sen ^
B=
cateto adjacente
cos60° = –––––––––––––––
Hipotenusa
x
x.1
cos60°= –––– ⇒ cos 60° = ––––– ⇒ cos60°=1/2
2/x
3x
cateto oposto
cos 30° = ––––––––––––––
Hipotenusa
cos 30° =
01. (Unimep-SP) Qual é a área do triângulo
ABC da figura, na qual AB=4cm e
BC=2cm?
a)
c) 45°, 120° e
e) n.d.a.
Solução:
^
A =15°
⇒ cos 30° =
⇒ tg 30° =
⇒ tg 60° =
Dizemos que 30°, 45° e 60° são ângulos notáveis,
pois suas relações trigonométricas são visivelmente provadas. Veja agora a relação trigonométrica
resumida na tabela abaixo:
d)
e) n.d.a.
03. Dado cosx=
, ache o seno do
ângulo x. A seguir determine x.
a)
b)
c)
d)
Podemos calcular o valor dos co-senos de qualquer triângulo fazendo uma relação entre seus
lados. Essa relação é chamada de lei dos cosenos.
Para demonstrarmos essa lei, é preciso considerar um triângulo ABC qualquer e alguns elementos desse triângulo.
Lei dos Senos
Para encontrarmos o valor de seno em um triângulo qualquer, basta aplicar a lei dos senos.
Essa lei é uma relação entre os senos dos três
ângulos de um triângulo. Veja a demonstração
dessa lei abaixo:
Para fazermos essa demonstração, temos que
considerar um triângulo ABC de lados a, b, c
qualquer inscrito em uma circunferência de
centro O e raio R.
Se traçarmos uma reta perpendicular que parte
do ponto A até a base AB (formando o ponto H),
formaremos a altura h do triângulo ABC. Essa
altura divide o triângulo ABC em dois triângulos
retângulos, AHC e EHB.
Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras
nos dois triângulos AHC e EHB. Veja:
AHC → b2 = h2 + x2
EHB → a2 = h2 + (c – x)2. Unindo os dois teoremas de Pitágoras dos dois triângulos, teremos:
a2= h2+ c2– 2 . c . x + x2 ou a2= (h2+x2) +c2– 2
. c. x
Resolvendo os parênteses, teremos:
a2 = b2 + c2 – 2 . c . x
Como h2 + x2 = b2, fazendo as devidas substituições, teremos: a2 = b2 + c2 – 2 . c . x.
Como o triângulo AHC é retângulo, podemos
dizer que: x
––– = cos A ou x = b . cos A.
p
Fazendo a substituição de x = b . cos A em a2 =
b2 + c2 – 2 . c . x, logo concluímos que a lei do
co-seno é:
a2 = b2 + c2 – 2 . c . b . cos A
A partir dessa lei, podemos encontrar outras que
relacionam os co-senos de outros ângulos do
triângulo. Essas leis também são consideradas
lei dos co-senos.
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
Exemplo: Num triângulo, dois lados de medidas
4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60°.
Qual a medida do outro lado?
Solução:
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2 = 42 + 82 – 2.4.cos60° = 16 + 64 – 8.(1/2), já
que cos60°=1/2.
x2 = 16 + 64 – 4 = 76
x=
cm
04. Sendo x um ângulo agudo tal que senx
=4/5, determine tgx.
b) 4/3
e) 2
c) 5/3
05. Na figura, os pontos C, D e B são colineares, e os triângulos ABD e ABC são
retângulos em B. Se a medida do ângulo
ADB é 60° e a medida do ângulo ACB é
30°, então podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
AD = DC = 2DB
AD = DB
AD = 2AB
DB = 2AD
n.d.a.
06. Um triângulo isosceles é tal que a medida
dos ângulos de sua base é 30°. Se a
altura relativa a essa base mede 1,5cm, o
perímetro desse triângulo, em
centímetros, é:
a)
d)
b)
e)
c)
d) 120°, 45° e
Lei dos Co-senos
e) n.d.a.
a) 2/3
d) 3
b) 120°, 45° e
Logo a alternativa correta é a letra D
b)
c)
e AB = 7cm, são respecti-
Portanto ^
A =15°, ^
B = 120° e ^
C = 45°
Aplicando-se a Lei dos Senos, temos:
cateto oposto
tg 60° = ––––––––––––––––
cateto adjacente
tg 60° =
02. Sendo dadas as medidas dos catetos de
um triângulo retângulo, 5m e 8m, calcule
o valor do seno de cada ângulo agudo do
triângulo.
vamente:
a) 15°, 120° e
cateto oposto
tg 30° = ––––––––––––––––
cateto adjacente
tg 30° =
,^
C=
O diâmetro é uma reta que parte de uma extremidade da circunferência até outra extremidade e
que passa pelo centro dessa mesma circunferência. A circunferência parte do ponto A (é um
dos vértices do triângulo ABC) até o ponto A’
(diâmetro da circunferência é o seguimento de
–––––
reta A A’ ).
Baseados no teorema do ângulo inscrito, obserA^C
A^C
vamos o ângulo  = ––––– e ^
B = –––––
2
2
^
podendo concluir que Â’ ≡ B ,, então sen A = sen
A’.
O triângulo formado pelo seguimento de reta é
formado pelos vértices. AA’C é retângulo, então:
b
sen A’ = ––––
2R
b
Como sen A = sem B, então sen B = ––––– ou
2R
2R
b =––––––
sen B
a
c
Portanto deduzimos que: –––––– e ––––––
sen A
sen C
Logo concluímos que:
a
b
c
–––––– = ––––– = –––––– = 2R
sen A
sen B
sen C
Essa lei quer dizer que, em qualquer triângulo, a
razão entre a medida do lado e o seno do ângulo oposto é constante e o valor dessa constante
é o diâmetro da circunferência que esse triângulo está inscrito.
Exemplo: As medidas dos ângulos ^
B e^
C , e do
––––
lado AC de um triângulo ABC em que ^
A =15°,
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