei de movimento de Newton. O movimento circular é acelerado
através da direcção. O estudante deveria deduzir a partir disto que o vector de aceleração e
o vector de velocidade são ortogonais.
Leituras obrigatórias
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânica Clássica: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP,
Introdução P. 136
Movimento Circular Uniforme P. 136 - 138
N.B. Equações 7.1 - 7.11
Aceleração Centrípeta P. 138 - 141
N.B. Equações 7.12 - 7.17
Definição: Aceleração Centrípeta (7.15) p139
O Pêndulo Cónico p 141 - 142
N.B. Equações 7.18 - 7.25
Movimento circular não uniforme P. 143 - 147
Explicações: Vector unitário radial P. 143
Vector unitário tangencial P. 143
Velocidade radial e velocidade tangencial P. 144
Aceleração radial e aceleração tangencial P. 144
N.B. Equações para anotar (7.26) - (7.45)
O Pêndulo vertical P. 148 - 150
N.B. Equações para anotar 7.46 - 7.53
Figura animada)
N.B. Equações 7.54 - 7.64
O estudante deve anotar a aproximação diferente que não esteja baseada na Álgebra
vectorial e as equações tradicionais que são empregues no seu texto de leitura
obrigatória.
Exemplo
Ache o vector velocidade, o módulo da velocidade, e o vector aceleração do círculo.
t
t
r (t ) 2 sin i 2 cos j
2
2
E esboce o círculo.
Solução.
O vector velocidade é:
28
t
t
v(t ) r ' (t ) 2 sin i 2 sin j
2
2
A velocidade em qualquer instante é:
r ' (t ) cos 2
t
t
sin 2 1
2
2
O vector aceleração é
1
t
1
t
a (t ) r ' ' (t ) sin i cos j
2
2 2
2
N.B. As equações paramétricas para a curva são:
x 2 sin
t
2
e
y 2 cos
t
2
FAÇA ISTO
Exercício
Verifique se a equação rectangular do círculo é:
x2 y2 4
FAÇA ISTO
Exercício
Uma partícula começa do repouso no ponto P(1,2,0) com a aceleração
a(t ) j 2k
nas unidades habituais. Ache a posição da partícula depois de 2 segundos
29
O estudante não deve virar a página até que tenha acabado!
30
Resposta
O estudante deveria poder deduzir que:
v(0) 0
e
r (0) x(0)i y (0) j z (0)k
1i 2 j 0k
i2j
Para achar a função da posição ele tem que integrar duas vezes, de cada vez usando uma
das condições iniciais para achar as constantes de integração. Assim,
v(t ) a(t )dt j 2k dt tj 2tk C
onde
C C1i C 2 j C 3 k
Quando t = 0, e v(0) = 0 adquire-se
v(0) C1i C 2 j C 3 k 0 C1 C 2 C 3 0
Assim a velocidade a qualquer instante t é:
v(t ) t ( j ) 2t (k )
Quando se integram mais uma vez produz-se
t2
r (t ) v(t )dt tj 2tk dt
j t 2k C
2
onde C C 4 i C 5 j C 6 k
Quando t = 0 e r (0) i 2 j tem-se
r (0) C 4 i C 5 j C 6 k i 2 j C 4 1, C 5 2, C 6 0
Assim o vector posição é:
t2
r (t ) i 2 j t 2 k
2
A posição da partícula depois de 2 segundos é r (2) i 4 j 4k
dada pelas coordenadas (1,4,4)
31
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP p
136-160
Note-se que na leitura obrigatória introduzem-se noções de velocidade angular, aceleração
centrípeta e assim por diante. Esta secção deveria ser lida com as secções em movimento
curvilíneo abaixo e o estudante deveria poder encontrar aspectos comuns entre o
movimento circular e movimento curvilíneo que são uma extensão do movimento secular.
1a.2.10 Velocidade Relativa
Pode-se descrever a posição de um corpo e a sua velocidade com referência à origem de
um determinado sistema de coordenadas. Ordinariamente, esta origem é fixada noutro
corpo o qual pode estar em movimento relativo a um terceiro e assim por diante. Por
exemplo, quando se fala da velocidade de um carro, normalmente, quer-se dizer a
velocidade do carro relativa à terra… Mas a terra está em movimento relativo ao sol… o
sol está em movimento relativo à alguma outra estrela…. e assim por diante…..
Suponha-se que um comboio longo esteja se movendo a direita ao longo de uma linhaférrea rectilínea e um atleta esteja correndo no comboio para direita.
O Diagrama de um homem correndo no comboio. O diagrama
u TE representa a velocidade do comboio T relativa à terra E,
u AT representa a velocidade do atleta A relativa ao comboio T.
A velocidade do atleta relativo à terra u AE
é evidentemente igual à soma de u AT e u TE
u AE u AT uTE
N.B. A velocidade u AE é a soma algébrica de u AT e u TE e quando se combinam velocidades relativas
Escreva cada velocidade com uma subscrição dupla no próprio significado de ordem
"velocidade de (primeiro subscrição) relativa à (segunda subscrição).
Quando as velocidades são somadas, a primeira letra de qualquer subscrição tem que ser a
mesma com a da última letra da segunda subscrição.
A primeira letra da subscrição da primeira velocidade na soma e a segunda letra da
subscrição da última velocidade são as subscrições, nesta ordem, da velocidade relativa
representada pela soma.
Estas três longas e incómodas declarações são muito importantes considerar quando se ensina a
adição de vectores, em geral onde as subscrições representam os próprios vectores.
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.UTP pp 44-48
(velocidade relativa)
32
Exemplos trabalhados
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório Austin, Texas. UTP
pp 48
1a.2.11 Movimento Curvilíneo
1a.2.12 Vectores Tangentes e Vectores Normais
Mostrou-se na última secção que o vector velocidade sempre aponta a direcção do
movimento. Nesta secção usa-se esta observação para alargar o aspecto mencionado a um
conceito que se aplica para qualquer curva lisa que não é necessariamente descrita em
termos de tempo.
1a.2.13 A Unidade Vector Tangente
A derivada de uma função valor vector dá uma nova função valor vector que é uma
tangente à curva definida. O análogo para o declive da linha tangente é a direcção da linha
tangente. Considerando que um vector contém um módulo e uma direcção, o vector
velocidade contém mais informação que se precisa. Pode-se tirar um vector do seu módulo
dividindo-o pelo seu módulo.
1a.2.14 Definição da Unidade Vector Tangente
Seja r (t) uma função valor vector diferenciável e v (t) = r’ (t) seja o vector velocidade.
Então define-se a unidade vector tangente como o vector unitário na direcção do vector
velocidade.
v(t )
v(t ) 0
,
T (t )
v(t )
Exemplo
Seja
r (t ) ti e t j 3t 2 k
Ache o T(t) e T(0).
Solução
Tem-se
v(t ) r´(t ) i e t j 6tk
e
33
v(t ) 1 e 2t j 36t 2
Para achar o vector unitário tangente, apenas divide-se
v(t )
i e t j 6tk
T (t )
v(t )
1 e 2t j 36t 2
Para se achar T(0)
T (0)
i e 0 j 6(0)k
1 e 2( 0) j 36(0) 2
i j
2
1
2
i
1
2
j
FAÇA ISTO
Mostre que o vector unitário tangente para a curva dada por
r (t ) ti t 2
j quando t = 1 é determinado por
1
(i 2 j )
5
N.B. Neste exercício a direcção vector unitário tangente é determinada pela orientação da
curva. Esboce a curva e verifique que o vector unitário tangente para a curva
r (t ) t 2i t 2 j no ponto (1,1)
seria ainda o mesmo mas apontará na direcção oposta.
2
FAÇA ISTO
Ache T(t) para a curva dada por
r (t ) 2 cos ti 2 sin tk no ponto quando t
4
e mostre que as equações paramétricas
para a linha tangente são:
x x1 as 2 2s
y y1 bs 2 2s
z z1 cs
4
s
usando o ponto (x 1 , y 1 , z 1 ) ( x1 , y1 , z1 ) ( 2 , 2 , )
4
34
1a.2.15 A Unidade Principal Vector Normal
Um vector normal é um vector perpendicular. Dado para um vector v no espaço, há
infinitamente muitos vectores perpendiculares. A nossa meta é seleccionar um vector
especial que é normal ao vector unitário tangente. Geometricamente, para uma curva não
recta, este vector é o único vector que aponta para dentro da curva ou, em outras palavras,
o único que aponta para o lado côncavo da curva. Algebricamente pode-se computar o
vector usando a seguinte definição.
Definição: Seja r (t) uma função valor vector diferenciável e seja T (t) vector unitário
tangente. Então a unidade principal vector normal N (26) é definida por
N (t )
T ' (t )
T ' (t )
Comparando isto com a fórmula para o vector unitário tangente, se se pensar no vector
unitário tangente como uma função válida do vector, então a unidade principal vector
normal é a tangente do vector unitário da unidade função de vector tangente. Você
encontrará que, achar a unidade principal do vector normal é quase sempre um incómodo.
A regra do quociente de diferenciação, normalmente aparece para complicar este
processo!
Exemplo
Ache a unidade vector normal para a função válida do vector
r (t ) ti t 2 j
e esboça a curva, a unidade tangente e a unidade principal vectores normais quando t = 1
Solução
Primeiro acha-se a unidade vector tangente
i 2tj
T (t )
1 4t 2
Depois usa-se a regra de quociente para achar T’ (t)
1 4t 2 j i 2tj 4t 1 4t
T ' (t )
2 1 2
2 12
1 4t 2
Como o vector de unidade na direcção de um determinado vector será o mesmo depois de
multiplicar o vector por um escalar positivo, pode-se simplificar multiplicando pelo factor:
1 4t 1 4t
2
2 12
O primeiro factor, o denominador, e o segundo factor adquirem o poder fraccionário. Temse
T ' (t )1 4t 2 1 4t 2
12
1 4t 2 2 j i 2tj 4t 4ti 2 j
Depois divide-se pela magnitude (depois de dividir primeiro 2) para obter
2ti j
N (t )
1 4t 2
35
Tampe-se 1 para em ambos a unidade vector tangente adquirir
1
2
T (1)
i
j
5
5
N (1)
2
5
i
1
5
j
O quadro debaixo mostra o gráfico e os dois vectores.
FAÇA ISTO (com um colega)
Dada a curva
r (t ) 3ti 2tj
Ache-se N(t).
Qual é o valor de N(t) quando t = 1
O estudante não deve virar a página até que tenha terminado o problema!
Solução
r ' (t ) 3i 4 j e r ' (t ) 9 16t 2
T (t )
1
r ' (t )
3i 4tj
r ' (t )
9 16t 2
36
1
T ' (t )
9 16t 2
12
9 16t
2
T ' (t ) 12
N (t )
4 j
3
16t
9 16t
2
3
3i 4tj
2
4ti 3 j
2
9 16t 2
9 16t
2 3
12
9 16t 2
T ' (t )
1
4ti 3 j
T ' (t )
9 16t 2
Substituindo por t = 1
N (t )
1
4i 3 j
5
1a.2.16 Componentes Tangentes e Normais de Aceleração
Imagine-se a si próprio conduzindo numa colina abaixo ao longo de uma estrada curva de
e de repente sente falta dos travões. Como tu estás dirigindo, sofrerá duas forças (diferente
da força de terror) que mudará a velocidade. A força de gravidade fará o carro aumentar a
velocidade. Uma segunda mudança na velocidade será causada no carro ao passar a curva.
A primeira componente da aceleração é chamada a componente tangencial da aceleração e
a segunda é chamada a componente normal da aceleração. Como o estudante pode
adivinhar a componente tangencial da aceleração está na direcção do vector unitário
tangente e a componente normal de aceleração está na direcção da unidade principal
vector normal. Uma vez que se tem T e N o cálculo das duas componentes é directo.
Definição: A componente tangencial de aceleração é:
va
aT a T
v
e o componente normal de aceleração é:
va
aN a N
v
e
a a N N aT T
N.B. A componente normal da aceleração também é chamada a componente centrípeta da
aceleração.
Exemplo
Prove que o a (t de vector de aceleração) está no plano que contém T(t) e N(t)
37
Prova
Primeiro note isso:
v vT e
T ' T ' N
(N.B. Simplificou-se a anotação aqui usando, por exemplo, T para T (t) e assim por diante)
Tomando a derivada de ambos os lados dá
a v' v ' T v T ' v 'T v T ' N
Isto diz que o vector aceleração está no plano que contém o vector unitário tangente e o
vector unitário normal.
Exemplo
Ache as componentes tangencial e normal da aceleração para o exemplo anterior
r (t ) ti t 2 j
Solução
Tomando duas derivadas tem-se
a(t ) r ' ' (t ) 2 j
Multiplicou-se escolarmente o vector aceleração com as unidades dos vectores tangencial e
normal
4t
aT (t ) a T
1 4t 2
a N (t ) a N
2
1 4t 2
FAÇA ISTO
Exercício: Mostre que Se r (t ) 3ti tj t 2 k então aT
Exercício
A função de posição para um projéctil é determinada por:
r (t ) 50 2t i 50 2t 16t 2 j
Ache a componente tangencial da aceleração quando:
25 2
t = 0,1 e
16
4t
10 4t 2
e aN
2 10
10 4t 2
38
O estudante não deve virar a página até que tenha terminado o problema!
Solução
v(t ) 50 2i 50 2 32t j
v(t ) 2 50 2 16(50) 2t 16 2
Actividade 1a.3 Gradiente, Divergência e Torção
Esta secção está completamente coberta na análise de um módulo deste curso. Os
estudantes podem rever a sua compreensão neste trabalho recorrendo às leituras
obrigatórias dadas na análise do módulo.
1a.3.1 Divergência
No cálculo vectorial, a divergência é uma operadora que mede a tendência de um campo
vectorial para originar ou convergir num determinado ponto. Por exemplo, para um
campo vectorial que indica a velocidade do ar que se expande como estaria sendo
aquecido, a divergência do campo de velocidade teria um valor positivo porque o ar
estaria expandindo-se. Reciprocamente, se o ar estivesse esfriando e contraindo-se, a
divergência seria negativa.
Um campo vectorial que tenha divergência zero em todos lugares é chamado solenoidal.
Sejam x, y, z um sistema de coordenadas Cartesianas de um espaço Euclidiano 3dimensional, e sejam i j k a base correspondente de vectores unitários.
A divergência de um campo vectorial continuamente diferenciável F F1i F2 j F3 k é
definida para ser a função valorizada escalar:
divF F
F1 F2 F3
x
y
z
Interpretação física
Em termos físicos, a divergência de um campo vectorial tri-dimensional é a extensão até a
qual o fluxo do campo vectorial se comporta como uma fonte ou uma absorção num
determinado ponto. Realmente, uma alternativa, mas uma definição logicamente
equivalente, dá a divergência como a derivada do fluxo líquido do campo de vectores pela
superfície de uma esfera pequena relativa ao volume da esfera. (Nota-se que se está
imaginando o campo de vectores como o campo de vector de velocidade de um fluido (em
movimento) quando se usa o termo fluxo e absorção e assim por diante.)
Formalmente,
F ndS
divF ( p) lim
r 0 S ( r )
4 3
r
3
39
onde S(r) representa a esfera de rádio r em volta um ponto p em R 3 , e o integral é um
integral de superfície tomado com respeito a n, a normal àquela esfera.
Tendo em conta a interpretação física, um campo de vectores com divergência zero
constante é chamado incompressível - neste caso, nenhuma rede de fluxo líquido pode
acontecer em qualquer superfície fechada.
A intuição de que a soma de todas as fontes menos a soma de todas as absorções deveria
dar a rede de fluxo líquido fora de uma região, é feita com precisão pelo teorema de
divergência.
Veja-se este link
http://en.wikipedia.org/wiki/DIVERGENCE
1a.3.2 Curl
http://en.wikipedia.org/wiki/CURL
1a.3.3 Gradiente
Em cálculo de vector o gradiente de um campo de escalar é um campo de vectores que
aponta na direcção da maior taxa de aumento do campo escalar, e cujo valor é a maior taxa
de variação.
Considere-se uma sala na qual a temperatura é determinada por um campo escalar f, assim
a cada ponto (x, y, z) a temperatura é f (x, y, z) assume-se que a temperatura não muda a
tempo). Então, a cada ponto na sala, o gradiente àquele ponto mostrará a direcção na qual a
temperatura sobe depressa. O valor do gradiente determinará quão rápido a temperatura
sobe naquela direcção.
Considere-se uma colina cuja altura acima do nível do mar a um ponto (x, y). é H(x, y). O
gradiente de H a um ponto é um vector que aponta na direcção do declive mais íngreme
naquele ponto. A inclinação do declive naquele ponto é determinada pela grandeza do
vector gradiente
O gradiente também pode ser usado para medir como um campo escalar muda nas outras
direcções, mais do que uma direcção de maior variação, tomando um produto escalar.
Considere-se novamente o exemplo com a colina e suponha-se que o declive mais íngreme
na colina é 40%. Se uma estrada subir a colina directamente, então o declive mais íngreme
na estrada também será 40%. Se, pelo contrário, a estrada passar a colina a um ângulo com
a direcção para cima (o vector gradiente), então terá um declive superficial. Por exemplo,
se o ângulo entre a estrada e a direcção para cima, projectado sobre o avião horizontal, é
60°, então o declive mais íngreme ao longo da estrada será 20% que é 40% vezes o co-seno
de 60°.
Esta observação pode ser declarada matematicamente como se segue. Se a função de altura
da colina H é diferenciável, então o gradiente de H distribuído com o vector unitário dá o
declive da colina na direcção do vector. Mais precisamente, quando H é diferenciável o
produto de ponto do gradiente H com um determinado vector de unidade é igual à derivada
direccional de H na direcção daquele vector de unidade.
Baixe-se para as ligações
http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient
40
Exemplos Trabalhados
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório Austin, Texas pp154
de UTP - 159
Exercício
FAÇA ISTO
Ache-se o valor da aceleração no diagrama abaixo. Qual será o módulo e direcção se r =
100 m e v =15.0 m/s (aproximadamente 34 mph)?
O estudante não deve virar a página até que tenha terminado o problema!
Solução
Dado que o carro movendo-se numa estrada adequada é equivalente ao bolbo de um
pêndulo cónico, as condições de governar o vector a, são as mesmas que aquelas que
governam o equivalente ao vector a, para o pêndulo cónico. Quer dizer, os componentes
v2
horizontais e verticais de a s devem ser dados por a sx
e a sy g .
r
Como se usa o teorema de Pitágoras para achar o módulo do vector?
a s a sx2 a sy2
12
v 2
r
2
g 2
12
v4
2 g 2
r
12
Para os números dados, tem-se o módulo:
12
(15.0m / s ) 4
2
as
9.80m / s 2 10.1m / s 2
2
(100m)
ou aproximadamente 3 por cento mais que a aceleração de gravidade. Usando a equação
v2
tan
pode-se calcular o ângulo ideal. Tem-se:
rg
41
tan 1
v2
rg
tan 1
v2
rg
Assim a direcção de a s é aproximadamente 13o da vertical. Este é um ângulo relativamente
íngreme abaixo das condições ordinárias de estrada.
42
UNIDADE 1B: As Leis de Movimento de Newton
Objectivos de aprendizagem específicos
Ao final desta actividade o estudante deveria ser capaz de:
_Enunciar e aplicar as leis de movimento de Newton;
_Definir os conceitos de Trabalho, Energia, Potência e Impulso, e usá-los na resolução de
problemas relacionados;
_Enunciar as leis de conservação de energia e impulso;
_Definir os conceitos de impulso e torque;
_Descrever o movimento de corpos caindo e projécteis num campo de força uniforme;
_Descrever o movimento de corpos num meio em repouso;
_Definir o atrito e descrever o movimento de um corpo sujeito a determinados
constrangimentos;
_Descrever energia potencial como energia devido à posição e deduzir a energia potencial
como mgh;
_Descrever energia cinética como energia devido ao movimento e deduzir a energia
cinética como mv2/2;
_Enunciar as leis de conservação de energia e resolver problemas onde a energia seja
conservada;
_Definir a potência como taxa de transferência de energia;
_Definir torque e calcular o trabalho realizado por uma força variável ou torque;
_Resolver problemas onde a energia esteja dissipada devido ao atrito.
Resumo da actividade de aprendizagem
Nesta actividade o estudante familiarizar-se-á com as três leis de movimento de Newton e
com a sua aplicação nos campos relacionados com energia e com o impulso.
Leitura compulsória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas. UTP
Links pertinentes e Recursos
Atrito
http://en.wikipedia.org/wiki/Friction
Leis de Movimento de Newton
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton’s_laws_of_motion
Leis de Movimento de Newton
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/newt.html
http://www.waukesha.k12.wi.us/South/physics1/1.4/notes.html
Trabalho
http://en.wikipedia.org/wiki/Work
Trabalho
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/work.html
Energia Cinética
http://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy
Energia Cinética
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ke.html
43
Força
http://en.wikipedia.org/wiki/Power
Energia Potencial
http://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy
Energia Potencial
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pegrav.html
Lista de recursos de MULTIMÍDIAS pertinentes
Links de Física hiper activa
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Este link tem conteúdos introdutórios, diagramas muito bons de leis de Newton e suas
aplicações que ajudarão o estudante na sua progressão.
Simulações e Experiências nas Leis de Newton
www.compadre.org/precollege/static/unit.cfm?sb=3
http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/newtlaws/newtltoc.html
Palavras - chave
Impulso
Torque
Impulso
Energia
Força
Trabalho
1b. Actividade de aprendizagem: As Leis de Movimento de Newton
Introdução
Nesta actividade, o estudante familiarizar-se-á com as três leis que geralmente regulam o
movimento de partículas e de corpos no espaço - as três leis de movimento de Newton e
pode aplicá-las em situações da vida real. Através de perguntas relacionadas, exercícios e
experiências, o estudante será levado, pelo tema central que abarca todos os conceitos
nesta actividade, à noção fundamental de força. As relações entre força, movimento,
energia, impulso e outras noções relacionadas serão tratados com seu envolvimento
através de exemplos do quotidiano e seus modelos matemáticos.
44
Preenchendo a lacuna
Para além do exemplo do ficheiro;
O estudante vai dormir à noite e coloca a sua carteira na mesa auxiliar de cama. Sendo
todas as coisas iguais, o estudante deveria poder encontrar a sua carteira na mesma mesa
de lado da cama. Se por outro lado, o estudante encontrar a carteira na casa de banho o que
terá acontecido? Obviamente, a carteira não se pode mudar por si própria.
O que aconteceria se, ao se aproximar da paragem, numa estrada recta, os travões do
autocarro falhassem?
Que efeito têm os travões do autocarro no seu movimento?
Um motorista acorda pela manhã e depara-se com a bateria descarregada, ele solicita um
empurrão:
Uma pessoa dá-lhe um empurrão e o carro não se move.
Duas pessoas dão-lhe um empurrão, o carro move-se, “tosse” mas o motor não
arranca.
Três pessoas dão-lhe um empurrão e o veículo arranca.
Descreva o efeito das três situações no movimento do carro com ajuda de um colega.
Aqui está um cenário interessante: o estudante e o seu amigo querem coleccionar fruta de
uma árvore mas ele é muito baixo e precisa de algo para se elevar. O estudante adquire um
tamborete e tem sucesso obtendo a fruta. Seu amigo tenta a mesma coisa mas é mal
sucedido pois o tamborete se quebra.
Quais poderiam ser as possíveis razões do seu sucesso e do fracasso do seu amigo? O
tamborete não quebrou no seu caso mas foi assim no caso do seu amigo.
O estudante precisa alimentar-se para trabalhar. Porque?
O estudante coloca um livro numa mesa. O que faz o livro permanecer na mesa e não cair?
Dois veículos colidem e há danos mínimos.
O que acontece imediatamente depois das colisões? O que perguntaria um oficial de
investigação policial sobre o movimento dos dois carros?
Se o estudante não pôde responder ou explicar estes cenários então deve passar por toda a
actividade e tentar responder.
1b.1 As Leis de Movimento de Newton
Visite os links abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton’s_laws_of_motion
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/newt.html
45
1b.1.1 A Primeira Lei de Newton
Considere a secção acima “preenchendo a lacuna” e neste momento o movimento, de uma
carroça dirigida por dois bois. Se a carroça é desactada dos bois que estavam puxando, ela
vai rapidamente entrar em repouso, pois não há mais nenhuma força de tracção puxando a
ela.
Porém, outras forças também actuam sobre a carroça, como a força de atrito que ajuda a
abrandar a carroça.
A primeira lei de Newton resume estas ideias e é formulada do seguinte modo:
Todo objecto continua num estado de repouso ou de movimento uniforme numa linha
recta, a menos que seja compelido para mudar aquele estado por forças que actuam sobre
ele.
As implicações desta lei são as seguintes:
um objecto em repouso permanece em repouso, e
um objecto em movimento continua movendo-se com velocidade constante.
Inércia - a tendência de um objecto em manter o seu estado actual tanto de repouso como
de movimento.
46
Por causa da inércia, só forças externas podem alterar o estado de movimento de um
objecto; forças internas não podem.
Forças internas - forças geradas por uma parte de um sistema de objectos noutra parte do
mesmo sistema.
Exemplo: a mão esquerda empurra a direita. O motor de um carro empurra o veio de
transmissão, o qual empurra as rodas
Forças externas - forças geradas por algo fora do sistema de objectos.
Exemplo: Uma raquete de ténis bate numa bola de ténis. Seu pé chuta uma cadeira.
O ponto-chave: nenhuma mudança de movimento pode acontecer a menos que uma força
externa cause isso ao objecto.
N.B Devem ser tomados cuidados ao aplicar esta lei, pois só é segura para medidas feitas
num quadro de referência absoluto, mas está sujeito a correcção que depende da posição
relativa do observador.
1b.1.2 A Segunda Lei de Movimento de Newton
A aceleração de uma partícula é proporcional à força da resultante que actua nela e está na
direcção da força.
Outras interpretações são:
Quando há uma força líquida que actua sobre um objecto o objecto sofre uma aceleração na
mesma direcção da força.
A aceleração e a força são proporcionais em módulo.
A quantidade de inércia que um objecto possui é indicada pela sua massa.
Massa - A medida da resistência de um objecto para mudar o movimento.
Quanto maior for a massa de um objecto, mais resistente se torna a uma mudança do seu
movimento. Massas menores têm menos resistência para mudança de movimento.
Esta é uma definição operacional de massa, requer medida directa da mudança de um
objecto em movimento para determinar seu valor.
47
Se um objecto sofre uma força externa, não igual a zero, acelerará proporcionalmente ao
módulo da força, mas inversamente proporcional à sua própria massa.
Em forma de equação: FT Ma onde Força é (F) em Newtons, massa é (M) em Kg, e
aceleração é (a) em m/s2
Isto significa que a aceleração de um objecto depende da relação da força total com a
massa do objecto. A direcção da aceleração é a mesma que a da força total que a causou.
A segunda lei de Newton é o impulsionador do nosso mundo mecânico; relaciona as
mudanças em movimento de todos os objectos com as forças necessárias para provocar
essas mudanças. É uma equação simples de trabalhar, mas a sua aplicação pode ser
complicada como se verá na próxima secção.
Alguns exemplos:
a) Se uma força total de 10 N é aplicada sobre uma bola de 2 Kg, qual será a sua
aceleração?
b) Se alguém empurra um caixote de 2 Kg, com uma força de 25 N, para o deslizar pelo
chão, qual será a aceleração do caixote se a força de atrito for de 10 N?
48
Esta lei conduziu à equação:
F ma , F…força; m…massa; a…aceleração
Outro modo de formular esta lei é:
A taxa de mudança de impulso de um corpo é proporcional à força resultante e acontece na
direcção da força.
Modelando matematicamente esta lei tem-se: se o corpo muda a velocidade de u para v em
t segundos:
A mudança do momento linear é mv mu
A taxa de mudança de momento linear é
Assim F a F const a
mv mu
t
e segue, definindo a unidade de Força como o Newton F ma
1b.1.3 A Terceira Lei de movimento de Newton
As forças de acção e reacção entre corpos interagindo são iguais em módulo, opostas em
direcção e são co-lineares.
49
Simplesmente as forças são seres sociais, eles sempre operam em pares. Não é possível ter
uma força isolada ou única. Isaac Newton expressou isto um pouco mais formalmente:
Se um objecto exerce uma força sobre outro objecto, então e último exerce uma força
de igual módulo de volta sobre o primeiro.
A estas forças dá-se o nome de acção e reacção. Não há qualquer diferença em considerar
uma força de acção ou de reacção, desde que elas aconteçam simultaneamente e sejam
reversíveis.
Exemplo. O seu corpo empurra a cadeira, a cadeira empurra o seu corpo.
Uma raquete de ténis bate na bola, a bola bate na raquete.
Um ponto para lembrar:
Embora estas duas forças sejam iguais, mas orientadas de modo oposto, elas não se
anulam uma a outra. Elas operam sobre objectos diferentes assim, elas não podem ser
somadas.
Se você chuta numa cadeira, o pé exerce uma força sobre a cadeira. A cadeira exerce uma
força sobre o seu pé.
Veja-se que, uma força está na cadeira, a outra força está no pé; dois objectos diferentes.
A única força que pode anular alguma força aplicada é outra força aplicada sobre o mesmo
objecto.
A única força que pode anular a força do pé sobre a cadeira é a outra força sobre a cadeira,
como, por exemplo, o atrito entre a cadeira e o chão.
50
Recorda-se da inércia? Como uma força interna não pode causar uma mudança no
movimento? Aqui está como isso funciona no mundo real.
Levantando-se e saltando directamente para “dentro” do ar, dobram-se os joelhos,
empurra-se o chão e vai-se para cima, para “dentro” do ar. Diz-se "eu saltei."
De facto, não se pode fazer nada a si próprio, para se entrar no ar a partir do repouso no
chão. Tem que haver uma força externa actuando.
Porquê você empurra o chão? Para que ele empurre em si! Isso é parte acção/reacção da
operação. A força do chão sobre alguém é o que é preciso para lhe fazer andar. Belo
truque, não é? Por isso que levei você, por algum tempo para aprender como se caminha e
como se salta.
Mais simples: Se o corpo A exerce simplesmente uma força sobre o corpo B, então o corpo
B exerce uma força igual e oposta sobre o corpo A.
Assim, as forças nunca acontecem isoladamente mas aos pares como resultado da
interacção entre os corpos.
N.B. Nota-se isso em todos os sistemas que se estudam na Segunda Lei de Newton e,
também, implícita e explicitamente no estudo e uso da Terceira Lei de Newton.
Exemplos Trabalhados
Duas bolas uma de 0.70 kg e a outra de 7.0 kg ambas caiem para o solo com a mesma
aceleração descendente de módulo 9.8 m/s2.
Ache a força exercida pela gravidade em cada bola.
Falta a figura
Figura: Duas massas com a força de gravidade actuando sobre elas
51
Pela Segunda Lei de Newton,
Para o cesto menor
w mg 0.20 9.8
6.9 Newtons
E para o cesto maior
W Mg 7.0 9.8
69 Newtons
Exemplo
Um bloco desliza num longo plano sem atrito formando um ângulo de 69o na horizontal.
Ache a aceleração do bloco e a distância em que o bloco se move em 3 segundos a partir do
repouso.
Worked Examples
Solução
As componentes de W paralela e perpendicular ao plano são:
W x mgsen
e
W y mg cos
Desde que a superfície não tenha atrito então N x 0
E N y N (quando N x e N y são as reações do avião ao bloco paralelo e perpendicular para
o avião).
E então, a única força que está actuando no bloco é W x ma x
mgsen ma
a gsen
gsen69 o
1 2
at
2
e pondo u 0 e S x
Usando S ut
52
Então,
x
1
a x (30) 2
2
1
gsen69.9
2
9
gsen69metros
2
FAÇA ISTO
Exercício
Um bloco de massa m desliza num plano apoiado na terra numa inclinação de ângulo
ajustado na horizontal de modo que o bloco deslize com velocidade constante. Ache o
coeficiente de atrito entre o bloco e o declive. Se for de 35o qual é o valor de µ?
O estudante não deve virar a página até que tenha completado a solução.
Solução
Desde que o bloco esteja deslizando no plano, então,
FR
, onde F R é a força de atrito e N a reacção normal
N
Sabe-se que N mg cos
e desde então
FR N
Assim
FR mg cos
Desde que o movimento é uma descida abaixo, quando o bloco começa a mover-se
53
mgsen mg cos
tan
tan 35 0
0.70
1b.1.4 Aplicação das Leis de Newton
A mais amplamente aplicada Lei de Newton é a Segunda Lei de movimento,
F ma
que é aplicado no estudo de movimento de corpos numa variedade de sistemas.
N.B. A quantidade F na equação é a força Líquida de todas as forças que agem nas partes
do sistema e assim F é a soma de vector de todas as forças que agem na parte. A pergunta
então a responder é:
Quais são os módulos e as direcções de todas as forças?
1b.2 Movimento de corpos acoplados
O aparelho consiste em dois corpos de massas m 1 e m 2 , presos nos extremos de um fio leve
e inextensível que corre por cima de uma talha lisa e leve. Se m 1 e m 2 não são iguais o
sistema começará a mover assim que seja libertado.
Se T 1 e T 2 são as forças mostradas pela talha nos pesos e, m 1 g e m 2 g são as forças
gravitacionais mostradas então, nos dois, se m 1 >m 2
m1 g T1 m1 a1 e T2 m2 g m2 a 2
Mas seguramente
T1 T2 e a1 a 2
54
então
T1 m2 g m2 a1
e
m1 g T1 m1 a1
Somando
(m1 m2 ) g T1 (m1 m2 )a1
Assim
a1
m1 m2
g
m1 m2
e isto dá a equação de movimento de sistema.
FAÇA ISTO
Exercício
No diagrama, o fio e a talha têm massa desprezível e o atrito no sistema de talha é
desprezível. Se os dois corpos estiverem inicialmente em repouso ao mesmo nível, quanto
tempo levará até que a separação vertical entre eles seja 1,5 m é? Quão rápido eles estarão
se movendo?
O estudante não deve virar a página até que tenha completado a solução
Resposta
t = 2.5s e v = 0.60s
55
1b.3 Trabalho
Visite os links abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Work
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/work.html
Definição
O trabalho dU realizado por uma força F durante um deslocamento pequeno ds do seu
ponto de aplicação é determinado por
dU F ds
que é o produto escalar entre F e ds.
O valor do trabalho é determinado por
dU F ds cos
Da equação
dU F ds
Então
U F ds
F dx F dy F dz
x
y
z
Ft ds
Exemplo
O exemplo mais comum de trabalho feito num corpo é a acção de um corpo sobre uma
mola na qual está pendurado.
Se a constante da mola é k, então
F kx
A força que se exerce na mola é a tensão ou a compressão oposta ao deslocamento e assim
nega o trabalho do corpo
Assim
1
U Fdx kxdx k x 22 x12
2
Logo, considera-se o trabalho feito numa partícula de massa m que remove um caminho
curvado debaixo da acção da Força F. A força de resultante é F
a posição de m é descrita pelo vector de posição r.
o deslocamento durante dt de tempo é determinado pelo dr de mudança em seu vector de
56
posição.
agora
dU F ds
e
x2
U Fdv F1 dx
x1
Dado isso F ma
então
a dv at ds
mas
at ds v dv
assim
U Fdv mv dv
1
mv 22 v12
2
fora o qual é levada a integração entre o v1 de mudança para v2 na velocidade.
1b.4 Energia Cinética
Visitem-se os links abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ke.html
A Energia Cinética de uma partícula é definida como:
1
E C T mv 2
2
e é o trabalho feito numa partícula para trazê-lo do repouso para uma velocidade v e
sempre é uma quantidade positiva.
A unidade é o Joule.
Assim a equação
1
U mv 22 v12
2
pode ser escrita como
U J
N.B. Esta é chamada a equação Trabalho-Energia de uma partícula e segundo ela o
57
trabalho total feito por todas as forças que actuam sobre uma partícula durante um intervalo
do seu movimento, i.e., igual à variação na energia Cinética da partícula.
Outro modo de formular é que o E C Final., T 2 é a soma da E C Inicial., T 1 e o trabalho
realizado U.
A aplicação das equações de trabalho-energia requer que se tenha em consideração o
isolamento da partícula ou sistema.
1b.5 Potência
Visite-se o link abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Power
Definição
Potência é a capacidade de uma máquina para realizar trabalho e é medido pela taxa
temporal na qual ela pode realizar o trabalho ou derivar energia.
P
dx
dU
F
F v
dt
dt
e é medido em Watts.
Exemplo Trabalhado
Na figura m = 50kg, =0.30, =15, u 1 =4m/s. Calcule a velocidade do móvel em B.
N.B o estudante pode explicar cada passo da solução?
U F s 50(9.81) sin 15 14210
152 J
Variação na E C = T 2 - T 1 = T
1
1
T mv 2 , T 50 v 2 4 2 , U T
2
2
58
1
50v 2 4 2
2
v 3.15m / s 2
152 J
FAÇA ISTO
Exercício
1. Um camião levando um bloco de concreto de 80 kg começou em repouso e atingiu uma
velocidade de 72 km/h depois de viajar 75 m numa estrada, com aceleração constante.
Ache o trabalho realizado pelo atrito sobre o bloco durante este movimento se os
coeficientes de atrito estáticos e cinéticos entre o bloco e o chão da carroçaria forem:
(a) 0.30 e 0.28 respectivamente, e
(b) 0.25 e 0.20 respectivamente.
2. O vector posição r de uma partícula é determinado por r 8i 1.2t 2 j 0.5(t 2 1)k ,
onde t é o tempo em segundos
desde o começo do movimento. Determine a potência P
desenvolvida pela força F 10i 5 j 9k Newton que actua na partícula quando t 6 s
O estudante não deve virar a página até que tenha completado a solução!
Respostas
(a) 16.0 KJ
(b) 8.66 KJ
1b.6 Energia Potencial
Visitem-se os links abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pegrav.html
Definição:
A Energia Potencial de um sistema é a energia que o sistema tem por causa das posições
relativas dos seus pontos, quer dizer, devido à sua configuração.
Surge quando um corpo sofre a acção de uma força num campo, como o campo
gravitacional da terra em que a energia potencial é considerada como a propriedade em
comum do sistema corpo-terra e não de qualquer corpo separadamente.
59
1b.7 Conservação de Energia
A definição completa da conservação de energia é determinada no link abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Conservation_of_energy
1b.8 Impulso e Torque
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânica clássica: Um Curso Introdutório Austin, Texas.
UTP pp 271-272
Para informação sobre Torque veja também a ligação abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum
1b.9 Atrito
Definição:
Atrito é a força que opõe o movimento relativo ou a tendência para tal movimento de duas
superfícies em contacto. Não é uma força fundamental, como é o composto de forças
electromagnéticas entre átomos. Quando superfícies em contacto se movem relativamente
uma a outra, o atrito entre as duas é convertido em energia cinética, energia térmica, ou
em calor dos objectos. Atrito entre objectos sólidos e fluidos (gases ou líquidos) é
chamado arraste/viscosidade.
Para mais leituras por favor recorra ao link seguinte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Friction
Note-se que nesta leitura se usou o método tradicional em vez do método vectorial no
tratamento do tópico e que se confiou nas adaptações de equações do movimento uniforme
em linha recta para obter as equações de movimento de projéctil. De particular importância
são as derivações das equações com diversas variações das componentes.
Não se aconselha que o estudante memorize estas equações, mas que tenha capacidade de
trabalhar com os princípios dados para as diferentes situações.
Unidade 2: Oscilações
Objectivos específicos de aprendizagem
No final da unidade o estudante deve ser capaz de:
Descrever o Movimento Harmónico Simples;
60
Descrever o Modelo de movimento que é super - amortecido, sub - amortecido, e
criticamente amortecido;
Descrever o pêndulo Simples;
Derivar o oscilador bi- e tri-dimensional.
Resumo
Nesta unidade tem-se em conta o movimento de um corpo quando a força resultante
actuando sobre ele não é constante, mas varia ao longo do movimento. Naturalmente, há
um número infinito de modos nos quais uma força pode variar; consequentemente
nenhuma expressão geral pode ser dada para o movimento de um corpo quando nele actua
uma força variável, a não ser que a aceleração a cada momento tenha que igualar a força
nesse momento, dividido pela massa do corpo. Olhar-se-á para o movimento que é
oscilatório ou periódico usando exemplos como pêndulos simples e massas suspensas num
fio para ilustrar este movimento.
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP
Links pertinentes e Recursos
Movimento harmónico simples
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Movimento harmónico simples
www.phy.ntnu.edu.tw/java/shm/shm.html
Movimento harmónico simples
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm.html
Movimento harmónico simples
www.kettering.edu/~drussell/Demos/SHO/mass.html
Movimento harmónico simples
http://theory.unwinnipeg.ca/physics/shm/nodes2.html
Notas de conferência de Mecânica clássica
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/lectures.html
Mecânica clássica: Um Curso Introdutório
http://www.lulu.com/content/159798
Palavras-chave
Oscilador Harmónico
Pêndulo Simples
Frequência Circular Natural
61
Movimento Harmónico Angular
Movimento Húmido
Lei do Hooke
Actividade de aprendizagem: Oscilações
2.1 Preenchendo o vazio
Duas crianças estão brincando num balanço, uma no assento e a outra 'empurrando' e
esperando pela vez dela no assento. Sabe-se porquê?
Depois do empurrão, mais duro, o baloiço sempre continua com o seu movimento
habitual de voltar para seu lugar de repouso e através deste até que alcance sua posição
mais alta e depois voltar. Porquê o baloiço não se enrola no apoio horizontal ou, pior ainda,
não se escapa dos seus apoios?
Se o 'empurrador' para e a criança no assento para de 'dobrar os joelhos' o que
acontece ao movimento do baloiço?
Figura 2.1 Pais com criança sorridente em balanço
Leve-se uma mola em espiral, fixe-se por uma das extremidades, puxe-se ligeiramente a
extremidade livre e depois liberte-se.
Descreva-se a acção da mola.
Introdução
Considere-se o movimento de uma criança no baloiço acima. Antes de ela ser empurrada ou de ela
própria "ensaiar impulsos com as pernas" no baloiço, o baloiço fica suspenso verticalmente para
baixo. Nesta posição, diz-se que o baloiço está na sua posição de equilíbrio. Quando o baloiço é
empurrado, então é deslocado da sua posição de equilíbrio, mas a tendência sempre é de voltar para
trás, para a sua posição de equilíbrio. O que causa esta tendência?
Seguramente deve haver alguma força que faça que ele volte e vá para a frente passando através da
posição de equilíbrio e esta força é designada força restauradora.
O estudante deve tentar!
Amarrar uma pedra na extremidade de um fio.
62
Suspender a pedra num fio, amarrar a extremidade livre na parte superior do aro de uma
porta.
Na posição de equilíbrio, a pedra fica pendurada verticalmente para abaixo.
O estudante deve deslocar a pedra um pouco da posição de equilíbrio empurrando-a, digase, para a esquerda.
O que acontece com a pedra?
A pedra não simplesmente volta à posição de equilíbrio mas ao invés disso baloiça de um lado para
o outro, através da posição de equilíbrio de uma maneira regular e repetitiva.
O estudante pode dar outros exemplos deste movimento que é definido como movimento periódico
ou oscilatório?
2.1 O Oscilador Harmónico Simples
Figura 2.2 Oscilador harmónico simples
Considere-se o movimento de uma massa m presa na extremidade livre de uma mola, a outra
extremidade é mantida estacionária em A. Descreve-se a posição do corpo com a coordenada x,
onde x indica o afastamento da posição de equilíbrio O, a posição de desvio zero da mola. A
discussão é restringida a uma mola linear.
Tal mola exerce uma força restauradora - kx sobre a massa, o que significa que quando a massa é
deslocada para a direita, a força da mola é para a esquerda e vice-versa.
k é conhecido como a constante da mola ou modulus ou dureza da mola.
Assim:
F kx
Note-se aqui que o módulo da força restauradora é directamente proporcional ao
deslocamento do sistema de equilíbrio.
Isto é F x .
Da 2ª Lei de Newton
F ma m
x
m
x
e isto implica que
kx m
xou m
x kx 0
Esta equação diferencial é conhecida como a Equação Harmónica Simples
63
Leia-se este link
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
FAÇA ISTO
Exercício
Mostre que a solução da equação é…..
x a cost onde, , , a são constantes e
k
m
Sugestão: Resolve-se uma Equação diferencial de Segunda Ordem que é Homogénea.
Alternativamente, e com as mesmas condições,
m
x kx 0 normalmente é escrito como
x 2 x 0
onde é chamada frequência cíclica natural e tem unidades em radianos por segundo
Nota que o desvio x oscila entre
x a e x a , onde a é a amplitude da oscilação.
O número de ciclos completos por minuto, a frequência natural f
n
2
e o tempo requerido durante o ciclo de um movimento completo é determinado por
1 2
f
é o período do movimento
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório Austin, Texas.
UTP, pp 237-238
FAÇA ISTO
64
Exercício
Figura 2.3 Modelo para movimento Periódico
Uma mola está montada como se mostra na figura acima. Fixando um balanceado na
extremidade livre da mola é determinado que a força é proporcional ao deslocamento, uma
força de 4 N causa um deslocamento de 0.02 m. Um corpo de 2 kg de massa é então preso
na extremidade livre da mola e puxada a uma distância de 0.04 m e depois libertada.
a) Ache a força constante da mola.
b) Ache o período e a frequência da oscilação.
c) Calcule a velocidade máxima atingida pelo corpo oscilando.
d) Calcule a aceleração máxima.
e) Calcule a velocidade e a aceleração quando o corpo está a meio caminho para o centro
relativamente à sua posição inicial.
f) Quanto tempo é requerido para o corpo se deslocar meio caminho em direcção ao
centro a partir da sua posição inicial?
O estudante não deve virar a página até que tenha completado a solução!
Solução
Antes de se responder esta pergunta, estabelecer-se-ão as equações básicas do movimento
harmónico simples.
Sabe-se sobre isso que
k
x a x
m
Quer dizer, a aceleração a cada momento é proporcional ao negativo do instante.
Quando x tem seu máximo valor positivo A, a aceleração tem seu máximo valor negativo
A
e nesse instante a partícula passa pela posição de equilíbrio x 0 a aceleração é
k
m
zero. Porém, a sua velocidade nesta posição não é zero nesse ponto.
Recuando-se, pode-se usar a Conservação de Princípio de Energia para analisar alguns
aspectos do Movimento Harmónico simples. Numa mola, a força restauradora é uma força
conservadora (Lembre-se de actividades prévias) e o trabalho feito pode ser formulado em
termos de energia potencial.
1
P.E. de uma Força Conservadora kx 2
2
1
A Energia Cinética a qualquer ponto x é novamente mv 2 e pelo Princípio de
2
Conservação de Energia, a Energia total.
65
E
1 2 1 2
mv kx é uma constante.
2
2
Também, quando a partícula alcança o seu deslocamento máximo A , ela pára e retrocede
a sua posição de equilíbrio. Nesse instante v 0 , e não há nenhuma Energia Cinética e a
Energia total é:
E
1 2
kA
2
Assim tem-se
1 2 1 2 1 2
mv kx kA
2
2
2
v
k
A2 x 2
m
FAÇA ISTO
Exercício
Quando é que a velocidade tem o seu valor máximo v max ? (Discuta com um amigo!)
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
solução!
Resposta
A velocidade tem o seu valor máximo ao ponto médio porque ao ponto médio toda a
energia é Cinética e no ponto extremo toda a energia é Potencial.
Assim:
1 2
mv max E
2
2E
v max
m
1 2 1 2
kA mv max E
2
2
k
v max
A
m
66
Olhando para a equação
v
k
A 2 x 2 A 2 x 2
m
Não se pode dizer onde a partícula está em qualquer momento dado e para se poder ter uma
descrição completa do movimento deve conhecer-se a posição, a velocidade, e a aceleração
em qualquer momento.
Pode ilustrar-se o movimento harmónico simples da partícula na extremidade da mola de
um círculo de referência dado na figura abaixo.
Figura 2.4 Movimento circular uniforme
Suponha-se o ponto Q movendo-se no sentido anti-horário ao redor de um círculo do raio A
com uma velocidade angular constante w (lembra-se disso?). O vector OQ representa a
posição do ponto Q relativo a O e é o ângulo que este vector faz com o eixo positivo dos
x.
A componente horizontal representa o movimento actual descrito pela mola e a partícula. O
estudante perceberá que, como Q se move, P representa o movimento actual da partícula e
da mola.
O deslocamento OP a qualquer instante t é x e
x A cos
e se Q está no extremo direito do diâmetro no instante t 0 , então,
t
e consequentemente
x A cos t
Assim, a velocidade a qualquer instante t é
v x A sin t A sin t
E aceleração é
67
a v
x 2 A cos t
O estudante notará que o que se fez aqui é assumir que quando t 0 , x A é
deslocamento máximo positivo.
Numa posição inicial diferente, diga-se t 0 OQ faz 0 com o eixo positivo dos x então
no instante t é dado por
0 t
E as equações tornam-se
x A cos( o t )
v A sin( o t )
a 2 A cos( o t ) 2 x
Usando estes resultados deve verificar-se que as respostas para a pergunta acima são:
(a) k 200 Nm 1
(b) 0.628s , f 1.59 Hz e 10s 1
(c) v max 0.4ms 1
(d) a max 4.0ms 2
(e) v 0.346ms 1 , a 2.0ms 2
(f) t 30 s
2.2 O Pêndulo de Torção (Movimento Harmónico Angular)
Figura 2.5 O pêndulo de torção
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, p241-242
68
O sistema mostrado na leitura obrigatória é bastante auto-explicativo. Noutros casos, o
movimento Harmónico Angular resulta quando um corpo que é girado sobre um eixo
experimenta um torque restaurador proporcional ao deslocamento angular em relação à sua
posição de equilíbrio. O volante de um relógio cinemático (obviamente não é um relógio
que funciona à bateria) é um exemplo muito bom de movimento harmónico angular.
Note-se isso neste caso em que a força restaurada se torna num torque restaurador.
U torque restaurador é proporcional ao deslocamento angular e é determinado por
k ' , onde k' é uma constante de torque.
O momento de inércia I do corpo girado corresponde à massa de um corpo no movimento
linear. Assim, o período de movimento Harmónico angular é
I
k'
2
e a frequência angular é
k'
I
com o período de oscilação será
2
2
I
k'
2.3 O Pêndulo Simples
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, p242-244.
69
Figura 2.6 Pêndulo Simples
O pêndulo simples é um modelo simplificado de um sistema mais complexo. Consiste
numa massa suspensa por uma vara leve ou por um fio leve e inextensível amarrado num
campo gravitacional uniforme. Quando puxado para fora da sua posição de equilíbrio e
libertado, a vara (massa) oscila em torno desta posição.
O movimento constitui movimento Harmónico simples?
Deve-se estabelecer se a força restauradora é directamente proporcional à coordenada x e
orientada opostamente. A trajectória da vara não é uma linha recta mas um arco de um
círculo de raio L, o comprimento do fio ou vara. A coordenada x refere-se à distâncias
medidas ao longo deste arco.
Então, se F kx , o movimento será simples harmónico.
As componentes tangencial da força líquida que age no trenó de pêndulo são dadas por
F mgsen
Isto significa que a força restauradora é proporcional ao sen e não a e então o
movimento não é simples harmónico.
Como se pode contornar este problema?
FAÇA ISTO
Exercício
Demonstre que se é pequeno, então sen é muito próximo de . Se o estudante tiver
demonstrado isso então
L x e
x
L
E portanto
F mg mg
x
mg
x
L
L
Assim, a força restauradora é proporcional à coordenada para deslocamentos pequenos e a
70
constante da força k é representada por
Periodo 2
2
mg
conduzindo aos resultados seguintes
L
m
mL
2
k
mg
L
g
As relações das frequências são f
1
2T
g
e
L
g
L
Assim, o período de oscilação é completamente determinado pelo comprimento L do
pêndulo e só para oscilações pequenas o pêndulo faz um movimento aproximado ao
Movimento Harmónico Simples.
O modo mais analítico para descrever o movimento do pêndulo é obtendo uma expressão
para a componente tangencial da aceleração do pêndulo.
Figura 2.7 Movimento de Pêndulo Simples
Se se usar um vector de deslocamento pequeno ds, para um correspondente intervalo de
tempo pequeno dt
então
v
ds
dt
Mas, da figura a cima
ds Id
Então
d
ds Id
I
v
dt
dt
dt
A taxa de mudança de velocidade é
71
d
d I
dv
dt
dt
dt
d d
I
dt dt
d 2
I 2
dt
A qual dá a aceleração tangencial a T a do trenó
Assim
aT I
d 2
dt 2
Agora, da segunda lei de Newton, é a componente de tangencial da força é
FT maT
mas, tomando em conta uma expressão anterior
FT F mgsen
Assim
d 2
mgsen mI 2
dt
Portanto
d 2
g
sen
2
dt
I
gsen (equação 11.23) Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas
Compare-se isto com I
Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas. UTP em página 244,
g
I
então a equação do pêndulo passa a ser
d 2
sin
dt 2
Tomando
O argumento defende que, para ângulos pequenos, sin é o aproximadamente igual a
se é pequeno comparado a 1 radiano.
Assim
d 2
dt 2
72
2.4 O Oscilador Amortecido
Na Mecânica Clássica um oscilador harmónico é um sistema que, quando deslocado da sua
posição de equilíbrio, sofre uma força restauradora F proporcional ao deslocamento de
acordo com a lei de Hooke:
F kx
onde k é uma constante positiva.
Se F for a única força que actua sobre o sistema, o sistema é chamado um oscilador
harmónico simples, e sofre o movimento harmónico simples: oscilações sensoriais sobre o
equilíbrio indicam, com uma amplitude constante e uma frequência constante (que não
depende da amplitude).
Se uma força de atrito que amortecendo proporcionalmente a velocidade também estiver
presente, o oscilador harmónico é descrito como um oscilador amortecido. Em tal situação,
a frequência das oscilações é menor que no caso não-amortecido e a amplitude das
oscilações diminui com tempo.
Se uma força externa dependente do tempo estiver presente, o oscilador harmónico é
descrito como um oscilador forçado.
Exemplos mecânicos incluem pêndulos (com ângulos pequenos de deslocamento), massas
ligadas a molas, e sistemas acústicos.
Veja-se este link
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda2.html
FAÇA ISTO
Monte um pêndulo simples como nas actividades anteriores e ponha-o em movimento: O
pêndulo continua oscilando? Se pára eventualmente, por que pára?
Um veículo passa por uma lomba na estrada. É quase seguro dizer que a mola executará
oscilações que continuariam se não houvesse nenhuma força oposta para as fazer parar. O
quê origina esta força?
Nos dois casos citados acima, a amplitude das oscilações do pêndulo e as molas do carro
diminuem para zero devido à força sensível que surge do acto, para o pêndulo, e é
originada pelo absorvente do choque. O movimento não é então um Movimento
Harmónico Simples perfeito e é dito que é amortecido por uma resistência, atrito ou o
absorvente de choque.
73
O comportamento de qualquer sistema mecânico depende da extensão do amortecimento.
Sob amortecimento são ditas oscilações livres e executadas próximo de Movimento
Harmónico Simples.
O gráfico deste movimento é
Figura 2.8 Movimento ligeiramente - amortecido ou Sub - amortecido
Porém, todo sistema mecânico possui algum grau inerente de atrito que actua como um
consumidor de energia mecânica.
O abafador viscoso (ou dashpot), usado como uma base para absorventes de choque em
veículos e as máquinas relacionadas são intencionalmente dispositivos associados ao
sistema com a finalidade de limitar ou reduzir as oscilações vibratórias. As componentes
básicas são um cilindro enchido de um fluido viscoso e um pistão que permitem o fluido
fluir de um lado do pistão para o outro.
Esquematicamente, a figura abaixo ilustra este sistema.
Figura 2.9 Abafador Viscoso
O abafador exerce uma força F cujo módulo é proporcional à velocidade da massa. A
constante de proporcionalidade c v é conhecida como coeficiente de amortecimento viscoso.
A direcção da força amortecedora como aplicada à massa é oposta a da velocidade x.
Consequentemente a força na massa é cv x.
Da Segunda Lei de Newton, a equação de movimento da massa é
x
kx cv x m
Alternativamente
74
kx cv
d 2x
dx
m 2
dt
dt
Cv
k
e introduzir-se uma constante
. A quantidade (Zeta)
2m n
m
é chamada o factor de Amortecimento Viscoso, Taxa de Amortecimento e é uma medida
da severidade do amortecedor.
Se se substituir n
Exemplo
Figura 2.12 Amortecimento Viscoso
Um corpo de 8 kg é movido 0.2 m à direita do ponto de equilíbrio, do repouso no instante t
= 0 s. Determine o seu deslocamento no instante t = 2 s. O coeficiente de amortecimento
viscoso c v é 20 Nsm-1 e a constante da mola K é 32 Nm-1
Solução
Tem que se determinar primeiro o grau de amortecimento calculando e a taxa de
amortecimento
k
32
n
2radians / s
m
8
Cv
20
0.625
2m n 16.2
Desde que é menor que 1 que o sistema está sub – amortecido. A frequência natural de
amortecimento é:
n 1 2 2 1 (0.625) 2 1.561rad / s
O movimento é determinado por
x Ee nt sin( k t )
Ee 1.25t sin(1.561t )
x 1.25 Ee 1.25t sin(1.561t ) 1.561Ee 1.25t cos(1.561t )
75
Quando t =0,
xo E sin 0.2
xo 1.25E sin 1.561cos 0
Resolvendo para E tem-se
E 0.256m e 0.896rad
Então o deslocamento é:
x 0.256me 1.25t sin(1.561t 0.896)
Quando t = 2
x = -0.0162
FAÇA ISTO
Exercício
Verifique-se que é não-dimensional.
Assim a equação torna-se
x 2 n x n x 0
Alternativamente
d 2x
dx
2 n
n2 x 0
2
dt
dt
Sugestão: Esta é uma equação diferencial homogénea de Segunda Ordem
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
solução!
Solução
Esta é uma equação diferencial com uma possível solução de
x Ae t
Substituindo tem-se
2 2 n n2 0
76
dando
1 n 2 1 ou 2 n 2 1
Através de inspecção, está a solução geral
x Ae 1t Be 2t
Ae
t 2 1 t
n
Be
2
t 1 n t
O discriminante 2 1 determina a extensão do amortecimento, considerando os valores
que pode tomar.
(i)
Se 1 : Ensina-se na escola que as raízes 1 e 2 são reais e distintos
números negativos e o movimento descrito abaixo atrasa de forma que x
se aproxima a zero a t para grandes valores de t. Não há nenhuma
oscilação e nenhum período associou-se ao movimento.
O movimento é SUPER-AMORTECIDO.
Figura 2.10 Movimento Criticamente Humedecido
(ii) Se 1 : As raízes são iguais ao número real negativo, isto é, 1 2 n e a
solução para a equação é dado por
x ( A Bt )e nt
77
Como o descrito na figura acima, o movimento decai, quando x se aproxima a zero t e
o movimento é não-periódico. Este movimento é chamado CRITICAMENTE
AMORTECIDO.
(iii) Se 1 : Para este SUB - AMORTECIDO (LIGEIRAMENTE AMORTECIDO) as
raízes são complexas e transformam a equação para
x Ae i
1 2 n t
1 2 n t
Be i
e
n t
onde i 1
Fixando uma variável nova k para representar n 1 2
Tem-se
x Ae ik t Be ik t e nt
Empregando a fórmula de Euler
e ix cos x i sin x
Tem-se
x Acos k t i sin k t Bcos k t i sin k t e nt
A B cos k t i A B sin k t e nt
C cos k t D sin k t e nt
E sin k t e nt
Ee nt sin k t
FAÇA ISTO
Exercício
Mostre que C cos k t D sin k t pode ser escrito como E sin k t
2.5 Oscilador Sub - amortecido
78
Quando um oscilador amortecido for sub - amortecido, aproxima-se a zero mais
rapidamente que no caso do crítico-amortecido, mas oscila em volta deste zero.
Figura 2.11 Oscilador sub - amortecido
A freqüência k n 1 2 e o período amortecido é dado por
2
2
d
k n 1 2
FAÇA ISTO
Exercício
Qual dos movimentos discutidos acima melhor descreve a acção de absorventes de choque
num veículo em vibração?
79
Unidade 3 Dinâmica
Objectivos de aprendizagem específicos:
No final desta unidade o estudante deveria ser capaz de:
Derivar a equação de movimento para uma partícula num campo central.
Encontrar a energia potencial de uma partícula num campo central.
Enunciar as leis de conservação de energia.
Enunciar, derivar e aplicar as leis de Kepler de movimento planetário resolvendo
problemas relacionados.
Encontrar a velocidade e a aceleração de sistemas mover.
Definir a conservação do momento e o momento angular.
Resolver problemas que envolvem massa variável.
Resumo
Neste módulo o estudante deve familiarizar-se com desenvolvimentos históricos
concernentes ao movimento planetário começando com as primeiras tentativas de
explicação deste fenómeno. Deverá, também, familiarizar-se com modelos matemáticos
antigos e modernos que exemplificaram este fenómeno resultando nas famosas Leis de
Kepler.
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP
Links pertinentes e Recursos
Notas de conferências de Mecânica clássica
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/lectures.html
Física Newtoniana
http://www.lightandmatter.com/arealbook1.html
Movimento planetário
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/kepler6.html
Movimento planetário
http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/kep3laws.htm
Movimento planetário
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler’s_laws_of_planetary_motion
Movimento planetário
www.windows.ucar.edu/tour/link=/the_universe/uts/planets.html
Coriolis Effect
http://en.wikipedia.org/wiki/Coriolis_effect
80
Força de Coriolis
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/corf.html
Força Centrípeta
http://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force
Momento angular
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum
O Princípio de D'Alembert
http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle
Palavras-chave
Forças centrais
Movimento planetário
Campo central
As leis de Kepler
Coriolis
81
3. Dinâmica: Actividade de aprendizagem
3.1 Bridging the Gap
Que histórias o estudante conhece sobre:
•
A subida e o pôr-do-sol?
•
A subida e setting da lua?
•
O movimento geral do sol, da lua e da terra?
O estudante deverá consultar alguns anciãos na sua comunidade local e ouvir as suas visões
sobre estes assuntos.
Alguma vez o estudante admirou as figuras do sistema planetário pelas rezões abaixo
apresentadas?
• Os planetas não caiem, para o espaço,
• Os planetas e o sol mantêm as distâncias deles de separação e não colidem.
Figura 3.1 sistema solar
3.2 Forças centrais e Movimento Planetário
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, Página 262-275
3.2.1 O conceito de força central
É com Kepler que se vê o começo do conceito de força central que é uma força que actua
continuamente entre os planetas para os manter movendo-se em trajectórias fechadas,
estáveis de uma órbita para a outra. Era aparente para Kepler que a força era dirigida para o
foco da elipse, mas ele não pôde descrever a natureza dessa força.
82
3.2.2 Movimento num campo geral de forças centralis
Veja-se este link
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/node53.html
3.3 As Leis de Kepler de Movimento Planetário
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, Página 260
3.3.1 Primeira lei
A órbita de um planeta/cometa em volta do Sol é uma elipse com o centro de massa do Sol
num foco
Esta é a equação para uma elipse:
x2 y2
1
a2 b2
3.3.2 Segunda lei
Uma linha ligando um planeta/cometa ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo
iguais.
3.3.3 Terceira lei
Os quadrados dos períodos dos planetas são proporcionais aos cubos dos seus maiores
semi-eixos:
Ta2 / Tb2 Ra3 / Rb3
" Quadrado do período orbital de qualquer planeta (sideral) é proporcional ao cubo da sua
mean distância do Sol (semi- eixo maior).
" Formulação matemática: T kR 3 2 T = kR onde T = período sideral, e R = semi- eixo
maior
" Exemplo - Se a está medido em unidades astronómicas (AU = semi- eixo maior da órbita
da Terra) e período sideral em anos (o período sideral de Terra), então a constante k, na
expressão matemática para a terceira lei de Kepler é igual a 1 e a relação matemática se
torna T 2 R 3 .
83
3.3.4 Exemplos da Terceira Lei de Kepler
Planet
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
P (yr)
0.24
0.62
1.00
1.88
11.9
29.5
a (AU) T2
0.39 0.06
0.72 0.39
1.00 1.00
1.52 3.53
5.20 142
9.54 870
R3
0.06
0.37
1.00
3.51
141
868
Em termos mais simples as leis de Kepler são enunciadas como se segue:
1. O movimento dos planetas e de outros corpos sujeitos à mesma força é em órbitas que
são "secções cônicas": elipses ou hyperboles ou em circunstâncias muito especiais
parábolas (todos com o sol como um foco), ou linhas rectas.
2. A área varrida por unidade de tempo em qualquer órbita é constante.
3. Há uma certa relação específica entre o período de uma órbita elíptica e a medida do seu
raio, que não se discutirá mais adiante.
Energia Potencial gravitacional
Definição
A energia potencial Gravitacional é o trabalho feito elevando uma massa de m Kg, uma
altura h sobre um ponto de referência onde o trabalho feito é tomado como zero.
A energia potencial é escrita então como
V g mgh
Este trabalho é tomado como energia porque o trabalho feito pode ser convertido em
energia, se o corpo fosse permitido trabalhar sobre um corpo de apoio para voltar à sua
posição original.
Assim a variação na energia potencial de um corpo que se move de altura inicial h 1 para
altura h 2 é V g mg (h2 h1 ) mgh
O trabalho auxiliar feito pela força gravitacional é
mgh
que é o negativo da variação em energia potencial.
A Lei Gravitacional de Newton que regula a atracção entre dois corpos de massas m 1 , e m 2
é dado por
mm
F G 12 2
r
84
onde F = força de atracção entre duas partículas
G = Constante Universal de gravitação = 6.673x10-11m3/kg.s2
r = distância entre os centros das partículas.
3.3.5 Exemplos
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, Página 275-278
3.3.6 Exemplo
Considere-se uma partícula de massa m, movendo-se sob a acção da atracção gravitacional
central.
mm
F G 20
r
onde m o é a massa de atracção assumida como fixa, G é a constante de gravitação
universal, e r é a distância entre os centros das massas. A partícula de massa m poderia
representar a terra movendo-se em volta do sol, a lua em volta da terra, ou um satélite em
seu movimento orbital em volta da terra sobre a atmosfera.
O sistema de coordenada mais conveniente a usar é o de coordenadas polares no plano de
movimento, desde que F sempre esteja na direcção negativa -r e não haja nenhuma força na
direcção .
Isto insinua que
mm0
m
r r 2
2
r
2r
0 m r
G
A segunda das duas equações, quando multiplicada por r/m é vista ser o mesmo que
d (r 2dt 0 que ao ser integrado dá
r 2 h , uma constante
Isto é reduzido para
r h u/
e
r h d 2 u / d 2
ou
r h 2 u 2 d 2 u / d 2
Depois da substituição adquire-se
d 2u 1 2 4
Gm0 u 2 h 2 u 2
h u
d 2 u
ou
85
Gm
d 2u
u 20
2
h
d
que é uma equação diferencial linear não-homogênea.
G= Universal Constant of gravitation= 6.673x10-11m3/kg.s2
r= distance between the centers of the particles.
3.3.7
FAÇA ISTO
3.3.7.1 Exercício
Verifique que a solução desta equação de segunda-ordem familiar é:
Gm
1
u C cos 2 0
r
h
3.3.7.2 Exercício
Um satélite artificial é lançado de um ponto B no equador pelo seu foguete portador e
inserido numa órbita elíptica com uma altitude perigee de 2000 km. Se a altitude de apogeu
for 4000 km, calcule:
(a) a velocidade perigee v p necessária e a velocidade de apogeu correspondente o v A ,
(b) a velocidade no ponto C onde a altitude do satélite é 2500 km, e
(c) o período para uma órbita completa.
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
solução!
86
Solução
(a) As velocidades de perigee e de apogeu para altitudes especificadas são dadas por
vp R
g 1 e
g
R
a 1 e
a
rmax
rmin
vA R
g 1 e
g
R
a 1 e
a
rmin
rmax
onde
rmax 6371 4000 10371km
rmax 6371 2000 8371km
a rmin rmax / 2 9371km
Assim
vp R
g
a
rmax
9.825
10371
6371(10 3 )
3
rmin
9371(10 ) 8371
7261m / s 26140km / h
vA R
g
a
rmin
9.825
8371
6371(10 3 )
3
rmax
9371(10 ) 10371
5861m / s 21099km / h
(b) Para uma altitude de 2500 km a distância radial do centro da terra é r = 6371+ 2500 =
8871 km. A velocidade no ponto C se torna
2 1
1 1
1 1
vc2 2 gR 2 2(9.825) (637)(10 3 )
3
r 2a
8871 18742 10
47.353(10 6 )(m / s ) 2
vc 6881m / s 24773km / h
(b) O Período da órbita é dado por
2
2
a3 2
R g
(9371)(10 )
3
32
(6371)(10 3 ) 9.825
9026 s 2.507 h
87
3.4 Sistemas de Coordenadas móveis
3.4.1 O Efeito de Coriolis
O efeito de Coriolis é o desvio aparente de objectos da trajectória recta se os objectos forem
vistos de um quadro de referência giratório.
Veja-se o link abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Coriolis_effect
Visite-se este local para adquirir mais informações sobre a Força de Coriolis
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/corf.html
3.4.2 Aceleração Centrípeta (e Força)
Leitura obrigatória
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, Página 138
A taxa de variação do vector de velocidade de um objecto é a aceleração centrípeta.
A força centrípeta é a força externa exigida para fazer um corpo seguir uma trajectória
circular em velocidade constante.
Veja-se o link abaixo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force
3.4.3 Exemplos
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, Página 155-157
3.4.4 Velocidade relativa num sistema de coordenada móveis
Um homem que caminha a uma taxa de 4 km por hora toward the forward car of a train
quando este último está viajando a uma velocidade de 50 km por hora, está de facto
viajando à velocidade de 54 km por hora over the round. A velocidade relativa dele com
respeito a um ponto fixo no trem em movimento é de 4 km por hora. Este conceito simples
de superposição de velocidades pode ser estendido prontamente ao caso de direcções
diferentes fazendo uso à velocidade sistemática de referência e à velocidade relativa através
do uso da adição de vectores.
3.4.4.1 Exemplo
A bússola de uma aeronave indica que é headed due north e o seu indicador de velocidade
do ar mostra que se está movendo pelo ar a 200 km/h. Se há um vento de 80 km/h de oeste
88
para leste, o que é a velocidade da aeronave relativa à terra?
Solução
Deixe A recorra à aeronave, e F ao ar comovente. E recorre à terra. Dá-se
V AF = 240 km/h, devido norte,
V FE = 100 km/h, devido leste,
e deseja-se encontrar a magnitude e a direcção de V AE ::
2
v AE v AF v FE
2
v AE 240 2 100 2
260km / h, 22.6 0 NorthEast
Mais exemplos
Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.
UTP, Página 48-52
FAÇA ISTO
3.4.4.2 Exercício
Considere o primeiro exemplo acima, em que a direcção should the pilot head in order to
travel due north? Qual será então a sua velocidade relativa à terra?
N.B O módulo da velocidade do ar e da velocidade do vento são as mesmas que no
primeiro exemplo.
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
solução!
89
Solução
Agora deu-se:
V AF = 240km/h, direcção desconhecida
V FE = 100km/h, orientado para Este
e pretende-se determinar V AE , cuja magnitude é desconhecida mas cuja direcção é para
norte.
Constatou-se que
V AE (240) 2 (100) 2 218.2km / h
arcsen
100
24.6 o
240
Por isso, o piloto deve tomar a direcção 24.6º Noroeste e a sua velocidade em relação à
terra deve ser 218.2 km/h.
3.5 Sistema de Partículas
3.5.1 Momento Angular
Em física, o momento angular de um objecto girando num ponto de referência é a
medida de quão o objecto vai continuar a girar em torno do ponto a não ser que seja
actuado por torque externo.
Leituras Compulsórias
Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductuctory Course, Austin, Texas.
UTP Page 204-214
Para mais informações visite-se o site http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum
3.5.2 Exemplos
Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductuctory Course, Austin, Texas.
UTP Page 214-216
3.5.3 Conservação do momento angular e Torque
Leituras Compulsórias
Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductuctory Course, Austin, Texas.
UTP Page 271-272
Para mais informações visite-se o site http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum
3.5.4 Principio de Alembert
O princípio afirma que a soma das diferenças entre as forças generalizadas actuando num
sistema e o tempo de derivação do momento generalizado do próprio sistema ao longo do
90
deslocamento infinitesimal compatível com os constragimentos do sistema (um
deslocamento virtual) é nulo.
Isto é, no equilíbrio,
( Fi Pi )
Dado que F i = P i , onde F i são forças generalizadas e P i são momentos generalizados vejase o link http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle”
3.5.5 Exemplo
Cada uma das três bolas tem a massa m e está conectada à estrutura rígida do equilíbrio –
angular da negligenciável massa. A reunião dos restos está num movimento suave da
superfície. Se a força F é aplicada de repente a uma barra, determine:
(a) a aceleração do ponto O e
(b) a aceleração angular Θ da estrutura.
Solução
(a)
O ponto O é o centro de massa do sistema das três bolas, de tal sorte que a sua
F
a a0
aceleração é dada por F ma
Fi 3ma
i
3m
(b)
Determinuo-se, Θ a partir do princípio de momento M G H G . Para encontrar
H G notou-se que a velocidade de cada bola em relação ao centro de massa O tal como
medida nos eixos não rotacionais x – y é r onde é a velocidade angular comum de
spokes. O momento angular do sistema em torno de O é a soma dos momentos lineares
relativos como se mostra na expressão abaixo:
H 0 H G 3(mr )r 3mr 2
e a partir de M G H G
tem-se que
Fb
d
Fb
(3mr 2 ) 3mr 2 então
dt
3mr 2
Faça Isto
3.5.6 Exercício
Considera as mesmas condições que no exemplo anterior, excepto que spokes estejam
livremente ligados a O e, deste modo não constituem um sistema rígido. Explique a
diferença entre os dois problemas.
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
solução!
91
Solução
A generalizada segunda lei de Newton afirma para qualquer sistema de massas que a
aceleração a do centro de massa G é a mesma que dos exemplos apresentados,
F
nomeadamente, a
i
3m
N.B. Apesar de G coincidir com O no instante representado, o movimento do hinge O não
é o mesmo que o movimento de G dado que O não vai permanecer o centro de massa
como os ângulos entre as mudanças de spoke. Ambos M 0 e H 0 têm os mesmos valores
nos dois problemas nos instantes representados. Contudo, os movimentos angulares de
spokes neste problema são todos diferentes e não são facilmente determinados.
3.6 Rockets e Colisões
Leituras Compulsórias
Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductuctory Course, Austin, Texas.
UTP Page 129 – 135
Exemplo
Um pilão tem a massa de 800kg e é largado de repouso a 2 m em cima de uma pilha de
2400kg. Se o pilão ressalta 0,1m depois do impacto com a pilha, calcule:
(a) A velocidade v P da pilha imediatamente depois do impacto.
(b) O coeficiente de restituição e, e
(c) A percentagem da perda de energia devido ao impacto.
Solução
A conversão de energia durante a queda livre dá as velocidades inicial e final do pilão a
partir
de
v 2 gh .
Por
isso,
vi 2(9.81)(2) 6.26m / s
e
v f 2(9.81)(0.1) 1.40m / s
(a) A conservação do momento (ΔG y = 0) para o sistema do pilao e da pilha dá
800(6.26) 0 800(1.40) 2400VP Por isso V P = 2.55m/s.
rel.vel.separacao
2.55 1.40
0.63 (c) A
6.26 0
rel.vel.aprox
energia cinética do sistema justamente antes do impacto é a mesma que a energia potencial
do pilão em cima da pilha e é T = V g = mgh = 800(9.81)(2) = 15700J.
(b) O coefeciente de restituição dá e
A percentagem da perda de energia é por isso
15700 8620
(100) 45.1% .
15700
N.B.: Os impulsos dos pesos do pilão e da pilha são muito pequenos comparados com os
impulsos das forças de impacto e, por isso, são neglegenciados durante o impacto
92
Faça Isto
3.6.2 Exercicio
Um carrinho é colocado na bagageira de outro carro que se move em trilhos sem atrito.
Este carro dispara uma bala de massa de 5kg a uma parede oposta, com a velocidade
horizontal de 15m/s em relação ao chão. A massa total do carrinho e do outro carro são 15
000kg. (Assuma que a massa do tubo de escape é neglegenciável.)
(a) Qual é a velocidade V do carro quando a bala está a voar?
(b) Quando a bala penetra na parede, qual é a velocidade do carro e da bola depois do
impacto?
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
solução!
Solução
Quando disparada, a bala exerce a força para direita no carro. O carro exerce uma força
igual e oposta na bala, por isso ambos vão para esquerda. O momento resultante é
conservado porque não existem forças externas friccionais. O momento antes do disparo é
nulo, então depois do disparo o momento da bala deve ser igual em magnitude ao do carro
(5kg )(15ms 1 )
e do carrinho para esquerda. Por isso mv MV V
5.10 3 ms 1
15000kg
N.B.: A velocidade de reacção do carro e do carrinho é muito pequena por causa da sua
grande massa.
(b) À medida que a bala penetra na parede, ela exerce uma força na parede para direita. A
parede por sua vez exerce uma força para esquerda na bala. A bala e o carro param de se
mover quando isto acontece, dado que o momento resultante é ainda zero. Entretanto o
carro terá rolado para a esquerda como a bala viajou para direita.
Faça Isto
3.6.3 Exercício
Uma bola de hóquei em repouso é batida com stick. A velocidade da bola de 0.15 kg logo
após ser batida é 40m/s. Se a duração do impacto for 10-3s, qual será a força média na
bola?
O estudante não deve avançar para a página seguinte até que tenha completado a
93
solução!
Resposta
O momento inicial P da bola é zero, dado que começa a mover-se de repouso, o momento
final é P’ = mV’. Por isso, a partir de F t P ' P , a força média na bola é
mv ' (0.15kg )(40ms 1 )
F
6000 N
t
(10 3 s )
Unidade 4: Corpos rígidos e Energia
Conhecimento Prévio
A unidade 3 deste módulo é o pré-requisito, particularmente a cinemática de partícula e de
sistema de partículas.
Objectivos da unidade:
O estudante deve ser capaz de:
(a)
Escrever e explicar as equações do movimento do corpo rígido e aplicá-las ao
movimento linear do corpo rígido.
(b)
Calcular as velocidades relativas e as acelerações relativas para pontos num corpo
rígido e, também, calcular o centro instantâneo da velocidade zero de um corpo rígido.
(c)
Aplicar as equaçoes da cinemática linear para analisar o movimento de corpos
rígidos em translação e em rotação em torno de um plano fixo e de um plano geral de
movimento.
(d)
Aplicar o princípio de trabalho – energia assim como o de conservação de energia
para resolver problemas em cinemática linear.
(e)
Calcular ambos os momentos linear e angular de um corpo rígido e aplicá-los para
resolver problemas em cinemática linear.
Resumo da actividade de aprendizagem
Nesta unidade os estudantes aprenderão as equações de um corpo rígido e aplicá- las-ão
num movimento geral linear de um corpo rígido. Os estudantes aprenderão a calcular a
velocidade relativa e a aceleração relativa para pontos num corpo rígido e, também,
aprenderão a calcular o centro instantâneo da velocidade zero para um corpo rígido.
Os estudantes aprenderão a aplicar as equações da cinemática linear para analisar o
movimento de corpos rígidos em translação e em rotação em torno de um plano fixo e de
um plano geral de movimento.
Os estudantes aprenderão a aplicar o princípio de trabalho – energia assim como o de
conservação de energia para resolver problemas em cinemática linear. Os estudantes
aprenderão também a calcular ambos os momentos linear e angular de um corpo rígido e a
aplicá-los para resolver problemas em cinemática linear. Os estudantes irão também
aprender outros métodos melhores para resolver os problemas de mecânica, outros
problemas para além das leis de Newton. Eles terão em conta outros princípios da
mecânica tais como o princípio de Alemberts.
94
Métodos sugeridos de ICT
Deve usar-se a internet para obter mais informação a cerca dos tópicos relevantes,
Software, Animações e Laboratório virtual de ciências.
Conteúdo: Movimento linear de corpos rígidos:
Movimento de inércia;
Raio de giração;
Teorema dos eixos paralelos;
Teorema dos eixos perpendiculares;
Emparelhamento;
Energia cinética e momento angular em torno de um eixo fixo;
Princípio de momento angular;
Princípio de conservação de energia;
Princípio de trabalho virtual e princípio de Alembert;
Princípio da energia potencial mínima.
Textos de leitura obrigatória
Fitzpatrick, Richard, Classical Mechanics: An Introductuctory Course, Austin,
Links e Recursos Relevantes
Os links são a partir de wikipedia
Dinâmica dos corpos rígidos
http://www.engin.brown.edu/courses/en4/notes/RigidKinematics/rigkin.htm
Palavras-Chave
Sistema mecânico;
Inércia;
Graus de liberdade;
Cinemática das limitações;
Translação rectilínea;
Translação curvilínea.
Actividade de aprendizagem 4: Corpos rígidos e Energia
4.1 Movimento Plano de Corpos Rígidos
Leituras Obrigatórias
95
Mariam J. L. And Kraige L. G. Engineering Mechanics.Volume 2: Dynamics (page 291 –
459)
Ruina, A. and Pratap, R. Introduction to Statics and Dynamics.
Dynamics of Rigid Bodies
http://www.engin.brown.edu/courses/en4/notes/RigidKinematics/rigkin.htm.
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigid_body-dynamics
Observação:
No tópico movimento plano de corpos rígidos recomenda-se a leitura de Mariam J. L. And
Kraige L. G. Engineering Mechanics. Volume 2: Dynamics. Todos os outros recursos
estão
fortemente
dependentes
deste
livro.
http://www.engin.brown.edu/courses/en4/notes/RigidKinematics/rigkin.htm.
Dinâmica dos Corpos Rígidos
http://www.engin.brown.edu/courses/en4/notes/RigidKinematics/rigkin.htm.
4.1.1 Introdução
Dinâmica é o ramo da mecânica que trata das leis de movimento de corpos materiais
submetidos à acção de forças. O movimento dos corpos a partir do ponto de vista
puramente geométrico é discutido em cinemática. Diferentemente da cinemática, na
dinâmica o movimento dos corpos materiais é investigado em conexão com as forças que
actuam e a inércia dos próprios corpos materiais. Inércia é a propriedade dos corpos
materiais para resistir à mudança em suas velocidades sob a acção de qualquer força. Por
exemplo, um corpo que muda de velocidade mais devagar do que outro corpo submetido à
mesma força diz – se ter maior inércia.
Um corpo rígido é a idealização de um corpo que não se deforma ou muda de forma.
Formalmente é definido como uma colecção de partículas com a propriedade de que a
distância entre as particulas permanece inalterada durante o decurso de movimentos do
corpo. Tal como a aproximação de um corpo rígido a ponto material ou partícula, a
idealização de um corpo rígido não é estritamente verdadeira. Todos os corpos deformamse à medida que se movimentam. Contudo, a aproximação mantém-se aceitável desde que
as deformações sejam neglegenciáveis relativamente ao movimento geral do corpo.
Figura. Esquema mostrando um corpo rígido planar
96
A seguir restringir-se-á a atenção ao movimento planar de corpos rígidos. Em particular,
tomar-se-ão todos os corpos rígidos como sendo finas porções com movimentos
constrangidos para estarem no plano da porção. A não ser que seja dito o contrário vamos
assumir os vectores base da forma {i, j, k} tais que i e j estejam no plano e k é o plano
normal.
Faça Isto
Exercício: Cinemática do movimento do corpo rígido
1. O que entende por cinemática de corpos rígidos?
2. Explique os seguintes tipos de movimento:
i) Translação rectilínea.
ii) Translação curvilínea.
2.2 Dinâmica de um sistema de um corpo rígido
Leituras Compulsórias
http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
4.2.1 Sistemas Mecânicos. Forças Externas e Internas
Um sistema mecânico é definido como uma colecção de pontos materiais (partículas) ou
corpos nos quais a posição ou movimento de cada partícula ou corpo do sistema depende
da posição ou movimento de todas as outras partículas ou corpos. Um exemplo clássico de
um sistema mecânico é o sistema solar, todos os corpos componentes estão conectados
pelas suas forças de atracção mútua. Outros exemplos de sistemas mecânicos são as
máquinas ou quaisquer mecanismos cujas componenentes estão conectadas por parafusos,
rodas, cabos, cintos, cintas, etc. Neste caso os corpos do sistema estão sujeitos à
comprensão recíproca ou forças de tensão transmitidas através das limitações.
Uma colecção de corpos não conectada por forças em interacção não forma um sistema
mecânico (por exemplo, um conjunto de aviões parados). Neste livro devem considerar-se
apenas sistemas mecânicos, chamando-lhes apenas abreviadamente por “sistemas”.
Segundo o que se disse, as forças actuando em partículas ou corpos de um sistema podem
ser subdivididas em forças internas e externas.
Forças externas são definidas como as forças exercidas nos membros de um sistema por
partículas ou corpos não pertecendo ao sistema considerado.
Forças internas são definidas como as forças de interacção entre os membros de um
mesmo sistema. Devem representar-se as forças externas pelo símbolo F e e as internas
pelo símbolo F i .
97
As forças internas possuem as seguintes propriedades:
A soma geométrica (o vector principal) de todas as forças internas de um sistema é nula.
Isto segue a 3ª lei da dinâmica, a qual afirma que quaisquer partículas de um sistema (Fig.
15) actuam uma sobre a outra com forças iguais e opostas na mesma direcção F’ 12 e F’ 21 a
soma das quais é nula. Dado que isto é verdade para qualquer par de partículas do sistema
então Fk' 0
A soma dos momentos (o momento principal) de todas as forças internas de um sistema
em relação a qualquer centro ou eixo é zero. Por isso se se tomar um centro arbitrário 0, é
claro a partir da fig. 15 que m 0 (F’12) + m 0 (F’21) = 0. O mesmo resultado aparece para
os momentos em qualquer outro eixo. Portanto, para o sistema como um todo tem-se:
m0 Fk' 0 ou m x Fk' 0
Não obstante, não se segue por aquilo que se diz antes que as forças internas estejam
mutuamente balanceadas e não afectem o movimento do sistema, pois estão aplicadas em
diferentes partículas ou corpos e podem causar deslocamentos mútuos. As forças internas
serão balanceadas apenas quando o sistema dado é um corpo rígido.
4.2.2 Massa de um Sistema. Centro de Massa
O movimento de um sistema depende, para além das forças actuantes, da sua massa total e
da distribuição dessa massa. A massa de um sistema é a soma aritmética das massas de
todas as partículas ou corpos que lhe formam.
M mk
Deve-se convencionalmente indicar a massa pela mesma letra M como o momento da
força. Qualquer possibilidade de confusão está excluída pelo facto de quando o símbolo M
indicar o momento de uma força é providenciada com um índice (p.e. M c , M x , M t ).
Num campo gravitacional homogéneo, onde g = const., o peso de toda a partícula é
proporcional à sua massa, por isso a distribuição de massa pode ser julgada de acordo com
a posição do centro de gravidade. As equações definindo as coordenadas do centro de
gravidade podem ser escritas como:
xc
m
k
M
xk
; yc
m
k
M
yk
; zc
m
k
M
zk
(1)
98
As equações incluem apenas as massas m k dos pontos materiais (partículas) do corpo e
suas coodernadas (x k , y k , z k ). Por isso a posição do ponto C dá a distribuição de massa no
corpo ou em qualquer sistema mecânico onde m k e (x k , y k , z k ) são as massas e
coordenadas dos respectivos pontos do sistema.
O ponto C geométrico cujas coordenadas são dadas pelas equações (1) é chamado de
centro de massa ou centro de inércia dum sistema mecânico. Se a posição do centro de
massa é definida pelo raio vector r c pode-se obter a partir das equações (1) a seguinte
mk rk onde r k é o raio vector da partícula k do sistema.
expressão rc
M
Apesar de num campo gravitacional homogéneo o Centro de massa e o de gravidade
coincidirem, os dois conceitos não são idênticos. O conceito de centro de gravidade, como
o ponto através do qual a resultante das forças de gravidade passsa, tem sentido apenas
para um corpo rígido em campo uniforme de gravidade. O conceito de centro de massa
tem a característica da distribuição de massa num sistema, por outro lado, tem sentido para
qualquer sistema de partículas ou corpos, não importando se o sistema considerado está ou
não sujeito à acção de forças.
4.2.3 Momento de Inércia de um corpo em torno de um eixo: Raio de giração.
A posição do centro de massa não caracteriza completamente a distribuição da massa num
sistema. Por isso se num sistema na Fig. 16ª a distância h de cada duas esferas idênticas A
e B do eixo OZ é aumentada pela mesma quantidade, a localização do centro de massa não
muda, apesar de a distribuição da massa mudar e influenciar o movimento do sistema
(permanecendo sem alterar todas as outras condições, a rotação em torno do eixo Oz
reduzir).
Fig. 16ª pag. 125
Em concordância, outra característica da distribuição de massa, chamada de momento de
inércia, é introduzida em mecânica. O momento de inércia de um corpo (sistema) é
definido como a quantidade igual à soma das massas das partículas de um corpo (sistema),
cada uma multiplicada pelo quadrado da sua distância perpendicular ao eixo de rotação:
J z mk hk2
(2)
99
É uma consequência da definição que o momento de inércia de um corpo (ou sistema)
com respeito a qualquer eixo é sempre positivo.
Mostrar-se-á em adição que o momento axial de inércia desempenha o mesmo papel no
movimento rotacional de um corpo que o papel da massa desempenha no movimento
translacional, i. é. o momento de inércia é a medida da inércia de um corpo em
movimento rotacional.
Pela Eq. (2), o momento f de inércia de um corpo é igual à soma dos momentos de inércia
de todas as suas partes com respeito ao mesmo eixo.
Para um ponto material localizado a uma distância h a partir do eixo J z = mh2. A unidade
para o momento de inércia no sistema SI é 1 kg-m2.
Computarizando os momentos axiais de inércia as distâncias dos pontos a partir dos eixos
podem ser expressos em termos das suas coordenadas (x k , y k , z k ) (p.e. o quadrado da
distância a partir do eixo OX é y k2 z k2 , etc.
Então os momentos de inércia em torno dos eixos Oxyz serão dados pelas seguintes
equações:
J x mk ( y k2 z k2 ) , J y mk ( x k2 z k2 ) , J z mk ( y k2 x k2 ) (3)
O conceito de raio de giração é muitas vezes aplicado em cálculos. O raio de giração de
um corpo com respeito para um eixo Oz é a quantidade linear ρ g definido pela equação
J z M g2 (4) onde M é a massa do corpo.
Resulta da definição que geometricamente o raio de rotação é igual a distância a partir do
eixo OZ até ao ponto tal que, se a massa de todo o corpo estivesse concentrada nele, o
momento de inércia do do ponto seria igual ao momento de inércia de todo o corpo.
Conhecendo o raio de rotação, nós podemos obter o momento de inércia de um corpo a
partir de Eq. (4) e vice-versa.
As Eqs. (2) e (3) são válidas para ambos os corpos rígidos e sistemas de pontos materiais.
No caso de um corpo sólido, dividindo-se em partes elementares constata-se que no limite
a soma na Eq. (2) torna-se em integral. Por isso, considerando que dm dV onde ρ é a
densidade e V o volume, obte-se:
J z h 2 dm ou J z h 2 dV (5)
Por isso, considerando que dm dV onde ρ é a densidade e V o volume, obte-se:
J z h 2 dm ou J z h 2 dV (5)
A integral estende-se ao longo de todo o volume V do corpo e a densidade e a distância H
dependem das coordenadas dos pontos do corpo. De modo similar, para os corpos sólidos
as equações (3) tomam a forma:
J x ( y 2 z 2 )dV , etc (5’)
As equações (5) e (5’) são úteis em calcular os momentos sobre inércia de corpos
homogéneos na forma geométrica. Como naquele caso a densidade é constante pode ser
tirada para fora do sinal de integral.
100
Determinar-se-ão os momentos de inércia de alguns corpos homogéneos.
4.2.4 Uma barra fina homogénea de comprimento L e Massa M
Fig. 16b pag. 127
Encontra-se o seu momento de inércia em relação a um eixo AZ perpendicular à barra
(Fig. 16b). Se se colocar o eixo de coordenadas Ax ao longo de AB, para qualquer
M
elemento de comprimento dx tem-se que h = x e a sua massa dm 1 dx , onde 1
é
a massa da unidade de comprimento da barra e Eq. (5) dá
I
I
I3
2
2
Substituindo a expressão por ρ 1 , obte-se finalmente que
J A x dm 1 x dx 1
3
0
0
JA
1
MI 2
3
(2) Um anel circular homogéneo fino de raio R e Massa M
Encontra-se seu momento de inércia em relação a qualquer eixo Cz perpendicular ao
plano.
Fig. 17 Pag. 128
Como todos os pontos do anel estão à distância do eixo Cz, A Eq. (2) dá
101
J C mk R 2 ( mk ) R 2 MR 2
Aqui e doravante J representa o momento de inércia em relação a qualquer eixo através
dum plano perpendicular que atravessa a secção transversal no diagrama.
Por isso, para um anel J c MR 2
É evidente que o mesmo resultado é obtido para o momento de inércia de um cilindro de
massa M e raio R em relação ao seu eixo.
4.2.5 Disco circular Homogéneo ou Cilindro de Raio R e Massa M
Computarize-se o momento de inércia de um disco circular em relação a um eixo Cz
perpendicular a ele pelo seu centro (Fig. 17 b).
Considere-se um anel elementar de raio r e largura dr . Sua área 2πrdr e sua massa dm =
M
ρ 2 2πrdr, onde 2
é a massa da unidade da área do disco. A partir da Eq. (7) tem-se
R 2
para o elemento do anel dU C = r2dm = 2πρ 2 r3dr e para todo o disco
R
1
J c 2 2 r 3 dr 2 R 4 substituindo a expressão para ρ 2 finalmente obte-se
2
0
Jc
1
MR 2 (8)
2
É evidente que a mesma formula é obtida para o momento de inércia I de um cilindro
homogéneo circular de massa M e raio R em relação ao seu eixo Cz (17c).
4.2.6 Lâmina Rectangular, Cone e Esfera.
Omitindo a computação aqui estão as equações dos momentos de inércia de vários corpos
(os estudantes são convidados a deduzir estas fórmulas independentemente).
(a) A lâmina uniforme rectangular de massa M com comprimentos de lados a e b (o eixo x
coincide com o lado a e, eixo y com o lado b).
Jx
1
1
Mb 2 , J y Ma 2
3
3
(b) Cone direito circular uniforme de massa M e raio de base R (eixo z coincide com o
eixo do cone).
J z 0.3MR 2
(c)
Esfera uniforme de massa M e raio R (eixo z coincide com o diâmetro)
J z 0.4MR 2
4.2.7 Momento de inércia de um corpo em torno de eixos paralelos.
O Teorema dos Eixos Paralelos (Huygens)
Nos casos mais gerais, os momentos de inércia do mesmo corpo em relação a diferentes
eixos são diferentes. Veja-se como se determina o momento de inércia dum corpo em
102
relação a qualquer eixo se o momento de inércia para os eixos paralelos através do corpo
for conhecido.
Fig. 18
Desenhe através do centro de massa dum corpo C arbitrário eixos Cx’y’z’ e através dum
ponto arbitrário O sobre o eixo Cx eixos Oxyz de tal modo que Oy//Cy’ e Oz//Cz’ (Fig.
18). Denotando a distância entre os eixos Cz’ e Oz por d, a partir das Eqs (3)
J oc mk x k2 y k2
12
J oz mk x 12
k yk
Mas está claro, a partir do desenho, que a para qualquer ponto do corpo x k x k' d ou
x k2 x k' 2 d 2 2 x k' d e y k y k' substituindo estas expressões para x k e y k na expressão
para J oz e tomando os factores comuns d e 2d para fora dos parenteses, obtem-se:
12
2
12
J oz mk ( x 12
k y k ) ( m k ) d 2d ( m k x k )
A primeira parcela no membro direito da equação é igual a J cz e a segunda à massa M do
corpo. Determine-se o valor da terceira parcela. A partir da Eq (1) sabe-se que, para as
coordenadas do centro de massa mk x k' Mxc' . Mas dado que neste caso o ponto C é a
origem xc' 0 e consequentemente
m
k
x k' 0
4.3 Produto de Inércia
4.3.1 Eixos principais de inércia de um corpo
O momento de inércia de um corpo em relação a qualquer eixo também não caracteriza
completamente a distribuição de massa do sistema. Por exemplo, se a barra DE na fig.
abaixo
103
é girada no plano Oyz de tal modo que faça um outro plano, então o ângulo direito com
eixo Oz e a distância h das esferas A e B dos eixos são mantidos na mesma por se
moverem para frente; nem a localizacao do centro de massa nem o momento de inércia
das esferas em relação ao eixo Oz mudarão. Ainda assim, a distribuição de massa terá
mudado (a simetria em relação ao eixo Oz sendo distribuída), e isto afectará a rotação do
sistema em torno dos eixos (o stress lateral adicional vai aparecer no anel).
Em concordância, o conceito do produto de inércia é introduzido como caracterizando tal
simetria na distribuição de massa. Desenhando as coordenadas dos eixos Oxyz através do
ponto 0, os produtos de inércia em relação a aqueles eixos são as quantidades J xy , J yz , J zx ,
dadas pelas seguintes equações: J xy mk x k y k , J yz mk x k y k , J zx mk x k y k ,
(10)
Quando m k é a massa do ponto e x k y k z k são as suas coordenadas obviamente J xy = J yx etc.
Para corpos sólidos, Eqs. (10) por analogia com (5’), tomam a forma: J xy xydV (10’)
Diferentemente dos momentos axiais de inércia, produtos de inércia podem ser positivos,
negativos ou nulos.
Considere-se um corpo homogéneo tendo um eixo de simetria. Desenhe as coordenadas
dos eixos Oxyz de tal modo que o eixo z é dirigido ao longo da simetria. Pela virtude da
simetria, para cada ponto de massa m k com as coordenadas (x k , y k , z k ) existe um outro
ponto correspondente de igual massa com as coordenadas (-x k , -y k , -z k ).
Consequentemente, como no caso anterior, encontra-se mk x k z k = 0 e mk y k z k = 0 e
tomando em consideração as Eqs. (10) obte-se: J xz = 0, J yz = 0
(11)
Por isso, a simetria na distribuição de massa em relação ao eixo Oz é caracterizada por
dois momentos centrifugais de inércia J xz e J yz tornando-se zero. O eixo Oz em relação ao
qual o produto de inércia J xz cujos índices contêm a notação desses eixos é zero e é
chamado o eixo principal de inércia do corpo em relação ao ponto 0.
Segundo o que se disse, um corpo tem um eixo de simetria que é o principal eixo de
inércia em relação a qualquer um dos seus pontos.
O eixo principal de inércia não é necessariamente o eixo de simetria.
Considere-se um corpo homogéneo tendo um plano de simetria. Desenhando-se eixos Oxy
nesse plano e eixos Oz perpendiculares a eles, pela virtude da simetria, para todo o ponto
de massa m k com as coordenadas (x k , y k , z k ), corresponde a um ponto da mesma massa
104
com as coordenadas (-x k , -y k , -z k ). Consequentemente, como no caso anterior, encontra-se
mk xk z k = 0 e mk y k z k = 0, ou J xz = 0, J yz = 0
Por isso, se um corpo tiver um plano de simetria, qualquer eixo perpendicular a esse plano
será o eixo principal de inércia do corpo em relação ao ponto 0 no qual os eixos
interceptam o plano.
As Eqs. (11) expressam as condições em que o eixo Oz é o principal eixo de inércia dum
corpo, em relação ao ponto 0 (a origem de coordenadas do sistema). De modo similar se
J xz = 0, J yz = 0, o eixo Ox será o eixo principal de inércia em relação ao ponto 0, etc.
Consequentemente, se todos os produtos de inércia são zero, i.é, J xz = 0, J yz = 0 J zx = 0
(12)
cada eixo de coordenadas Oxyz é um eixo principal de inércia em relação ao ponto 0 (a
origem de coordenadas do sistema).
A seguir mostrar-se-á que os eixos principais de inércia existem em qualquer ponto do
corpo. Para isto deve provar-se primeiro o teorema:
Se o momento de inércia em relação a qualquer eixo Oz é maior ou menor que o momento
de inércia em relação a qualquer eixo vizinho através de 0, esse eixo (Oz) é o eixo
principal de inércia do corpo em relação a 0.
4.4 Princípio de D’alembert
Leitura Obrigatória
Classical Mechanics Page 260
Princípio de D’Alembert
http://www.en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle
4.4.1 Forças Actuando nos Eixos de um Corpo em Rotação
Principio de D’Alembert
Todos os métodos de resolver os problemas de dinâmica analisados até agora eram
baseados em equações derivadas quer directamente das leis de Newton ou de teoremas
gerais, os quais eram corolários daquelas leis. Contudo, as equações de movimento ou
outras posições de equilíbrio são chamadas principios de mecânica. Em muitos casos a
aplicação daqueles princípios oferecem melhores métodos de solução de problemas. Neste
caso deve-se examinar um dos princípios gerais da mecânica conhecido como o principio
de D´alembert.
Aceita-se a existência de um sistema de n partículas materiais. Selecionando uma partícula
de massa m k e assume-se que é actuada por forças externas e internas Fkext e Fkint (as quais
incluem ambas as forças activas e as reacções das limitações) que lhe aplicam uma
aceleração ω k em relação a uma estrutura de referência inercial.
Introduza-se a quantidade Fk' mk k com as dimensões de força. O vector quantidade
igual em magnitude ao produto da massa da partícula e à aceleração é direccionada no
105
sentido oposto da aceleração e é chamado de força de inércia dessa partícula (algumas
vezes de força de D’Alembert de inércia).
O movimento da partícula, como se vai concluir, satisfaz o seguinte princípio de
D’Alambert para a partícula material: Se, em qualquer instante de tempo, às forças
efectivas Fkext e Fkint actuando na partícula é adicionado a força de inércia Fk' a força
resultante do sistema no equilíbrio será: Fkext + Fkint + Fk' = 0 (97)
Observar-se-á prontamente que o princípio de D’Alembert é equivalente à segunda lei de
Newton, e vice-versa. Segundo a Segunda Lei de Newton, para esta partícula tem-se
mk k Fkext Fkint . Transferindo mk k para o lado direito da equação e tomando em
consideração a anotação (96), chega-se a Eq. (97), obte-se a fórmula que exprime a
Segunda Lei de Newton.
Raciocionando de modo similar para todas as partículas do sistema, chega-se aos seguintes
resultados que expressam o princípio de D’Alembert para um sistema: Se, em qualquer
momento do tempo, as efectivas forças externas e internas actuando em cada partícula do
sistema são adicionadas as respectivas forças de inércia, a resultante das forças do
sistema estará em equilíbrio e as equações da estatística serão aplicáveis nele.
Matematicamente o princípio de D’Alembert é expresso por um conjunto de n equações
vectoriais simultâneos da forma (97) os quais, aparentemente, são equivalentes as
equações diferenciais de movimento de um sistema. O princípio de D’Alembert pode ser
usado para derivar todos os teoremas gerais da dinâmica. O valor do princípio de
D’Alembert é que, quando directamente aplicado aos problemas da dinâmica, as equações
de movimento do sistema podem ser escritas na forma das bem conhecidas equações de
equilíbrio; isso garante uniformidade no tratamento das soluções dos problemas e em geral
simplifica grandemente os cálculos. Mais ainda, quando usada em conjunto com o
princípio de deslocamento virtual, que será examinado na próxima secção, o princípio de
D’Alembert oferece um novo método geral de resolver problemas de Dinâmica.
Na aplicação do princípio de D’Alembert tem que se lembrar que, tal como a lei
fundamental da dinâmica, ela refere-se a movimentos considerados em relação a uma
estrutura inercial de referência. Isto significa que actuando em partículas de sistema
mecânico cujo movimento está sendo investigado estão apenas as forças externas e
internas que aparecem como consequência das interacções das partículas do sistema entre
eles e com corpos que não pertencem ao sistema; é sob acção destas forças que as
partículas do sistema movem-se com as respectivas acelerações ω k . A força de inércia
mencionada no princípio de D’Alembert não actua em partículas em movimento [de outro
modo, pelas Eq. (97), os pontos poderiam estar em repouso ou em movimento uniforme
nesse caso, como é aparente a partir da Eq. (96), não haveria forças inérciais]. A
introdução de forças inerciais é sim um mecanismo tornando possível examinar as
equações da dinâmica pelo método simples de estátistica.
Sabe-se da estatitística que a soma geométrica de forças balanceadas e a soma dos seus
momentos em relação a qualquer centro 0 são zero; sabe-se ainda, a partir do princípio de
solidificação que este contém não apenas forças actuando num corpo rígido mas qualquer
sistema deformável. Por isso, de cordo com o princípio de D’Alembert, deve-se
Fkext Fkint Fk' 0
(98)
m0 ( Fkext ) m0 ( Fkint ) m0 ( Fk' ) 0
106
introduzir a seguinte notação R' Fk' e M 0' m0 ( Fk' ) (99)
As quantidades R’ e M 0' são respectivamente o vector principal das forças de inércia e o
seu principal momento em relação ao centro 0. Considerando que a soma das forças de
inércia e a soma dos seus momentos são zero para cada um obte-se:
F
ext
k
R' 0 ,
m
0
( Fkext ) M o' (100)
O uso das Eqs (100), o qual segue o princípio de D’Alembert, simplifica o processo de
solução de problema porque as equações não contêm forças internas. De facto as eqs (100)
são equivalentes às expressões de teoremas de mudanças no momento de um sistema,
diferindo deles apenas na forma.
As eqs (100) são especialmente convenientes para investigar o movimento de um corpo
rígido ou de um sistema de corpos rígidos. Estas equações, contudo, são incovenientes
para a investigação completa de qualquer sistema deformável.
Para as projecções num conjunto de eixos de coordenadas, as eqs (100) dão equações
análogas às equações correspondentes da estátistica. Para usar estas equações para resolver
problemas deve saber-se o momento principal das forças de inércia.
4.4.2 O Vector Principal e o Momento Principal das Forças de Inércia de um Corpo
Rigído.
Segundo as Eqs (99) um sistema de forças de inércia aplicadas a um corpo rígido pode ser
substituído por uma única força igual a R’ e aplicada ao centro 0 e a um par de momentos
M 0' . O vector principal dum sistema, será lembrado, não depende do centro de redução e
pode ser computado de uma vez. Como Fk' mk k tomando em consideração as equações
de movimento do centro de massa
m
k
k
M c tem-se R ' mk k M c (101)
Por isso, o vector principal das forças de inércia de um corpo em movimento é igual ao
produto da massa do corpo e à aceleração do seu centro de massa e é oposta em sentido a
aceleração.
Se nós resolvemos a aceleração c em seus componentes tangencial e normal, então o
vector R’ vai resolver-se nos componentes Rt' M ct e Rn' M cn
Vamos determinar o momento principal das forças de inércia para certos tipos de
movimento particulares.
Movimento de translação. Neste caso o corpo não tem rotação em torno do seu centro de
massa C, a partir do que se conclui que mc ( Fkext ) 0 e a Eq. (100) dá que M c = 0.
Por isso, no movimento de translação, as forças de inércia de um corpo rígido podem ser
reduzidos a uma resultante simples R’ através do centro de massa do corpo.
Movimento Plano. Considremos que um corpo tem um plano de simetria, e deixa-mo-lo
mover-se paralelamente ao plano. Pela virtude de simetria, o vector principal e a resultante
do par das forças de inércia está, juntamente com o centro de massa C, nesse plano.
Por isso, colocando o centro de redução no ponto C, obte-se a partir da Eq. (100)
M c' mc ( Fkext ) J c E . Conclui-se a partir disto que M c' J c E (102)
107
Por isso, num movimento de um sistema de forças de inércia pode-se reduzir a força
resultante R’ [Eq. (101) aplicada ao centro de massa C (Fig.22) e a um par num plano de
simetria do corpo cujo momento é dado pela Eq. (102). O sinal menos mostra que o
momento M c' tem um sentido oposto ao da aceleração angular da aceleração do corpo.
4.4.3 Rotação Através de um Eixo Através do Centro de Massa.PPPDeixe um corpo
ter um plano de simetria, e deixe os eixos de rotação C z serem normais ao plano através
do centro de massa. Este caso vai, por isso, ser um caso particular do movimento anterior.
Mas aqui ω c = 0 e consequentemente R’ = 0. Por isso, neste caso, um sistema de forças de
inércia pode reduzir-se à força resultante acoplada no plano de simetria do momento do
corpo M x' J x E (102’) aplicando as Eqs (101) e (102) para as soluções do problema
das respectivas quantidades são computadas e os sentidos são mostrados na fig. 22.
Faça Isto
Exercícios
Use o princípio de D’Alembert para resolver o seguinte:
a)
Uma carga de peso P ligada a uma mola de comprimento l é deslocada através de
um ângulo α a partir da vertical para a posição Mo e largada a partir de repouso (veja a fig.
abaixo). Determine a tensão no filamento quando a carga está na posição mais baixa M i.
108
b)
Dois pesos P 1 e P 2 são ligados por um filamento e movem-se ao longo do plano
horizontal sob acção das forças Q aplicadas ao primeiro peso. O coefeciente de fricção dos
pesos no plano é f . Determine as acelerações dos pesos e as tensões nas ligações.
c)
Um tambor de peso P e raio r é puxado por uma corda que tem uma carga A de
peso Q. Ignorando a massa da corda e a fricção, determine a aceleração angular do tambor
quando a carga cai, o raio de giração do tambor em relação ao seu eixo de isometria.
Também determine a tensão na corda.
d)
Uma barra homogénea dobra – se num certo ângulo como mostra na Fig. 21 e gira
num plano horizontal em torno da sua extremidade A com uma velocidade angular ω e
aceleração angular ε. As respectivas distâncias AB = a e BC = b; a massa de unidade de
comprimento da barra é ρ 1 . Determine o stress na secção transversal da barra no ponto D
na distância h a partir da extremidade B.
109
Referências
Michon, G. P, Rigid Bodies
http://home.att.net/~numericana/answer/rigid.htm
Ruina, A. And Pratap, R. Introduction to Static and Dynamics
Targ, S. Theoretical Mechanics: A Short Course Mir Publishers Moscow (1988)
Mariam J. L. And Kraige L.G. Engineeiring Mechanics Volume 2: Dynamics
Principio de D’Alembert
http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle
Momento de Inércia
http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
Dinâmica de Corpos Rígidos
http://www.engin.brown.edu/courses/en4/notes/RigidKinematics/rigkin.htm
Esta actividade introduz os conceitos de relatividade de movimento. Experiências do dia a
dia, como o movimento aparente de objectos ao lado de uma estrada quando os estudantes
estão num carro em movimento, podem ser citados como casos de relatividade de
movimento. Porquê um autocarro cruzando-se com o nosso parece mais rápido do que
aquele que nos ultrapassa? É também um bom ponto para ilustrar o conceito da
relatividade da velocidade a nível escolar.
XI. Glossário (Conceitos-chave)
Nota: este glossário contém apenas conceitos básicos que constituem a espinha dorsal do
módulo. Muitos dos conceitos importantes já foram definidos e explicados de forma
simples nas respectivas unidades. Se os estudantes tiverem dificuldades com as definições
aqui apresentadas são encorajados a visitar a pag. da inernet www.en.wikipedia.org. Se
este material é lido como um ficheiro de computador, as palavras-chave podem ser ligadas
ao material usado de wikipedia.
Campo Central
Em física atómica a aproximação campo central para muitos electrões nos átomos toma
a combinação campo eléctrico do núcleo e todos os electrões actuando em qualquer um
dos electrões para serem radial e para serem iguais aos restantes electrões. Isto é, todo o
electrão está sujeito ao mesmo potencial V (r) que é apenas uma função da distância a
110
partir do núcleo. Isto facilita uma solução analítica aproximada para o problema do valor
de eigen para o operador de Hamilton.
Movimento Circular
Em física movimento circular é a rotação ao longo dum circo: um caminho circular ou
uma órbita circular. A rotação em torno de um eixo fixo de um corpo tridimensional
envolve o movimento circular de suas partes. Pode-se falar do movimento circular de um
objecto se se ignorar o seu tamanho para que se tenha o movimento de um ponto de massa
num plano.
Exemplos de movimento circular são: um satélite artificial orbitando em torno da Terra
em órbita geosynchoronous, uma pedra volteada atada a uma corda (o lancamento de
pedra nos jogos olímpicos), um carro de corridas fazendo uma curva na pista de corridas,
um electrão que se move perpendicularmente a um campo magnético, um volante que gira
em torno de um mecanismo.
O movimento circular envolve a aceleração do objecto que se move pela força centrípeta
que puxa o objecto para o centro da órbita circular. Sem esta aceleração o objecto poderia
mover-se inercialmente em linha recta de acordo com a 1ª Lei de movimento de Newton.
O movimento circular é acelerado mesmo que a velocidade seja constante porque o
objecto que possui a velocidade está constantemente mudando de direcção.
Força e Efeito de Coriolis
O efeito de coriolis é uma deflexão aparente dos objectos em movimento a partir de uma
linha recta quando são vistos a partir de um referencial em rotação. O nome é dado em
honra ao cientista francês Gaspard-Gustave Coriolis que descreveu este fenómeno em
1835, apesar de a matemática ter aparecido nas equações de tidal de Pierre- Simin Laplace
em 1778. O efeito de Coriolis é causado pela força de Coriolis a qual aparece na equação
de movimento num objecto em rotação, por vezes esta força é chamada de força fictícia
(ou pseudo força), porque ela não aparece quando o movimento é exprimido em
referencial inercial, no qual o movimento de um objecto é explicado pelas forças reais que
actuam em conjunto com a inércia. Numa estrutura rotacional, a força de Coriolis, que
depende da velocidade do objecto em movimento e a força centrífuga, a qual não depende,
são necessárias na equação para correctamente descreverem o movimento.
Força: é o vector acção de um corpo sobre outro.
Oscilador Harmónico e Movimento Harmónico Simples
Um sistema deve possuir duas quantidades para que a oscilação mecânica ocorra:
elasticidade e inércia. Quando o sistema é deslocado da sua posição de equilíbrio a
elasticicidade providencia a força restauradora de tal forma que o sistema tenta voltar ao
equilíbrio. A propriedade de inércia faz com que o sistema ultrapasse a posição de
equilíbrio. Este constante jogo entre as propriedades elástica e de inércia é o que permite
que ocorra o movimento oscilatório. A frequência natural da oscilação é relacionada às
elasticidade
propriedades elástica e inércia pela expressão: o 2f o
inercia
O exemplo mais simples de um sistema em oscilação é uma massa conectada a uma
fundação rígida por meio de uma mola. A constante k da mola providencia a força elástica
restauradora e a inércia de massa m providencia a ultrapassagem do ponto de equilíbrio.
Aplicando a Segunda Lei de Newton F = ma a massa, pode obter-se a equação do
movimento do sistema:
111
d 2x k
d 2x
d 2x
kx
0
x
0
02 x 0 onde 0 k m é a frequência
2
2
2
m
dt
dt
dt
natural de oscilação. As soluções desta equação de movimento tomam a forma
x(t ) x cos( o t ) onde x m é a amplitude da oscilação e φ é a constante de fase da
oscilação. Ambos x m e φ são constantes determinadas pelas condições iniciais
(deslocamento inicial e velocidade) quando o tempo é t = 0s quando se começa a observar
o movimento oscilatório.
m
As Três Leis de Kepler
1.
A órbita de todo o planeta é uma elipse com o sol num dos focos. Uma elipse é
caracterizada por dois pontos de focos; veja-se a ilustração. Por isso Kepler rejeitou a
crença antiga de movimento circular Aristoteliana, Ptolemiana e copercaniana.
2.
O segmento de recta que une o planeta e o sol varre áreas iguais em iguais
intervalos de tempo a medida que o planeta circula pela órbita. Isto significa que o planeta
viaja mais rápido quando está perto do sol e mais devagar quando esta mais afastado do
sol. Kepler destruiu com esta lei a teoria astronómica Aristoteliana de que os planetas têm
uma velocidade uniforme.
3.
O quadrado do período orbital dos planetas é directamente proporcional aos cubos
dos semi-eixos (a metade do comprimento da elipse) das suas órbitas. Isto significa não só
que grandes órbitas têm períodos mais longos, mas também que a velocidade do planeta
numa órbita maior é menor do que numa órbita pequena.
Massa: é definida como a medida quantitativa da inércia ou resistência à mudança em
movimento de um corpo e também dá lugar à atracção Gravitacional.
Sistema Mecânico: um sistema mecânico é definido como uma colecção de pontos
materiais (partículas) ou corpos nos quais a posição ou o movimento de cada partícula ou
corpo do sistema depende da posição e do movimento de todas as outras partículas ou
corpos. Um exemplo clássico dum sistema mecânico é o sistema solar, todos os corpos
componentes estão conectados por forças mútuas de atracção. Outros exemplos de
sistemas mecânicos são as máquinas ou quaisquer mecanismos cujos membros estão
conectados com parafusos, rodas, cintos, etc.
Frequência Circular Natural
O tom fundamental, muitas vezes referido como fundamental e abreviado por f o é a
frequência mais baixa na série harmónica.
A frequência fundamental (também chamada frequência natural) de um sinal periódico é o
inverso da área do comprimento de um período. A área do período é por sua vez a menor
unidade de repetição do sinal. Uma área do período descreve, por isso, completamente o
sinal periódico. A significância de definir a área do período como a menor unidade de
repetição pode ser apreciada se se anotar que duas ou mais áreas de períodos concatenados
formam o padrão de repetição do sinal. Contudo, a unidade de sinal concatenada contém
informação redundante.
Em termos de superposição de sinusoidais (por exemplo, series de fourier), a frequência
fundamental é a mais baixa frequência sinusoidal na soma.
Leis de Movimento de Newton
112
As leis de movimento de Newton são três, as quais providenciam relações físicas entre as
forças actuando no corpo e no movimento do corpo. Foram primeiramente compilados por
Isaac Newton no seu trabalho Princípios Matemáticos da Filosofia Natural (1687). As leis
formam as bases da mecânica clássica e Newton usou-as para explicar muitos resultados
relacionados com o movimento físico dos objectos. No terceiro volume do texto, mostrou
que estas leis de movimento, combinadas com a lei de gravitação universal explicam as
leis de Kepler do movimento planetário.
Enunciadas de uma forma resumida as três leis afirmam:
1. Um corpo físico vai permanecer em repouso ou continuar em movimento em
velocidade constante a não ser que uma força resultante diferente de zero actue nele.
2. A força resultante num corpo é igual à sua massa multiplicada pela sua aceleração.
3. Para toda a acção existe uma reacção igual e oposta.
Partícula: é um corpo de dimensões menosprezíveis. Também quando as dimensões do
corpo são irrelevantes para a descrição do seu movimento ou da acção da força que actua
nele o corpo pode ser tratado como partícula.
Posição: no espaço é determinada em relação a certas referências geométricas através das
medições lineares ou geométricas. A estrutura de uma referência absoluta é um conjunto
imaginário de eixos rectangulares assumidos como não tendo translação ou rotação no
espaço para outros movimentos, como o movimento de um projéctil, o movimento relativo
da terra tem de ser tomado em conta e as correcções relativas feitas às equações
descrevendo as leis Newtonianas de mecânica.
Translação rectilínea: movimento no qual toda a linha no corpo permanece paralela à sua
posição original. O movimento do corpo é completamente especificado pelo movimento
de qualquer parte do seu corpo. Todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade e
aceleração.
Corpo Rígido
Em física, um corpo rígido é uma idealização de um corpo sólido de tamanho definido no
qual as deformações são menosprezíveis. Em outras palavras, a distância entre dois pontos
dados de um corpo rígido permanece constante no decorrer do tempo independentemente
das forças externas que actuam nele. Em mecânica clássica um corpo rígido é usualmente
como uma distribuição contínua de massa, enquanto em mecânica quântica um corpo
rígido é usualmente pensado como uma colecção de pontos de massa. Por exemplo, em
mecânica quântica, moléculas (consistindo de pontos de massa: electrões e núcleos) são
muitas vezes vistas como corpos rígidos (veja-se a classificação de moléculas como
rotores rígidos). A posição de um corpo rígido é determinada pela posição do seu centro
de massa e pela sua orientação (pelo menos seis parâmetros no total).
Pêndulo Simples
Um pêndulo é um objecto ligado a um pivot no qual o pêndulo pode oscilar livremente.
Este objecto é sujeito a um movimento restaurador que o acelera para a posição de
equilíbrio. Quando o pêndulo é deslocado da sua posição de repouso a força restauradora
faz com que o pêndulo oscile em torno da posição de equilíbrio.
Um exemplo básico é o pêndulo gravítico simples ou pêndulo de bolbo. Este é um peso
(ou bolbo) numa extremidade de uma corda sem massa, a qual, quando infinitamente
deslocada, oscila para frente e para trás sob a influência da gravidade em torno do seu
ponto central (o mais baixo).
113
O movimento regular de um pêndulo pode ser usado para conservar o tempo e os pêndulos
são usados para regular os despertadores.
Espaço: esta é a região geométrica ocupada por corpos. A posição no espaço é
determinada relativamente a alguns sistemas de referência geométricos através de
medições lineares ou angulares.
Tempo: tempo é a medida de sucessão de eventos o qual é considerado como sendo uma
quantidade absoluta em mecânica Newtoniana.
Vectores e Escalares: os escalares têm apenas magnitude. A temperatura, rapidez, massa,
e volume são exemplos de escalares.
Os vectores têm magnitude e sentido. A magnitude de v é escrita v v . A posição,
deslocamento, velocidade, aceleração e força são exemplos de quantidades vectoriais. Os
vectores têm as seguintes propriedades:
1. Os vectores são iguais quando têm a mesma magnitude e sentido.
2. Os vectores têm que ter as mesmas unidades para que sejam somados ou subtraídos.
3. O negativo do vector a tem a mesma magnitude mas sentidos opostos.
4. A subtracção de um vector é definida como a adição de um vector negativo:
A B A B
5. A multiplicação de um vector por escalar resulta num vector para o qual:
(a) Apenas a magnitude muda se o escalar é positivo.
(b) A magnitude muda e o sentido é invertido se o escalar é negativo.
6. As projecções de um vector ao longo dos eixos de um sistemas de coordenadas
rectangulares são chamados de componentes de um vector. Os componentes de um vector
definem completamente o vector.
114
cos
Ay
Ax
Ax A cos sen
Ay Asen
A
A
Podem-se inverter estas equações para determinar A e como funções de A x e A y . Pelo
teorema de pítagoras tem-se que A
tg
Ay
Ax
arctg
Ax2 Ay2 e a partir do diagrama tem-se que
Ay
Ax
7. Para adicionar os vectores pelos componentes: R A ... C ... Encontre todos os
compenentes que devem ser adicionados.
(a) Adicione todos os componentes em x para obter R x = A x + B x + C x + ...
(b) Adicione todos os componentes em y para obter R y = A y + B y + C y + ...
Então R R x2 R y2 e que arctg
Ry
Rx
XII. Leituras Compulsórias
Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductuctory Course, Austin, Texas.
UTP
Racional
Fitzpack tem o método tradicional da mecânica e ocupa-se de forma breve da álgebra
vectorial e de cálculos que formam as bases modernas para o estudo da mecânica. Ele
cobriu cuidadosamente alguns conteúdos do currículo e, por isso, constitui uma boa leitura
para os estudantes. Não obstante, não existem exercícios para os estudantes e apenas
alguns exemplos são dados no fim de cada capítulo.
O estudante deve prestar atenção para a comutação das unidades.
Suplementa-se esta leitura obrigatória por incluir tópicos que nela não se encontram.
XIII. Lista Compilada de Recursos(Opcionais) Multimédia
Recurso # 1 Wolfram MathWorld (visitado em 03.11.06)
Referência completa: http://mathworld.wolfram.com
Abstracto: Wolfram MathWorld é uma enciclópedia especializada da matemática.
Racional: Providencia as referências mais detalhadas de qualquer tópico de matemática.
Os estudantes devem começar por usar o instrumento de procura para o título do módulo.
Deste modo, encontrarão os artigos mais importantes. A partir de um certo ponto os
estudantes devem procurar as palavras-chave que precisam perceber. A entrada deve ser
estudada cuidadosa e profundamente.
Recurso # 2 Wikipedia (visitado em 03.11.06)
Referência completa: http://en.wikipedia.org/wiki
Abstracto: Wikipedia é uma enciclópedia da internet. É escrita pelos leitores. É
extremamente actualizada dado que todas as entradas são continuamente revistas.
Também já provou ser acurado. As entradas de matemática estão muito detalhadas.
115
Racional: Os estudantes devem usar wikipedia da mesma forma que MathWorld.
Contudo, as entradas poder ser mais curtas e mais fáceis de manipular. Os resultados não
serão tão detalhados.
Recurso # 3 MacTutor History of Mathematics (visitado em 03.11.06)
Referência completa: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes
Abstracto: O Arquivo MacTutor é a história da matemática mais compreensível da
internet. Os recursos estão organizados pelos traços históricos e pelos temas de história
Racional: Os estudantes devem procurar, no Arquivo MacTutor, as palavras-chave nos
tópicos que estão estudando (ou pelo próprio título do módulo). E muito importante ter
uma ideia histórica (contextualçização histórica) da matemática me função do lugar onde
ela é estudada. Após os estudantes completarem o curso e começarem a ensinar
matemática no ensino secundário, a história da matemática trará vida às suas lições. Em
particular, o papel da mulher na história da matemática deve ser estudado para os
estudantes perceberem as dificuldades que as mulheres têm enfrentado apesar de terem
grandes contributos. De igual modo, o papel do continente Africano deve ser estudado
para que os estudantes conheçam as diferentes formas de contar e o papel dos matemáticos
do Egipto.
XIV Lista Compilada de Links úteis
A.
Movimento Circular
http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion
Racional: Este link é útil porque dá a definição de movimento circular e discute outros
assuntos relacionados.
B.
Movimento Circular
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/circ.html
C.
Movimento Circular
www.phy.ntnu.edu.tw/java/shm/shm.html
D.
Movimento Planetário
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/kepler6.html
Racional: Este link é útil porque dá as animações do movimento planetário os quais
ajudam os estudantes a idealizar como o movimento dos planetas ocorre.
E.
Movimento Planetário
http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/kep3laws.htm
F.
Movimento Planetário
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler’s_laws_of_planetary_motion
Racional: Este link é útil porque dá a definição de movimento planetário e ajuda o
estudante a compreender alguns assuntos relacionados com o movimento planetário.
G.
Movimento Planetario
www.windows.ucar.edu/tour/link=/the_universe/uts/planets.html
H.
Movimento harmónico simples
116
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Racional: Este link é útil porque dá a definição de movimento hamonónico simples e
avança com explicações de alguns assuntos relacionados com movimento harmónico
simples.
I.
Movimento harmónico simples
www.phy.ntnu.edu.tw/java/shm/shm.html
J.
Movimento harmónico simples
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/shm.html
K.
Movimento harmónico simples
www.kettering.edu/~drussell/Demos/SHO/mass.html
L.
Movimento harmónico simples
htt://theory.unwinnipeg.ca/physics/shm/nodes2.html
M.
Notas do Docente de Mecânica Clássica
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/lectures.html
N.
Physica Newtoniana
http://www.lightandmatter.com/arealbook1.html
O.
Mecânica Clássica: Um Curso Introductório
http://www.lulu.com/content/159798
P.
Força Centrípeta
http://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force
Q.
Momento Angular
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum
R.
Princípio de D’Alembert
http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle
S.
Vectores e Escalares
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial)
XV. Síntese do Módulo
Neste módulo, inicialmente, faz-se uma introdução do cálculo de vectores que levarão o
estudante à definição conceitos básicos de plano e movimento curvilíneo, posição, vector
e aceleração. Na maior parte desta secção, o estudante deve ter em consideração a
cinemática, o movimento de partículas/corpos sem se referir à força que produz o
movimento.
O estudante deve interagir com as leis de movimento de Newton as quais têm o conceito
de inércia como conceito e suas aplicações em todas as outras secções de mecânica tais
como oscilações, corpos rígidos e dinâmica.
Os conceitos cruciais neste módulo são a força e a força resultante de diferentes forças.
Tendo em conta estes conhecimentos, o estudante deve ser capaz de criar modelos de
situações reais da vida em termos matemáticos e resolver as equações produzidas. Tentou-
117
se, igualmente, neste módulo, relacionar os conteúdos de matemática da escola secundária,
tendo se começado com a secção “estabelecendo a ponte” de situações de lugares comuns
que se devem explicar matematicamente. Nesta fase, o estudante deve estar confortável
com a rúbrica de mecânica e ser capaz de ensinar o conteúdo relevante aos alunos da
escola secundária.
Boa Sorte!
XVI. Avaliação Final
Dinâmica
Questão 1
Um carro viajando a 10ms-1 colide com uma árvore.
(a) Um passageiro sem o cinto de segurança colide com o para-brisas e pára em 0.002s. A
área de contacto entre a cabeça e o para-brisas é 6.10-4m2 e a massa da cabeça são 5kg.
Encontre a força média e a força por unidade da área exercida na cabeça.
(b) Um passageiro de 70kg com um cinto de segurança pára em 0.2s. A área do cinto em
contacto com o passageiro é 0.1m2. Encontre a força média e a força por unidade de área.
Questão 2
Um carro de massa m = 1000kg movendo-se a 30ms-1 colide com o carro de massa M =
2000kg viajando a 20ms-1 no sentido oposto. Imediatamente depois da colisão, o carro de
1000 kg move-se num ângulo raso para o seu sentido original a 15ms-1. Encontre a
velocidade do carro de 2000 kg depois de colisão.
Oscilações
Questão 3
Um objecto é conectado numa extremidade de uma mola horizontal onde a outra
extremidade é fixa.
O objecto é puxado para a direita (no sentido positivo do eixo dos x) por uma força
aplicada externamente de magnitude 20N que faz com que a mola se distenda em 1.0 cm.
(a) Determine o valor da força constante.
(b) Se a massa do objecto são 4kg determine a força com que oscila se a força aplicada é
removida subitamente.
(c) Determine a frequência da oscilação.
(d) Determine a frequência angular da oscilação.
118
(e) Determine a posição do objecto 0.75s depois de iniciar a oscilação.
(f) Determine a velocidade do objecto no instante t = 0.75s
(g) Determine a aceleração no instante t = 0.75s.
(h) Determine a força exercida no corpo pela mola no instante t = 0.75s.
Força Energia e Movimento
Questão 4
Dê o valor aproximado da velocidade em m/s para cada um dos objectos alistados abaixo.
Também exprima cada velocidade como uma fracção da velocidade da luz que é
3.0.108ms-1. Nos casos em que a informação providenciada não está completa, faça
estimativas razoavéis para obter os seus resultados.
(a) Subida de formigas por um túnel.
(b) Uma pessoa deslocando-se para o trabalho num passo confortável.
(c) Um atleta correndo uma milha.
(d) Um carro numa super – auto estrada.
(e) Um jacto em voo (650 milhas/h ou cerca de 90% da velocidade do som).
(f) Um satélite num raio orbital de 7000km (período orbital de cerca de 90 minutos).
(g) A lua em sua órbita em torno da terra (o raio da órbita é de cerca de 380 000 milhas, o
período da órbita é de 27.3 dias).
(h) A terra na sua órbita em torno do sol (raio orbital de aproximadamente 93 000 000
milhas, o período na órbita é de 365.3 dias).
N.B. [1 inch = 2.54 cm, 1 milha = 1.61 km and 1 foot = 0.3048m]
Questão 5
Dois colegas de quarto, Hugo e Luis, decidem fazer um jogo não usual de pega. Hugo fica
em pé num balcão enquanto Luis fica em pé no soalho directamente abaixo do Hugo. O
balcão está 10m acima do chão. Hugo e Luís atiram–se uma bola directamente com a
velocidade inicial de 15m/s.
(a)
Quanto tempo a bola leva para viajar acima de Luis até Hugo. Qual é a velocidade
da bola quando Hugo a pega?
(b)
Quanto tempo a bola leva para viajar abaixo de Hugo até Luis. Qual é a
velocidade da bola quando Luís a pega?
(c)
Compare o tempo de uma volta completa que bola gastaria se viajasse com uma
velocidade constante de 15m/s em ambos os sentidos.
(d)
Alice, uma outra colega do quarto, vive 15m acima dos colegas mencionados. Ela
decide molhar os colegas com dois balões cheios de água. Ela observa-lhes enviando a
bola acima e abaixo várias vezes e aprende a antecipar quando é que Hugo lança a bola.
Alice quer largar os ballões de tal modo que Hugo e Luís sejam batidos simultaneamente
pelos balões quando a bola chega ao Luís. Quando é que Alice deve largar os balões?
Deve largar os balões antes de o Hugo largar os balões para baixo? Quanto tempo depois
119
de Hugo atirar a bola para baixo o primeiro balão vai passar por ele? Quanto tempo depois
disso o segundo balão vai bater- lhe?
(e)
O espaço diabólico de Alice funciona perfeitamente. Contudo Hugo e Luís estão
acostumados às peripécias da Alice e cada um deles tem na mão tomate podre. Eles
seguram o tomate e contam até três e simultaneamente lançam o tomate para Alice. Cada
tomate tem a velocidade inicial de 30 m/s. Quão rápido depois de o tomate ter sido
lançado a Alice deve esconder-se?
(f)
Ambos os tomates falham o alvo, mas depois a Alice comete um erro. Ela sai do
esconderijo para se regozijar em frente das suas vítimas molhadas. Ambos os tomates
batem-na na nuca. De quem é o tomate que bate a Alice primeiro? Quando o tomate bate
nela e a que que velocidade está nesse momento? Quando é que o outro tomate bate nela e
qual é a sua velocidade nesse momento?
Questão 6
Um veículo que pesa 3000 kg está tentando fazer uma curva de um raio de 300 pés à 30
milhas/h. Assumindo que a estrada não tenha inclinação, encontre a força entre os pneus e
a estrada para que o carro esteja na trajectória circular e não escorregue. (Use F = ma,
onde m = 3000/32). Encontre um ângulo no qual a estrada deve ser protegida de tal modo
que nenhuma força de fricção lateral seja exercida nos pneus do veículo.
Questão 7
1 2
gt ] j onde
2
v 0 é a velocidade inicial, h é a altura inicial, t é o tempo em segundos, e g é a aceleração
devido à gravidade. Verifique se o disparo vai permanecer no ar por um período total de
O caminho de disparo num ângulo Θ é: r (t ) (v0 cos )ti [h (v 0 sen )t
t
v0 sen v 02 sen 2 2 gh
g
segundos e vai deslocar-se a uma distância horizontal de
v02 cos
2 gh
( sen sen 2 2 pés
g
v0
Questão 8
Determine os momentos de inércia dos paralelipípedos homogéneos rectangulares de
massa m em torno do eixo central x 0 e eixos z e em torno do eixo x até a outra
extremidade.
Soluções:
Solução da Questão 1
(a) Usa-se outra vez a expressão F t P' P . O momento final é zero. Dado que o
parabrisas é estacionário e o momento inicial é a massa da cabeça vezes a velocidade. Por
P (5kg )(10ms 1 )
25000 N
isso a magnitude da força média é: F
(0.002 s )
t
A força média por unidade de área é:
25000 N
F
4.16.10 7 Nm 2
A 6.10 4 m 2
Esta é uma grande força por unidade de área e certamente vai causar sérios ferimentos.
120
(b) A força media é encontrada a partir da mudança do momento do corpo inteiro, como a
velocidade do carro muda a partir de 10ms-1 até zero. Por isso a magnitude de F é
p (70kg )(10ms 1 )
F
3500 N
0.2s
t
Esta é uma força muito menor que a força exercida na cabeça do passageiro solto na parte
(a). A força média por unidade da área é
F 3500 N
3.5.10 4 Nm 2
2
A 0.1m
Dado que esta força é muito menor que a força por unidade de área no passageiro solto por
um factor de 1200, as chances de ferimento grave são muito menores para este passageiro.
Solução da Questão 2
Tomem-se os eixos x e y onde a componente x do momento total dos dois veículos é
conservado, assim mv x MV x mv' x MV ' x Dado que V x = 0, pode-se resolver em
ordem a V ' x e substituir V ' x
mv x'
1000kg
(15ms 1 ) 7.5ms 1
2000kg
M
Solução da Questão 3
(a) a força constante é o k na lei de Hooke
F = -kx
A força F produzida pela mola é F = = - 20.00N, onde o sinal menos significa que a força
actua para a esquerda (no sentido negativo do eixo dos x). Dado que x = 1.000x 10-2m, o
F
20.00 N
estudante tem k
2.0.10 3 N / m
2
x
1.0.10 m
(b) O rácio α da força constante em relação à massa determina o período Tk 2.0 * 10 3 N / m
5.0 * 10 2 N /(m.kg )
4.0kg
m
Por isso, o período é T
(d)
Dado que f
2
2
=0.2810s
5.0 *10 N /(m.kg )
2
1
1
3.559ciclos / s 3.559 Hz
, tem-se que f
0.2810 s
T
(Dado que o ciclo é um número adimencional pode ser inserido como se desejar nas
unidades da resposta)
(e)
Tem-se que 2f 2rad / ciclox3.559ciclos / s 22.36rad / s
(f)
A oscilação é descrita por x = Acos(ωt+δ)
Se A e δ são ajustados para se adequarem às condições iniciais e se o volume próprio de ω é usado. A condição inicial (dx/dt) o = 0 e x o = 1.0.10-2m exige que δ = 0 e A = 1.0.10-2m;
Assim x = 1.0.10-2mxcos(22.36rad/sxt)
121
Onde o valor de ω é o que foi encontrado em d. a posição em t = 0.75s é
x 1.0 x10 2 mx cos(22.36rad / sx0.75s) 1.0 x10 2 mx cos(16.77 rad )
1.0 x10 2 mx( 0.4871) 4.871.10 3 m 0.4871cm
O argumento do cosseno é maior do que 2π rad porque a oscilação ultrapassou o seu 1º
ciclo. O sinal menos significa que o corpo está à esquerda da sua posição de equilíbrio e a
mola está comprimida. Note-se que para os efeitos de avaliação é mais conveniente
exprimir o cosseno em termos de frequência angular ω do que pela frequência f
(g)
dx
A sin( wt )
dt
2
Avaliando os termos que se tem 1.0 *10 mx 22.36rad / sxsen(16.77rad )
1.0 *10 2 mx 22.36rad / sxsen(0.8733)
0.1953m / s 19.53cm / s 2
(Um radiano é um número adimencional, sendo definido como o rácio de dois
comprimentos, por isso pode não ser incluso nas unidades.) A velocidade positiva
significa que o corpo esta movendo-se para a direita. Por isso apesar de a mola estar
comprimida a compressão está diminuida.
(h)
d 2x
A 2 cos( wt )
2
dt
a aceleração é 1.0 *10 2 mx(22.36rad / s ) 2 x cos(16.77 rad )
1.0 * 10 2 mx(22.36rad / s ) 2 x(0.4871)
2.435m / s 2 243cm / s 2
O corpo esta acelerando para a direita dado que a aceleração é positiva.
(i)
Uma forma de fazer isto é aplicar a Segunda Lei de Newton
d 2x
dt 2
4.0kgx 2.435m / s 2
9.740 N
F m
d 2x
é o que foi encontrado em g. a força tem um valor positivo e, por
Onde o valor de
dt 2
isso, actua para a direita dado que a aceleração é para direita.
Uma outra forma de encontrar F é aplicar a Lei de Hooke.
F kx
2.0 *10 3 N / m * (4.871 *10 3 m)
9.740 N
Onde os valores de k e x são os encontrados em a e e.
Solução da Questão 4
Estime
122
(a) 0.1m/s = 3.3*10.10-10c
De (b) até (h) Muitas soluções possíveis.
Solução da Questão 5
(a) 0.981s, 5.39m/s
(b) 0.563s,20.5m/s
(c) O tempo actual de uma volta é 1.54s, enquanto o tempo da velocidade – constante seria
1.33s
(d) O balão dirigido ao Luis deve ser largado 1.70s antes de o Hugo atirar a bola; o balão
dirigido ao Hugo deve ser largado 1.19s antes de o Hugo atirar a bola, Sim. 0.05s, 0.51s
(e) 0.55s
(f) O tomate do Luis bate primeiro, 5.13s depois de ter sido lançado ( e 4.13s depois de ter
falhado na subida); bate nela com a velocidade de 20.3m/s. O tomate do Hugo bate nela
0.44s depois (5.57s depois de ter sido atirado); bate nela com a velocidade de 24.6 m/s.
Solução da Questão 8
Uma porção transversal de grossura dz é escolhida como elemento de volume. O
momento de inércia de grossura infinitesimal é igual ao momento de inércia da área de
secção vezes a massa por unidade de área ρdz. Por isso, o momento de inércia da porção
1
transversal em torno do eixo y’ é dl y ' y ' dz ab 3 e em torno do eixo dos x’ é
12
1
dl y ' y ' dz a 3 b desde que o bloco seja composto por várias grossuras tem-se
12
ab 2
dl zz dl x ' x ' dl y ' y ' dz
a b 2 onde m é a massa do bloco.
12
Trocando os símbolos ter-se-á que o momento de inércia em torno de eixo x o é
1
I 0 x0 m a 2 I 2 . O momento de inércia em torno do eixo dos x pode ser encontrado
12
pelo teorema do eixo-paralelo.
2
1
1
Por isso I xx I x0 x0 m m a 2 4l 2 . Este último resultado pode obter-se por
12
2
exprimir o momento de inércia da porção elementar em torno do eixo dos x e integrando a
expressão ao longo do comprimento da barra.
Assim, segundo o teorema do eixo paralelo
dl xx dl x ' x '
a2
1 3
2
z dm dz ab z abdz ab
z 2 dz
12
12
2
Integrando dá o resultado previamente obtido
a2
abl 2 a 2 1
2
I m a 2 4 I 2
ab
z dz
12
3
4 12
0
l
I xx
A expressão para I xx pode ser simplificada para uma longa barra prismática ou uma barra
fina cujas dimensões transversais são pequenas comparadas com o comprimento. Neste
123
caso a2 pode ser menosprezado comparado com 4l2 e o momento de inércia de tal barra
1
fina através de um eixo perpendicular à barra torna-se I ml 2 . Pela mesma aproximação
3
1
o momento de inércia em torno do eixo normal à barra é I mI 2
12
XVII Referências
Duncan, T (1981) Advanced Physics, London. John Murray..
Edwards and Penney (1982). Calculus and Analytic Geometry, New Jersey. PrenticeHall.
Eiseberg, R. M and Lerner, L. S. Physics: Foundations and Applications. New York.
McGraw Hill
Fadell, E.R. Fadell, A. G. (1970) Calculus. New York. Van Nostrand Reinhold.
Kane, J. W. and Sternheim (1978) Physics (2nd Ed). New York, John Wiley and Sons.
Learson, Hostetter and Edwards (1998) Calculus (6th Ed), Boston. Houghton Miflin.
Meriam, J.L. and Kraige L.G. (1987) Engineering Mechanics Vol 2 Dynamics, New
York. John Wiley and sons.
Sears, F.W., Zemansky M. N. and Young, H. D. (1982) College Physics (5th Ed),
Reading. Addison-Wesley.
XVIII. Autor Principal do Módulo
Equipa
Sr. Tendayi Chihaka (principal autor).
Sr. Blessing Mufoya (co-autor).
Sr. Admire Kurira (co-autor).
Este módulo é um produto de trabalho cooperativo de uma equipa de três membros do
Departamento de Educação de Ciências e Matemática, na Universidade de Zimbabwe. O
autor principal, Tendayi Chihaka é Mestrado em Educação de Matemática e tem uma
vasta experiência na formação inicial de professores, tendo treinado professores de ensino
secundário de matemática de 1978 a 1997 – um período de 20 anos. Ingressou no
Departamento de Educação em Ciências e Matemática em 2003 onde foi eleito Chefe do
124
Departamento em 2004, posição em que actualmente se encontra. É casado e tem três
filhos.
O sr. Kurira é Mestrado em Matemática e Física e possui um Certificado de PosGraduação em Educação. Ensinou Engenharia na Politécnica de Harare entre 1996 e 1999.
Integrou a Universidade de Zimbabwe, Departamento de Ciência e Matemática em Agosto
de 1999 como docente de ICT e Matemática. É casado e tem três filhos.
O sr. Mufoya é Mestrado em Matemática e tem o Diploma de Pós Graduação em
Educação. Integrou a Universidade do Zimbabwe, Departamento de Ciências e
Matemática em Novembro de 2005. É solteiro.
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