Física Geral
2010/2011
3 - Movimento a duas dimensões:
Consideremos agora o movimento em duas dimensões de um ponto material, através
do estudo das quantidades vectoriais posição, velocidade e aceleração.
Vectores posição, velocidade e aceleração:
No capítulo anterior estudámos o movimento a uma dimensão para o qual
conhecemos a posição de uma partícula em cada instante se conhecermos a posição
em função do tempo. Vamos agora estender o mesmo conceito para o movimento a
duas dimensões.

Designamos o vector posição, r com origem no sistema de coordenadas XY
até á posição da partícula num dado instante. Representamos assim o vector

deslocamento r de acordo com a figura 1.
Figura 1
Intervalo de tempo: t  t f  ti

Vector posição de um ponto: r  rxiˆ  ry ˆj  xiˆ  yˆj
Vector deslocamento de um ponto material que se desloca de A para B:
   

r  rB  rA  rfinal  rinicial
A velocidade média define-se como:


r
v  v f  vi 
t
E tem a mesma direcção do vector deslocamento.



r dr

A velocidade instantânea representa a velocidade em cada instante: v  lim
t 0 t
dt
E tem direcção tangente á trajectória.
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
 v
A aceleração média define-se como: a 
t

E tem a mesma direcção de v
A aceleração instantânea representa a aceleração em cada instante:



v dv
a  lim

t 0 t
dt
Movimento a duas dimensões com aceleração constante:
Considerando o vector posição de uma partícula em cada instante no plano XY:

r  xiˆ  yˆj
Podemos escrever o vector velocidade:
E o vector aceleração:

 dr dx ˆ dy ˆ
v
 i
j  vxiˆ  v y ˆj
dt dt
dt

 dv dvx ˆ dv y ˆ
a

i
j  axiˆ  a y ˆj
dt
dt
dt
Partindo agora das expressões que representam a posição e velocidade em cada
instante para uma dimensão, podemos escrever as respectivas expressões vectoriais
para duas dimensões e as suas componentes XY:
Velocidade:
Uma dimensão: v  v0  at



Duas dimensões: v  v0  at
Posição:
Uma dimensão:

 vx  v0 x  a x t

v y  v0 y  a y t
1
x  x0  v0 xt  axt 2
2
  
1
Duas dimensões: r  r0  v0t  at 2
2
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
1 2

 x  x0  v0 x t  2 a x t

1
 y  y0  v0 y t  a y t 2
2

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Movimento de Projecteis a duas dimensões:
Caso particular do movimento a duas dimensões tratado anteriormente, em que um
corpo apenas está sujeito ao campo gravítico, logo não existe aceleração segundo a
horizontal e em que a aceleração vertical é a aceleração gravítica g que aponta para
baixo, portanto no sentido negativo do eixo Y:

a  axiˆ  a y ˆj
 ax  0

a y   g
Velocidade:
Posição:


a  0iˆ  gˆj
( g  9.8m.s 1 )
 vx  v0 x

v y  v0 y  gt
x  x0  v0 xt


 y  y  v t  1 gt 2
0
0y

2
Componentes da velocidade inicial:
Exemplo:
v0 x  v0 cos 

 v0 y  v0 sen
Figura 2
Altura máxima H: quando v y  0
Alcance máximo R: quando y  0
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Movimento circular uniforme
Considerando o movimento circular com velocidade constante como representado na
figura:
Figura 3
Sabemos que aceleração média é:

 v
a 
t


v r
Considerando a figura 3, pela semelhança de triângulos, podemos escrever:

v
r
Logo, dividindo ambos os membros por t , a magnitude da aceleração média é:

 v v  r
a 

t r t
Se as posições inicial e final se aproximarem, de modo a que:
t  0

aceleração média  aceleração instantânea
No movimento circular uniforme o vector aceleração aponta para o centro da
trajectória, sendo por isso designada, aceleração centrípeta:
ac 
v2
r
O tempo que uma partícula demora a completar uma volta completa designamos por
período (T), sendo a velocidade constante, podemos escrever:
v
2r
T

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T
2r
v
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Aceleração centrípeta e tangencial:
Considerando a trajectória de um ponto material ao longo de uma curva
Figura 4
Se a variação na velocidade do movimento tem componentes centrípeta (ou normal) e
tangencial, e se considerarmos os vectores unitários n e t, respectivamente normal
(apontando para o centro) e tangente á trajectória em cada ponto desta, então:

a  at tˆ  an nˆ
A componente tangencial é responsável pela variação na velocidade da partícula e
tem a mesma direcção da velocidade instantânea:

dv
at 
dt
A componente normal representa a variação na direcção no vector velocidade da
partícula e tem a mesma direcção radial e aponta para o centro da trajectória:
an  ac 
Aceleração total:
v2
r

 d v ˆ v2
a
t  nˆ
dt
r
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