A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO DA
GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA: uma proposta utilizando software
GeoGebra
1
Marcel Bertoni
2
Valdeni Soliani Franco
RESUMO
Este artigo descreve experiências, reflexões e uma análise que foi feita por meio de
contribuições que incorporam situações de aprendizagem e interações realizadas
com alunos do 9° ano de uma escola em uma cidade ao norte do estado do Paraná.
Como inovação das práticas metodológicas tradicionais, utilizou-se a construção do
conhecimento, por meio da resolução de problemas como metodologia de ensino da
geometria Euclidiana Plana juntamente com o software GeoGebra. A pergunta que
tínhamos era: a possibilidade de construir os conceitos matemáticos, por meio do
ambiente dinâmico e interativo, pode contribuir para que o aluno supere suas
dificuldades, a falta de motivação, ou pelo menos as minimize? A experiência
mostrou que essa articulação proporcionou percepções diversificadas das
tradicionais e serviu para estimular, facilitar, construir novas formas de representar,
de explorar, de conjecturar resultados e principalmente despertar a atenção e as
capacidades cognitivas dos participantes, que mostraram interesse pelas atividades,
que consideramos de essencial importância para o ensino e aprendizagem dessa
disciplina. Além desses resultados obtidos com os alunos, destacou-se a importância
da socialização da metodologia com demais professores da rede de ensino do GTR
(Grupo de trabalho em rede), com possibilidades da democratização da mesma, que
oportunizou a cada um dos participantes meios de inovação quanto às práticas
metodológicas no ensino da matemática.
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática; GeoGebra; Resolução de Problemas;
Educação Básica.
1 INTRODUÇÃO
1
Professor do Ensino Fundamental e Médio da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná,
licenciado, em Ciências Habilitação em Matemática pela FAFIPA, Paranavaí Pr.
2
Professor do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-graduação em Educação Para a
Ciência e a Matemática, da Universidade Estadual de Maringá.
As inovações nas escolas buscando torná-las mais compatíveis com a
realidade da sociedade contemporânea, além da atualização de currículos e da
transformação de praxes pedagógicas, são relevantes considerar a inserção de
tecnologias como agentes transformadores do processo de ensino e
de
aprendizagem da matemática, já que, em geral, são ambientes familiares e
agradáveis para nossos alunos. Vinculados ao ensino, esses ambientes tornam-se
ferramentas auxiliadoras e estimuladoras no processo de aprendizagem.
Este artigo pretende estimular algumas reflexões acerca da utilização das
mídias digitais, tais como os softwares dinâmicos, e de como essa tecnologia pode
estar articulada a algumas abordagens dadas à resolução de problemas em sala de
aula, com conteúdos da geometria Euclidiana Plana.
As características de abordagens do ambiente dinâmico e interativo com
flexibilidade a resolução de problemas, e as considerações sobre as diversas
experiências citadas por vários autores, como Amorim (2003), Penteado (1999),
Hendres (2005), Borba (1999), Allevato (2005), Polya (1945), Dante (2003), entre
outros, são entendidas como contribuições que incorporam situações de
aprendizagem, interação e oportunidades de ensino e de aprendizagem.
A inovação das práticas metodológicas tradicionais conjectura que a
construção do conhecimento de conteúdos da geometria provoca no aluno o
conceito prático, mediante a visualização e a manipulação de objetos geométricos,
mobilizando e envolvendo o aluno para o conhecimento matemático em sala de
aula, sendo essas fontes essenciais para que o aluno conheça o espaço onde vive
como base para a sua formação.
Essa articulação, tecnologias computacionais, resolução de problemas e
geometria pode contribuir para que o aluno supere suas dificuldades? Atenue a falta
de motivação? O ensino de matemática pode melhorar por meio da articulação
dessas tendências? Essas eram nossas perguntas antes da implementação.
Apesar de a prática dominante tradicional nos processos de ensino e de
aprendizagem ainda privilegiar a “transmissão” de conhecimento, por meio de aulas
expositivas, giz, quadro-negro, livro didático etc., há hoje um assentimento por parte
daqueles que estudam a educação, de que é necessário renovar essa prática por
uma que esteja mais de acordo com o modelo que insere o aluno como ser histórico
e crítico.
São propostas de novas práticas metodológicas as concepções críticas de
aprendizagens, o uso de ferramentas tecnológicas, tais como internet, televisão,
computadores, softwares, calculadoras, vídeos etc., uma vez que é perceptível a
presença destas nas relações e meios sociais. Mesmo porque estamos inseridos
numa sociedade informatizada regida por transformações em alta velocidade, sendo
hoje as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) uma necessidade em todas
as áreas do conhecimento, mercado de trabalho, pesquisas etc.
A Matemática como área do conhecimento não é diferente, internet,
softwares, calculadoras, vídeos etc., são relevantes nos estudos da geometria,
álgebra, aritmética etc., são meios pedagógicos, ferramentas inovadoras que podem
contribuir para que os alunos se sintam estimulados, motivados a explorarem os
conteúdos desenvolvidos. Isso enriquece o contexto da aprendizagem, já que
existem atitudes passivas, certa resistência, e até mesmo repulsa por parte de
alguns alunos em relação a essa disciplina.
Atividades que estimulem os alunos a pensar, investigar e conjecturar são
experiências que os alunos podem vivenciar como desafiadoras e inovadoras das
práticas metodológicas usualmente tradicionais e mecânicas. A resolução de
problemas como objeto central de trabalho da sala de aula permite que os alunos
compreendam como se constrói o conhecimento matemático e sintam prazer com
pensamento crítico e reflexivo, como uma metodologia que pode contribuir para
reduzir os problemas relacionados ao processo de ensino e de aprendizagem.
2 DESENVOLVIMENTO
2.1 APORTES TEÓRICOS
2.1.1 GEOGEBRA
GeoGebra é um programa livre de geometria dinâmica criada por Markus
Hohenwarter para ser utilizado em ambientes de sala de aula. Seu criador iniciou o
projeto em 2001 na University of Salzburg e continuado o desenvolvimento na
Flórida Atlantic University. O GeoGebra é escrito em Java e assim está disponível
em múltiplas plataformas.
O ambiente dinâmico e interativo também entendido como o ambiente do
computador formado pelos softwares que possibilitam trabalhar com a
geometria explorando, principalmente, o movimento e a manipulação, e no
qual os usuários desses softwares podem mover dinamicamente partes e,
quando necessário, o todo da figura construída. Isso faz com que eles
sejam estimulados a explorar a geometria de forma a ver a Matemática não
como uma coleção de regras formais e acabadas em si mesmas, mas como
uma ciência dinâmica e passível de manipulação (AMORIM, 2003).
Por meio das ferramentas do GeoGebra é possível realizar construções
utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, ângulos, polígonos, círculos, oferece
comandos para encontrar raízes e pontos extremos de uma função, entre outras
funções. Uma das grandes vantagens da utilização dos softwares dinâmicos é a
possibilidade de alterar todos os objetos construídos a qualquer momento que
desejar, sem perder os nexos das construções, permitindo ao aluno construir e
manipular, dinamicamente com movimentos as figuras construídas e fazer análise
criando assim, condições para que o conhecimento possa ser construído.
Deste modo, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria, com
outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Tem a primazia didática de
apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto
que interage dinamicamente entre si: sua representação geométrica e algébrica.
Os computadores e softwares harmonizam-se de um poderoso ambiente de
aprendizagem, no qual é possível trabalhar com uma perspectiva que possibilita a
construção de conhecimentos relacionados a conteúdos específicos da Educação
Matemática.
Para Vygotski (1994, p.73), “o uso de meios artificiais – a transição para a
atividade mediada – muda, fundamentalmente todas as operações psicológicas,
assim como o uso de instrumentos amplia de forma ilimitada a gama de atividades
em cujo interior as novas funções psicológicas podem operar”.
São ferramentas computacionais, que reincidem sobre ensino da matemática
e proporcionam maior interatividade e atitudes para se buscar uma solução, ou seja,
a atitude do aluno se encontra mais descentralizada por conta das ações com
ambientes dinâmicos e interativos. As interações numa lacuna no qual se tem a
presença de alunos e, que se pode definir o conhecimento, nesse contexto a
máquina midiática é vista como ferramenta que media tal construção. Dessa forma,
a inserção desses recursos tecnológicos por meio de sua facilidade de uso,
possibilita práticas docentes diferenciadas.
“É fato também que a informática, cada vez mais, toma conta do ambiente de
sala de aula, por isso o uso do computador no ensino de Matemática é uma
necessidade atual e deve, cada vez mais, ligar-se à rotina didática dos professores e
à escola em geral” (HENDRES, 2005, p.26).
O trabalho com computador provoca mudanças na dinâmica da aula, exigindo
por parte do professor novos conhecimentos e ações, principalmente no panorama
pedagógico (PENTEADO, 1999, p.309).
“A tecnologia deve servir para enriquecer o ambiente educacional, propiciando
a construção de conhecimentos por meio de uma construção ativa e crítica e criativa
por parte dos alunos e professores” (BRASIL. 1997.p.140).
Segundo os autores dos parágrafos acima o uso do computador como
ferramenta pedagógica impõe certa demanda de ações e formação por parte dos
professores que geram oportunidade de tornar o ensino mais cativante, gerando
uma aprendizagem agradável, especificamente no campo da matemática, onde se
percebe, historicamente, certo marasmo por parte dos alunos.
Existe uma conexão de uso entre os softwares e as mídias tradicionais
televisão, vídeos, dvd, aparelhos de som, mp3 etc., que tanto a mídia computacional
quanto a tradicional, os alunos adquirem as competências manipulativas do
instrumento com facilidade, porque as mídias fazem parte do cotidiano dos alunos,
são métodos para diversão, informação, pesquisas, comunicação etc. Assim, a
escola busca cada vez mais interagir com essa metodologia de ensino e
aprendizagem, disponibilizando ajuda e auxílio aos professores, para que melhor
eduquem e ensine os alunos ligados à cultura dessa nova geração.
Dentre estudos, é possível encontrar literaturas esclarecendo que a utilização
adequada do computador nas aulas de Matemática ajuda a compor um cenário mais
favorável e motivador ao seu ensino e aprendizagem.
No contexto da Educação Matemática, os ambientes de aprendizagem
gerados por aplicativos informáticos podem dinamizar os conteúdos
curriculares e potencializar o processo de ensino e da aprendizagem
voltados à “Experimentação Matemática”, com possibilidades do surgimento
de novos conceitos e novas teorias matemáticas a fim de torná-lo um aliado
importante na construção do conhecimento. (Borba, 1999).
É importante salientar que o uso do software em si, não comprova nenhum
dos teoremas, pois a matemática, enquanto ciência utiliza-se do método dedutivo,
no entanto a utilização dos softwares é de grande valia, pois, quando bem utilizada,
facilita o conhecimento exposto por parte do educando. O uso da informática, em
particular de softwares, não é o desfecho para os impasses do ensino de
matemática, porém deve ser visto como aliado dos professores, pois de fato é uma
importante ferramenta mediadora em oposição das aulas tradicionais.
2.1.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Ao ter como primazia a construção do conhecimento pelo produzir e pensar, a
função da resolução de problemas é essencial para incentivar o aluno na construção
de novos conceitos e resultado advindos.
Segundo Polya (1957), “um problema é uma questão para qual o aluno não
dispõe de um método que permita a sua resolução”.
Segundo Onuchic (1999), problema: “[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer,
mas que está interessado em resolver” (p.215).
“Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de
aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a
resolver a questão proposta” (DANTE, 2003).
Adquirir conhecimentos matemáticos por meio de resolução de problemas é
desenvolver maneiras de pensar, praxe de persistência e curiosidade, bem como
autonomia em situações não familiares, é o centro do trabalho na matemática, a
criança constrói e vê significado no aprendizado, valorizando o uso social e cotidiano
da matemática.
“Uma grande descoberta resolve um grande problema. Mas há sempre
alguma descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto,
mas se desafiar a curiosidade e se puserem em jogo as faculdades inventivas, quem
o resolver pelos seus próprios meios experimentará o prazer e o triunfo da
descoberta” (PÓLYA, HOW TO SOLVE IT, 1945).
Assim, em síntese a resolução de problemas significa envolver-se em uma
tarefa cujo método de solução não conhecido no imediato, mas deseja solucioná-lo.
Para encontrar uma solução, os alunos devem empregar seus cognoscere e
por meio desses procedimentos, eles poderão construir e despertar o gosto pelo
raciocínio ou adquirir novos conhecimentos matemáticos. Os alunos deveriam ter
oportunidades rotineiramente para construir, tentar e solucionar problemas que
requerem uma quantidade significativa de empenho, e deveriam então, ser
estimulados a refletir, pensar em seus conhecimentos, descobertas.
“Uma metodologia de ensino, onde um problema é ponto de partida e
orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através
de sua resolução, professores e alunos, unidos, desenvolvem esse trabalho e a
aprendizagem se realiza de modo colaborativo em sala de aula” (ALLEVATO;
ONUCHIC, 2007; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005). Nessa concepção, entende-se que
a ascensão do desenvolvimento humano é um processo sócio histórico, construído
nas inter-relações estabelecidas entre o sujeito e seu contexto e que a constituição
do conhecimento se dá pela mediação de outros sujeitos. Nesse sentido, o professor
faz parte deste processo de ensinar e aprender.
É papel de o docente promover o desenvolvimento e mediar o conhecimento
dos alunos por meio de sua interferência na “zona proximal” (ZDP) consiste na
“distância entre o nível de desenvolvimento real da criança, que se costuma
determinar através da solução independente de problemas, e o nível de
desenvolvimento potencial, determinado através da resolução de problemas sob a
orientação de um adulto ou em colaboração com os companheiros mais capazes”
(VYGOTSKY 1998).
Importantes estudos já foram e estão sendo desenvolvidos buscando
compreender as implicações e formas de práticas da resolução de problemas no
ensino de Matemática, que deve valorizar a aquisição de formas dinâmicas de
conhecimento. A metodologia adotada neste trabalho consiste em buscar estratégias
de ação visando contribuir para capacidade dos alunos em compreender a
linguagem matemática, juntando duas das tendências: Resolução de Problemas e
Uso de Mídias Tecnológicas.
Considerando a integração das Mídias com a Resolução de Problemas, o uso
do computador é como um instrumento de apoio à descoberta de conceitos e à
resolução de problemas, e o uso da capacidade de resolução de problemas
apresentados pelos computadores é uma forma de ampliar as abordagens
tradicionais de resolução e programar novas estratégias de interação e simulação,
podendo potencializar e enriquecer os resultados almejados no cotidiano da sala de
aula.
2.1.3 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA
A Geometria proporciona um campo de conhecimentos por contribuição de
vários povos, fundamental para a percepção do mundo e participação ativa do
homem na sociedade, pois facilita observar, perceber, descrever, representar de
forma organizada, o mundo quanto aos conceitos de ponto, reta, plano, ângulos,
polígonos e circunferências. A geometria incentiva o homem a observar, perceber
semelhanças, diferenças e reconhecer a harmonia na construção de conceitos
geométricos, possibilitando a contextualização dos conteúdos, raciocínio visual e
está presente no dia-a-dia, no contexto físico e diversas áreas do conhecimento .
Sobre a importância da Geometria diz que esta tem função essencial na
formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa
do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais
equilibrada da Matemática, porém é pouco estudada nas escolas de
Educação Básica LORENZATO (1995).
A construção do saber geométrico Euclidiano tem sido de grande afronta para
os educadores, não somente pela quantidade de conceitos envolvidos, mas pela
relutância de torná-los claros e coesos para o aluno, bem como, aplicáveis à
resolução de problemas.
A geometria Euclidiana sistematizada em os elementos tem uma importância
extraordinária na história da Matemática, contribui nos programas e propostas no
ensino geométrico da educação básica brasileira, porém com toda essa gama de
vertentes, lamentável que a geometria está em plano secundário nas escolas.
No entanto, certos professores têm como pretexto para não colocar em
prática estas ações, a falta de tempo ou a exigência de preparar um material vasto
para um resultado lento demais quando se leva em conta o período disponível para
se ministrar conteúdos geométricos nos 8° e 9° anos do Ensino Fundamental.
A geometria é mencionada, programada nos últimos capítulos dos livros
didáticos, privilegiando a álgebra. Estes problemas, talvez a falta de conhecimento
consistente e pedagogicamente bem fundamentados, planejados por parte dos
professores e a aprendizagem falha ou insuficiente por parte dos alunos que
chegam ao ensino médio, fizeram propor este trabalho como estratégia para
enriquecer, estimular o ensino da Geometria Euclidiana Plana. O estudo da
Geometria Euclidiana Plana objetivando a resolução de problemas juntamente com
softwares exige do professor grande habilidade pedagógica que envolve o
conhecimento sobre o que expor, que conteúdos apresentar aos estudantes, em que
sequência expor os conteúdos selecionados, como expor para tornar significativa
aprendizagem de cada um destes conteúdos expostos.
A Geometria Euclidiana, denominada assim pela literatura matemática por
estar sistematizada e fundamentada nos postulados de Euclides.
O ramo da Matemática conhecido como geometria tem suas origens no
antigo Egito e na Babilônia. Naquela época, o conhecimento geométrico era
composto por regra práticas advindas de experimentações. O caráter lógicodedutivo da geometria iniciou-se muito tempo depois, na Antiga Grécia, com
Tales de Mileto (624-547 a.C.) e Pitágoras (569-475 a. C.). Mas a obra
sobre Geometria, mais famosa e citada até hoje é Elementos, cujo autor foi
um professor da biblioteca de Alexandria chamado Euclides (325-265 a.C.)
(GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010, p.11, introdução).
Em Elementos, a geometria apresenta-se como um sistema axiomático, lógico
e deduzido, por axiomas e postulados a partir de afirmações evidentes por si
mesmas (axiomas) e intuitivas não demonstradas (postulados), atualmente usa-se
indistintamente os termos, como proposições admitidas sem demonstrações.
A contribuição de Euclides para o conhecimento matemático inicia com
definições fundamentais, porém existem as noções primitivas, como Reta, Plano e
Ponto que devem ser aceitas sem definições, que são objetos básicos da geometria
Euclidiana.
A partir desses conceitos, realiza-se uma sistematização geométrica através
dos cinco axiomas ou postulados que constituem o fundamento de toda a sua obra.
A Geometria Euclidiana Plana faz parte do currículo de ensino fundamental,
tem o espaço como referência, hoje dentre várias funções, além de familiarizar o
aluno com linguagem formal da matemática, a geometria euclidiana desenvolve a
capacidade de redigir demonstrações de resultados teóricos, estratégias como
construções geométricas utilizando régua, compasso, planificação, dobraduras,
facilita a visualização de objetos geométricos e a interpretação de resultados. Além
disso, a Geometria possibilita o reconhecimento e a aplicabilidade desses mesmos
resultados, tanto em situações abstratas de teorias matemáticas quanto em
resolução de problemas da vida real; favorece a aquisição de um sólido
conhecimento de teoremas, inclusive dos próprios resultados consagrados por
Euclides; e ainda, produz uma postura crítica durante a utilização da geometria em
problemas diários. São modelos adequados de se expor e estudar a Geometria
Euclidiana, acentuando conceitos imediatos, definidos ou construtivos.
3 METODOLOGIA
A metodologia empregada nessa pesquisa teve como objetivo desenvolver
algumas reflexões acerca da utilização de uma das mídias digitais, a saber, o
software GeoGebra, e de como essa tecnologia como ferramenta estimuladora pode
estar associada a alguns enfrentamentos dados à resolução de problema em sala de
aula. De acordo com as Diretrizes Curriculares de matemática (SEED, 2008), os
conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas
da Educação Matemática que fundamentam a prática docente. Sendo assim, a
metodologia trabalha a ideia de que os recursos tecnológicos são essenciais e
importantes no desenvolvimento de habilidades em aulas de Matemática e do ponto
de vista pedagógico eles despertam o interesse do professor e do aluno.
A experiência foi implementada no ensino de geometria, com alunos do 9°
ano em uma cidade ao norte do estado do Paraná no ano de 2011.
Para a implementação, foi feito inicialmente uma fundamentação teórica, para
em seguida trabalhar atividades de ambientação e atividades envolvendo resolução
de problemas com flexibilidade ao ambiente interativo dinâmico GeoGebra, sendo a
escolha por este devido ao fato de o mesmo ser distribuído de forma livre e trabalhar
simultaneamente com álgebra e geometria, além disso, pode ser utilizado na
plataforma Linux instalado em nossas escolas e está disponível entre aos aplicativos
do Paraná Digital, condição fundamental para a viabilização da implementação na
escola.
As estratégias de ação possibilitaram troca de experiências com colegas
professores do GTR (Grupo de trabalho em rede), podendo vir a ser incorporada às
práticas pedagógicas das diversas escolas da rede, recebendo críticas e
contribuições dos professores do grupo de trabalho, oportunizando a cada um dos
participantes: leitura, reflexão e diálogo a fim de que pudessem ampliar seus
conhecimentos, renovar seus conceitos, partilhar experiências, inovar práticas
pedagógicas e ter consciência de que é necessário adotar metodologias
diferenciadas e inovadoras em oposição ao tradicional, fazer dessa ferramenta uma
rotina de nossas aulas. A contribuição dos participantes do GTR foi significativa, uma
vez que muitos apresentaram sugestões que enriqueceram o trabalho do professor
PDE.
3.1 AÇÕES E ANÁLISE
No decorrer da implementação ocorreram diversos problemas, tais como: os
computadores do Paraná Digital às vezes travavam e ficavam muito lento quando se
usava grande número de computadores ao mesmo tempo, com instabilidades do
provedor, ausência de projetor na sala de informática para que os alunos pudessem
acompanhar melhor as imagens das atividades desenvolvidas, reuniões do
Conselho Escolar que os professores realizavam na sala de informática,
agendamentos antecipados de outros professores na mesma data, aulas em contraturno para desenvolver outros conteúdos previstos no plano de ação, grande maioria
dos alunos não vinham porque os pais não podiam trazê-los porque iam trabalhar,
não acordavam pela manhã para ir à escola, outros projetos desenvolvidos como:
Cultura Afro-descendente jardinagem do pátio do colégio, além da semana cultural e
provas bimestrais que alongou durante todo mês de novembro.
As atividades dos encontros foram divididas em três momentos:
Primeiro momento: acolhida aos alunos que se agruparam em duplas, dado o
número de equipamentos, ambientando-os a sala de informática; apresentação dos
objetivos pretendidos para cada aula;
Segundo momento: acesso ao Software GeoGebra para realização das
atividades de ambientação e resolução de problemas.
Terceiro momento: análise dos resultados.
Apesar de todos os problemas elencados anteriormente, as atividades foram
desenvolvidas pelos alunos participantes da pesquisa. Atividades tais como:
exploração das ferramentas e conceitos geométricos como: ponto, reta, semi-reta,
segmento de reta, retas paralelas, perpendiculares, ângulo, bissetriz, baricentro,
circuncentro, construção de polígonos, círculos, áreas e perímetro, semelhança de
triângulos, que foram as atividades de ambientação. Todos os conceitos foram
explorados, discutidos e considerações apresentadas a partir de construções no
GeoGebra. Foi motivador e surpreendente o interesse, entusiasmo, familiarização e
competência com que alguns manipulavam o software, talvez pela equivalência
entre outros softwares e as mídias tradicionais, televisão, DVD, sites de
relacionamento etc.
Na penúltima etapa o objetivo foi desenvolver as atividades com resolução de
problemas envolvendo resultados e conceitos geométricos, partir de construções
geométricas com flexibilidade ao ambiente interativo dinâmico GeoGebra, de forma
organizada e planejada, conforme previsto na unidade didática. Tentou-se mostrar a
importância da geometria, por meio do desenvolvimento da visualização e do
raciocínio geométrico, objetivos que surgiram da dificuldade observada que os
alunos dos 9° anos anteriores e alunos do ensino médio tinham para desenvolver e
resolver certos problemas.
Diante do tempo destinado à implementação e a opção pelo GeoGebra foram
trabalhados especificamente os conteúdos: Semelhança de Triângulos, Regiões
Poligonais e suas áreas, unidades curriculares do 9° do ensino fundamental.
Articulados aos objetivos gerais, os objetivos específicos na qual se pretendia que
os alunos:
 Compreendessem e utilizassem o conceito de semelhança de triângulos para
resolver situações-problema por meio do ambiente GeoGebra.
 Reconhecessem se dois polígonos são semelhantes e enunciem os critérios
de semelhança.
 Reconhecessem e determinassem a razão de semelhança das áreas de dois
triângulos semelhantes.
 Determinassem, por meio de construções no ambiente do GeoGebra, as
fórmulas das áreas dos polígonos, para aplicar nas situações do contexto do
dia-a-dia.
 Utilizassem as potencialidades do GeoGebra na compreensão de figuras
semelhantes.
A seguir destacamos algumas atividades envolvendo semelhança de
triângulos da apostila de apoio da unidade didática do professor PDE, e análise do
envolvimento dos alunos com o software GeoGebra no desenvolvimento das
atividades.
Atividade12:
Crie um triângulo ABC (BC base). Calcule os pontos médios D e E dos lados
AC e AB, respectivamente. Trace o segmento DE.
Considere os triângulos ABC e ADE. Observe que o ângulo  é comum aos
dois triângulos.
Calcule as medidas dos ângulos A E e A C. Por que elas são iguais?
Calcule as medidas dos ângulos AÊD e AĈB. Por que elas são iguais?
Há uma correspondência entre os vértices dos dois triângulos?
Vejamos a proporcionalidade dos lados correspondentes?
Calcule as medidas dos lados AB, AC, BC, AE, AD e ED. Escreva no campo
de entrada para calcular os seguintes quocientes: AB/AD, AC/AE e BC/ED.
 Q1= distânciaAB/distânciaAD e clique Enter
 Q2= distânciaAC/distânciaAE
 Q3= distânciaBC/distânciaED
Qual a relação do segmento DE que liga os dois pontos médios dos lados AB
e AC ao terceiro lado.
Movimente os vértices do triângulo ABC. Observe os quocientes ”razões”
expressos na coluna algébrica. As medidas dos lados correspondentes dos
triângulos ABC e ADE formam uma proporção? Qual a relação entre os triângulos
ABC e ADE?
Figura da atividade 12 - apostila da unidade didática Prof. PDE
No desenvolvimento da atividade 12 percebeu-se o envolvimento e interesse
das duplas na construção, quando movimentaram os vértices da figura observaram
que os vínculos da construção eram o mesmo. Questionou-se se o segmento DE é
paralelo a BC? O que garante isso? Quando mediram os ângulos verificaram a
congruência entre os ângulos correspondentes e observaram que DE é paralelo a
BC, pediu-se novamente que movimentassem os vértices e perceberam que os
vínculos “congruência entre os ângulos correspondentes” continuavam. Quando se
pediu para selecionar arredondamento para “0” ou “’1” casas decimais, perceberam
com facilidade a relação do segmento DE ao terceiro lado “metade”. Por último
foram questionados se as medidas dos lados correspondentes dos triângulos ABC e
ADE determinam uma proporção? Digitaram no campo de entrada as razões entre
as medidas correspondentes dos lados de acordo com a apostila e logo alguns
perguntaram o que é uma proporção? Contudo algumas duplas com espírito de
interatividade e cooperatividade começaram o observar a igualdade entre as razões
e logo foram supondo que seria a igualdade entre as razões, e um aluno percebeu
como o tema era semelhança, disse que os triângulos eram semelhantes.
Observou-se que algumas duplas tinham mais rapidez no desenvolvimento
das atividades por terem algum prévio conhecimento das mídias, o que facilitou o
trabalho e o interesse por ser uma aula diferenciada do tradicionalismo, o que
motivou interesse e participação dos alunos.
Atividade13:
Abra um arquivo novo.
Crie um triângulo ABC.
Marque um ponto P externo ao triângulo ABC.
Trace uma reta r paralela ao lado BC que passe por P e que intercepte o
triângulo.
Determine respectivamente os pontos D e E da interseção de r com os
lados AB e AC.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas dos segmentos AD, AB, AE, AC, BC e DE.
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões
AB/AD, AC/AE e BC/DE. Digite no campo de entrada:
 R1= distânciaAB/distânciaAD
 R2=distânciaAC/distânciaAE
 R3=distânciaBC/distânciaDE
Movimente os vértices do triângulo e a reta R. O que acontece com as
razões?
Conjecture o teorema fundamental da semelhança de triângulos.
Figura da atividade 13 - apostila da unidade didática Prof. PDE
No momento de conjecturar observou-se bastante dificuldade, mas mesmo
assim, surpreenderam com espírito de cooperatividade e mediação do professor
quando 2 duplas conseguiram perceber com movimentos da figura a proporção das
razões na janela algébrica e começaram a supor a proporcionalidade das razões
entre os lados e o teorema fundamental da semelhança, lógico com debate, auxílio e
questionamentos do professor.
Atividade17:
Abra um arquivo novo.
Com a ferramenta Polígono, crie um triângulo ABC qualquer numa região
central da área de desenho.
Marque um ponto P interior ao polígono.
Tome a ferramenta Seletor, clique na parte superior da área de desenho.
Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome
para n, intervalo min.: 1.2 e máx:5 e Aplicar
Escolha a ferramenta Ampliar ou Reduzir Objetos dados Centro e Fator de
Homotetia, clique sobre o polígono, depois clique sobre o ponto P e na janela que
aparecerá para a escolha do fator de homotetia escreva n. Assim, será criado um
triângulo A’B’C’ obtido do primeiro por uma homotetia de centro P e fator n.
Deslize o seletor com mouse e observe a posição e forma do novo triângulo.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas dos segmentos AB, A’B’ CB, C’B’, AC e A’C’. (clique em dois pontos
extremos do segmento).
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões
AB/A’B’, CB/C’B’ e AC/A’C’. Para isso digite no campo de entrada:
 k1= distânciaAB/distânciaA’B’
 k2=distânciaCB/distânciaC’B’
 k3=distânciaAC/distânciaA’C’
Movimente o seletor e os vértices do triângulo ABC. Observe as razões na
coluna algébrica. Porque elas são iguais? Qual a relação das razões das medidas
dos lados dos triângulos ABC e A’B’C’. A partir dos resultados obtidos, conjecture
uma condição para que dois triângulos sejam semelhantes.
Figura da atividade 17 - apostila da unidade didática Prof. PDE
Observou-se um gasto de tempo por ser uma atividade longa, dificuldade dos
alunos em conjecturar novamente. Assim que acabou a construção, deveriam
observar alguma relação de semelhança entre as figuras “triângulos”, contudo notouse interesse, motivação e interatividade entre os alunos, quando alguns alunos
verificaram na coluna algébrica que através da manipulação do movimento do
seletor, que as medidas dos lados correspondentes dos “triângulos” eram
proporcionais, nesse momento pediu-se aos alunos que alterassem o valor mínimo
do seletor para “0” e o movimentassem e questionava-se qual seria a relação da
razão de proporcionalidade entre os lados correspondentes a fim de concluírem que
se tratava de ampliações ou reduções; com espírito desafiador diante dos alunos
indagava-se qual relação da razão do perímetro de dois triângulos semelhantes e a
razão de dois lados correspondentes. No momento da conclusão tiveram
dificuldades em concluir qual a condição de semelhança. Concluindo, o que chamou
a atenção foi à motivação e interesse dos alunos diante do software, percebendo
que mesmo com dificuldades nas conjecturas, construíam um conhecimento com
significados, uma aprendizagem dinâmica, manipulativa e visual. ·.
Atividades21:
Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C e seja CD a altura em
relação a AB. Então ΔACD~ΔABC~ΔCBD. Verifique a veracidade da afirmação.
Figura da atividade 21 - apostila da unidade didática Prof. PDE
A atividade 21 foi realizada no período de contraturno com presença de
poucos alunos. Após a construção assistiu-se certa dificuldade nos casos de
semelhança ÂÂ (ângulo-ângulo) e LLL (lados proporcionais), pois não conseguiam
fazer a relação de correspondência dos ângulos congruentes e lados proporcionais,
pela composição da figura sentiram dificuldades, não conseguiam responder com
convicção, às vezes respostas ao acaso. Após esse momento pediu-se que
medissem cada ângulo indicado na figura e movimentassem os vértices, o que
facilitou a visualização e conjectura do caso AA, porém o caso LLL os alunos não
conseguiam estabelecer relação de proporcionalidade das medidas dos lados, não
perceberam que quando os ângulos são congruentes os lados são proporcionais.
A partir das experiências realizadas foi aplicada aos alunos uma avaliação
escrita (abaixo) de três questões relativas ao conteúdo semelhança de triângulos e
os resultados estão no gráfico (abaixo):
1) Calcule o valor das incógnitas x e y nos casos de semelhança de
triângulos da figura a seguir:
2) Na figura abaixo está representada a fachada de um prédio. Os
segmentos de reta AB e CD são perpendiculares a BE e os segmentos de
reta AB e CD são paralelos.
a) Justifique se o triângulo ABE e CDE são semelhantes.
b) Determine a razão de semelhança do triângulo ABE para o triângulo CDE.
c) Determine a altura do prédio.
3) Dada o triângulo retângulo ABC da figura, h é altura relativa à base BC.
Verifique e justifique os casos de semelhança entre os triângulos:
a) Δ ABC e Δ ACD
b) Δ ABC e Δ ABD
c) Δ ACD e Δ ABD
ANÁLISE DOS RESULTADOS
Questão 1: Com a primeira questão pretendia-se que através da observação
dados dois triângulos retângulos semelhantes, onde faltavam algumas das medidas
de lados x e y, os alunos calculassem essas medidas, usando a propriedade
fundamental da semelhança de triângulos. Constatou-se que os alunos sabiam quais
eram os elementos correspondentes, mas, no entanto demonstraram certa
dificuldade nos cálculos, mas a maioria dos alunos acertou pelo menos uma das
incógnitas pedidas, conforme o gráfico, portanto os objetivos propostos foram
positivos.
Questão 2: Pretendia-se que os alunos através da observação da figura dada
aplicassem os conhecimentos de triângulos semelhantes, justificassem o caso de
semelhança, determinassem a razão de semelhança entre os triângulos e a
distância pedida. Observou-se que os alunos não tinham se apropriado do
conhecimento dos casos de semelhança, mesmo porque uma questão idêntica foi
realizada como uma das atividades no período de contraturno, mas a maioria tinha
faltado e em particular o aluno não compreendeu que em triângulos semelhantes os
ângulos correspondentes são congruentes (caso: AA) e o que pode ser diretamente
proporcional é a medida do comprimento dos lados correspondentes. Outro
problema pode ter sido a composição da figura, o que pode ter dificultado a
visualização da questão. Mas com resultados positivos a maioria “17” alunos acertou
o item c.
Questão 3: Dado um triângulo retângulo ABC, sendo h a altura relativa à base
BC, foi pedido que verificassem e justificassem os casos de semelhança entre os ∆
ABC e ∆ACD, ∆ABC e ABD e ∆ACD e ∆ABD. Observou-se como na questão acima
os alunos não tinham se apropriado do conhecimento dos casos de semelhança,
novamente pelos mesmos problemas citados na questão acima, não conseguiram
verificar os ângulos correspondentes congruentes (caso: AA) nos ∆ABC e ∆ACD e
∆ABC e ABD, sendo os ângulos congruentes deveriam ter observado a
proporcionalidade da medida dos lados nos Δ ACD e Δ ABD, caso LLL.
Conforme ilustra gráfico, apenas 3 alunos acertaram o item a e 1 o item b.
Acreditamos que se tivéssemos um maior número de aulas com certeza as
atividades poderia ser revisado o que poderia melhorar a aprendizagem dos alunos.
Por se tratar de uma nova metodologia para os alunos e também para o professor,
acarretou uma deficiente gestão de tempo, isto é, como os alunos demoravam muito
tempo nas construções, porque as atividades eram longas, todas com passo-apasso, principalmente na parte inicial, escasseava-se o tempo para a resolução e
discussão das atividades de uma forma significativa, tempo que pode ser um
obstáculo, pois para se ter sucesso na promoção da autonomia é importante que os
alunos tenham tempo, assim como os professores para se familiarizarem com essa
nova ferramenta de trabalho.
Ao final da implementação elaborou-se um questionário buscando aprimorar a
opinião dos alunos que possibilitou uma análise das perspectivas quanto à
preferência da nova metodologia: Por meio de métodos Tradicionais ou Ferramentas
dinâmicas Softwares “GeoGebra”?
A forma escolhida para apresentação e análise dos resultados levantados foi
por meio dos gráficos abaixo:
Figura 01
Dos alunos do 9°ano vespertino pesquisado, observou-se através do gráfico da
figura 01, que 100% dos alunos já acessaram um computador.
Figura 02
Ao serem questionados em quais locais possuíam acesso ao computador,
observou-se que 39% dos alunos acessam em casa, 33% na escola e 28% nas lan
houses, observando que existem alunos que fazem acesso nas três opções. A
segunda opção foi alta pelo fato das pesquisas escolares.
Figura 03
Através do gráfico da figura 03, reforçado pelo acima, observou-se o fato que
os alunos podem obter acesso aos computadores e internet, e através de pesquisas
escolares eles demonstram facilidade de acesso no ambiente em que estudam, ou
seja, integrar o aprendizado escolar à facilidade de acesso as tecnologias de rede.
Figura 4
Observou-se na figura 04 apesar de estarem disponíveis na internet inúmeros
softwares matemáticos ou jogos, apenas 7% dos alunos demonstrou que pouco
conhece ou não possuem acesso a eles, fato que nós professores da disciplina de
matemática devemos repensar, propor e fazer destas ferramentas uma rotina,
buscando metodologias midiáticas, uma forma para um aprendizado com significado
para os alunos. Observou-se ainda que 31% fazem uso do correio eletrônico ou 32%
das redes socais de relacionamento ou 30% editor de textos, claro que a maioria faz
uso dessas três ao mesmo tempo. Fato que estes três últimos recursos midiáticos
associados às mídias tradicionais como celulares, DVD, televisores, projetores etc.,
só trazem benefícios ao ensinamento dos softwares, pois a partir do conhecimento
dos mesmos o aluno passa a ter uma visão mais aberta, facilitada para aprender as
ferramentas do GeoGebra.
Figura 05
Nota-se no gráfico da figura 05, que 67% dos alunos concordaram totalmente,
24% parcialmente, apenas 9% dos alunos discordaram parcialmente e nenhum
discordou totalmente, conclui-se que a apostila de atividades possibilitou vertentes
para uma melhor ambientação e familiarização nas atividades construídas o que
proporcionou melhor segurança nas construções.
Figura 06
Com base no gráfico da figura 06, a maioria concordou totalmente ou
parcialmente e apenas 9% discordaram parcialmente que houve uma facilidade
efetiva de manipulação, concluiu-se que já possuíam certo domínio das mídias como
já citado acima, o que facilitou a manipulação das ferramentas, mas com o espírito
de interatividade e cooperatividade, uns se colocaram a disposição do outro para
ajudá-los.
Figura 07
Feita uma análise do gráfico da figura 07, 95% dos alunos concordaram
totalmente, 5% parcialmente e nenhum discordou, pois se empolgaram se
motivaram com dinamismo do software, manipulação, movimentos, visual etc., mas
no imediato da interpretação e conjecturas demonstraram dificuldades, o que era
esperado por se tratar de uma nova metodologia, pois não são acostumados com
essa ferramenta e prática de construção, manipulação, interpretação e conjecturas.
Figura 08
O gráfico da figura 08 revelou a análise da figura 07 acima, quando se
mostraram motivados pelo dinamismo do GeoGebra, na euforia que seriam somente
as construções, mas no imediato da interpretação, exploração e conjecturas
apresentaram dificuldades, e observou-se que quase 50% dos alunos tiveram essa
problemática tanto na exploração da situação problema quanto na conjectura dos
conceitos. Nossos alunos não estão acostumados com nenhuma das duas
tendências metodológicas, exploração de situações-problemas e mídias, é focada
somente nas aulas expositiva e resolução de exercícios, o que vem se tornando
cansativo e apático para eles.
Figura 09
Observou-se no gráfico da figura 09 que, 80% dos alunos concordaram
totalmente, 20 % parcialmente e nenhum aluno discordou, portanto, concluí-se que a
ferramenta é estimuladora, interativa, os alunos gostaram de fazer uma aula
diferente, inovadora, pois se sentiram motivados.
Figura 10
O gráfico revelou resultados com índice de aceitação satisfatório da proposta
metodológica, pois 67% concordaram totalmente e 28% parcialmente e 5% apenas
discordaram parcialmente, pois os alunos gostam de desafios inovadores,
estimuladores, o que faz o aluno pensar, ser crítico.
Segue abaixo alguns comentários e ou sugestões dos alunos no final da
implementação:
A1: Eu acho que as aulas do GeoGebra ajudaram muito, que até melhorei na
prova.
A2: Eu gostei muito das aulas do GeoGebra, mas tivemos poucas, não
tivemos o suficiente para aprender o bastante.
A3: Foi boa a iniciativa do professor, faltaram algumas aulas, mas, no entanto
as aulas foram boas e facilitaram bastante.
A4: No começo gostei sim, como não houve aulas o suficiente para praticar as
atividades, portanto eu não gostei, mas se tivéssemos como terminar seria muito
bom, porque no começo gostei muito.
A5: Infelizmente faltaram aulas para concluir nossa aprendizagem, mas o
trabalho ficou realmente ótimo.
A6: Eu gostei muito do GeoGebra, pena que tivemos pouco tempo para poder
interpretar as construções.
A7: Tivemos uma boa experiência, porque é uma nova maneira de aprender
matemática, com todas as dificuldades encontradas pelo professor e nós alunos,
faltou tempo e aulas, mas foi boa a aprendizagem, precisamos repetir a experiência
no ano que vem.
A maior parte dos alunos julgou concordar que o GeoGebra como ferramenta
estimuladora e interativa contribuiu para a melhor aprendizagem da matemática
frente ao tradicionalismo do dia-a-dia. Nota-se nos comentários que a opinião da
maioria pelo pouco tempo e as condições em que realizamos nosso trabalho,
perdemos algum tempo nas aulas de apresentação e mesmo nas atividades de
ambientação, mas se essa prática se tornar uma rotina dos alunos essa gestão de
tempo com apresentação e ambientação é ocupada direto com a resolução das
atividades, tempo que pode levar o aluno deixar de ser dependente dos colegas e
professor para ser autônomo e criativo o que todos nós professores almejamos.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este artigo, por meio da articulação de duas das tendências metodológicas da
Educação Matemática proposta nas Diretrizes Curriculares, à Resolução de
Problemas e Mídias (aqui representada pelo software GeoGebra) proporcionou um
trabalho com possibilidades, percepções diversificadas das tradicionais para
melhorar o complexo processo de ensinar e aprender Matemática. Isso permitiu
fazer algumas reflexões diante da necessidade da inovação de estratégias
metodológicas de uma forma dinâmica proporcionando novos olhares para o ensino
da matemática, uma vez que estamos inseridos numa sociedade regida por
transformações e competitividade em todas as áreas do conhecimento que exige
cidadãos autônomos e críticos, imprescindível para a formação e integração dos
jovens na vida profissional ativa.
São contribuições que tentam fragmentar as mesmices tradicionais da sala de
aula, estabelecidas como facilitadora do ensino e aprendizagem.
Nesse sentido, este artigo trás experiências que permitem aos alunos uma
aprendizagem dinâmica, manipulativa e visual, não inerte, com espírito colaborativo
e interativo. Apesar de se mostrarem empenhados ao longo da experiência, não se
assistiu autonomia, visto que buscavam constantemente apoio do professor, mas
acreditamos que a autonomia poderá estar presente num breve futuro com a
perseverança dessa metodologia, ou seja, que essas estratégias passem a ser
rotineira para alunos e professores.
Quanto à organização, gestão do tempo das atividades pode-se concluir que
houve uma pouquidade de tempo com os problemas citados anteriormente, tempo
que professores e alunos com práxis constantes podem trazer autonomia e mais
rapidez, obtendo-se uma melhor compreensão de conceitos e resultados da
matemática.
Apesar de aparentemente a experiência não ter conduzido às conclusões
desejadas e que este tipo de metodologia de ensino pareça não trazer em curto
tempo amplos progressos, acreditamos que os grandes efeitos das inovações
metodológicas midiáticas são muitas vezes visíveis em médio e longo prazo. No
imediato, a maioria das oportunidades não é alcançada pelas suas competências,
pois não foi uma apropriação avinda da memorização, foi uma aprendizagem
baseada em construções, manipulações, no visual, elaborando conjecturas,
realizando discussões, ou seja, uma aprendizagem que constrói significados.
Logo a proposta metodológica de ensino descrita neste artigo apresenta-se
como um desafio, pois exige mudança na postura do professor, sendo acessível por
meio de cursos de formação continuada. A principal contribuição do artigo é mostrar
que é possível fazer com que o aluno deixe de ser passivo, apático – comum nas
metodologias tradicionais – para ser ativo, participativo, interativo, provocando
transformações no processo de ensino e aprendizagem da Educação Matemática.
REFERÊNCIAS
AMORIM, J. A. A educação matemática, a internet e a exclusão digital no Brasil.
Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, n. 14, p.
58-66, ago. 2003.
D’AMBRÓSIO, U., BARROS, J. P. D. Computadores, escola e sociedade. São
Paulo: Scipione, 1988.
DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo:
Editora Ática, 2003.
GERÔNIMO, João Roberto, OLIVEIRA, Rui Marcos de, FRANCO, Valdeni Soliani.
Geometria Euclidiana Plana: um estudo com Software GeoGebra. Maringá:
Eduem, 2010.
HENDRES, Cláudia Assis, KAIBER, Carmen Teresa. A utilização da informática
como recurso didático nas aulas de Matemática. Acta Sientiae Revista de
Ciências Naturais. Vol. 7, n. 1, p. 25 38, Jan.Jul./2005
LORENZATO. S. Por que não ensinar geometria? Revista da Sociedade Brasileira
de Educação Matemática. São Paulo, n. 4, p. 3-12, jan./jun.1995
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensinoaprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO,
M. A. V.; BORBA, M. C. (Org). Educação Matemática – pesquisa em movimento. 2
ed. São Paulo: Cortez, 2005. p.213-231
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. (2008). Diretrizes Curriculares de
Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e para o Ensino
Médio:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/diretrizes_2009/ma
tematica.pdf. Acesso em abril 2011.
POLYA, George, A Arte de Resolver Problemas: Um novo Aspecto do Método
Matemático. Tradução e adaptação Heitor Lisboa de Araújo, UF do Rio de Janeiro.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. Petrópolis: Martins Fontes, 1998.
Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1989.
http://www.infopedia.pt/$geometria. Acesso em abril 2011.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geogebra. Acesso em abril 2011.