PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - ABRIL DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01
x
Sobre a função f, de R em R, definida por f(x) = 50 – M.a , sabe-se que f(0) = 18 e f(1) = 42. Nessas
condições, f(2) é igual a:
01) 45
02) 46
03) 48
04) 49,5
05) 66
RESOLUÇÃO:
x
f(0) = 18 ⇒ 50 – M = 18 ⇒ M = 32 ⇒ f(x) = 50 – 32.a .
x
f(1) = 42 ⇒ 50 – 32.a = 42 ⇒ 32a = 8 ⇒ a =
1
1
⇒ f(x) = 50 – 32.   .
4
4
2
1
f(2) = 50 – 32.   ⇒ f(2) = 50 – 2 = 48.
4
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 02
A figura ao lado, representa um terreno com dimensões indicadas na 1 : 50,
formado pela união de um rtângulo com um setor circular.
Sabendo que AE = 24cm, AB = 12 cm e que a distância de D à reta BC é igual
a 12cm, calcule a área, em m², desse terreno considerando π = 3,1.
01) 78,40
04) 118,60
02) 109,20
05) 120,80
03) 112,20
RESOLUÇÃO:
Considerando a representação real do terreno como A’B’C’D’E’ e
calculando as suas dimensões, considerando que a figura ao lado foi
construída na escala 1:50:
A’B’ = 50 × 12cm = 600cm = 6m; A’E’ = 50 × 24cm = 1200cm = 12m.
12 1
No triângulo BDH, senα =
= ⇒α = 30°.
24 2
A área do terreno A’B’C’D’E’, é igual a:
30°


S =  6 × 12 +
× 12 2 π m 2 = (72 + 12 × 3,1)m 2 = 109,20m 2 .
360
°


RESPOSTA: Alternativa 02.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
Questão 03.
(Bahiana)
*
Seja f a função de R em R – {2} definida por
y = 3−
x +1
-1
e f a sua função inversa. Nessas condições,
x
1
f −1   é igual a
2
01)
2
3
02)
1
3
03) 0
04)
−
1
3
05)
−
2
3
RESOLUÇÃO:
-1
Se o par (x, y) satisfaz à função f , então o par (y, x) satisfaz à função f, logo em
y = 3−
x +1
substituindo
x
1
1
y +1
2
2
, tem-se:
= 3−
⇒ y = 6 y − 2 y − 2 ⇒ 3y = 2 ⇒ y = ⇒ f −1 = .
2
2
y
3
3
RESPOSTA: Alternativa 01.
x por y e y por
Questão 04.
Uma sala tem o formato de um paralelogramo com um dos ângulos igual a 60°. Sabe-se que a medida de
um dos lados excede em 2m a medida do outro, e que a menor diagonal mede 6m. Quantas caixas de
ladrilhos, são necessários para pavimentar a sala sabendo que cada caixa contém, 1,5m² de ladrilhos.
Considerar 33 = 6 , 3 = 1,7 e, no cálculo do número de caixas, aumentar em 10% a área da sala para
prevenir perdas de ladrilhos na execução do serviço.
01) 12
02) 14
03) 16
04) 20
05) 22
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC, aplicando a Lei dos Cossenos:
1
36 = x 2 + ( x + 2) 2 − 2/ × x × ( x + 2) × ⇒ x 2 + x 2 + 4 x + 4 − x 2 − 2x = 36 ⇒
2/
− 2 + 132
= −1 + 33 ≈ −1 + 6 = 5 ⇒ AB = 5m e BC =
2
A área do terreno é o dobro da área do triângulo ABC:
x 2 + 2x − 32 = 0 ⇒ x =
3 35 × 1,7 59,5
1

S = 2 ×  × 5 × 7 × sen 60°  = 35 ×
=
=
≈ 30 ⇒ 1,1S = 1,1 × 30 = 33
2
2
2
2

Como cada caixa contém 1,5m² de ladrilhos, o número de caixas será:
3
2
33 : = 33 × = 22 .
2
3
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 05.
Seja f : R → R uma função par e g : R → R, uma função ímpar. Considere as afirmativas.
(i) A função f não admite inversa.
(ii) Se (2; –7) ∈ g, então (–2; 7) ∈ g.
(iii) Se f(5) = 11, então f(–5) = 11.
(iv) Se h : R → R é uma função tal que h(x) = f(x).g(x) então h é uma função ímpar.
Sendo assim é verdade que:
01) Apenas a afirmativa (i) é falsa.
02) Apenas a afirmativa (ii) é falsa.
03) Apenas a afirmativa (iii) é falsa.
04) Apenas a afirmativa (iv) é falsa.
05) Todas as afirmativas são verdadeiras.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
2
RESOLUÇÃO:
(i) VERDADEIRA.
A função f sendo par, não admite inversa, porque f(x) = f(-x).
(ii) VERDADEIRA.
Sendo g : R → R, uma função ímpar, f(x) = -f(-x), logo, se (2; –7) ∈ g, então (–2; 7) ∈ g .
(iii) VERDADEIRA.
Justificativa no item (i).
(iv) VERDADEIRA.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 06.
Na figura a área do triângulo ABC é 125cm², a reta r é paralela
à reta BC e os pontos M, N, P e Q dividem BC em 5 partes
congruentes. Calcule o valor, em cm², da área hachurada.
01) 33
02) 28
03) 36
04) 48
05) 50
RESOLUÇÃO:
Como r // BC , os triângulos AEF e ADE são, respectivamente,
semelhantes aos triângulos ANC e AMN, sendo a razão de
2
semelhança igual a 5 .
5u × 5h
= 125 ⇒ uh = 10
2
Sendo 125cm² a área de ABC,
.
EF 2
6u
1 6u
6uh 60
= ⇒ EF =
⇒ SAEF = ×
× 2h =
=
= 12
3u 5
5
2 5
5
5
.
1
SAMN = × 125 = 25
5
DE 2
2u
1 2u
2uh 20
= ⇒ DE =
⇒ SADE = ×
× 2h =
=
=4.
u
5
5
2 5
5
5
SDEMN = 25 − 4 = 21 .
SDEMN + SAEF = 21 + 12 = 33 .
RESPOSTA: Alternativa 01
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3
Questão 07.
(Unicamp 2009 – Adaptada) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um
veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro
rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma
franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada
km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. Sendo x Km a distancia
percorrida pelo veículo no dia, determine para que valores de x a diária da locadora Saturno será maior
que a da locadora Mercurio.
01) 150 < x < 200
150 < x < 300
02) 150 < x < 250
05) NRA
03) 100 < x < 150
RESOLUÇÃO:
Locadora Saturno: O plano desta locadora é representado pela função: y = 0,4x + 30.
Locadora Mercúrio: O plano desta locadora é representado pela função: y = 0,6(x – 200) + 90 ⇒
y = 0,6x – 30.
0,4x + 30 > 0,6x – 30 ⇒ 0,2x < 60 ⇒ x < 300.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 08.
Na figura, os círculos têm o mesmo raio, são tangentes dois a
dois e tangentes às retas r e t. Calcule, em metros, o raio desses
círculos sabendo que a distância entre as retas r e t é igual a 1m.
01) 2 − 3
04)
1
4
02) 3 − 2
05)
03)
3− 3
3 −1
RESOLUÇÃO:
ABC é um triângulo equilátero de lado medindo 2R altura h = 1 –
2R,
logo,
2R 3
1
1 − 2R =
⇒ 1 − 2R = R 3 ⇒ 2R + R 3 = 1 ⇒ R =
⇒
2
2+ 3
R=
2− 3
(2 + 3 )(2 − 3 ) = 2 −
3
.
RESPOSTA: Alternativa 01.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
4
Questão 09.
O dono de uma loja combinou com cada um de seus vendedores a seguinte tabela de comissões a partir do
total vendido no mês:
Total vendido no mês
R$0,00
R$2.000
R$5.000
R$10.000
R$20.000
Acima de R$20.000
Comissão
R$0,00
R$100
R$250
R$550
R$1.550
10% sobre o total das vendas
Ele combinou ainda que para valores de venda abaixo de R$20.000 e que não estivessem na tabela acima
seria usado o método da interpolação linear para o cálculo da comissão. José e Maria são casados e ambos
vendedores desta loja. No mês passado José vendeu um total de R$4500 e Maria vendeu R$8000. Quanto
os dois ganharam juntos de comissão?
01) R$650
02) R$655
03) R$660
04) R$665
05) R$670
RESOLUÇÃO:
Comissão de José: x
5000 − 2000 250 − 100
=
⇒
4500 − 2000
x − 100
3000
150
1
5
=
⇒
=
⇒
2500 x − 100
25 x − 100
x − 100 = 125 ⇒ x = 225
Comissão de Maria: y
10000 − 5000 550 − 250
=
⇒
8000 − 5000
y − 250
5000
300
5
300
=
⇒ =
⇒
3000 y − 250
3 y − 250
5y − 1250 = 900 ⇒ 5 y = 2150 ⇒ y = 430
Portanto os dois receberam juntos R$655.
RESPOSTA: Alternativa 02
Questão 10. (UNICAMP - Modificada)
Um homem de 1,6m de altura sobe uma ladeira
com inclinação de 30°, conforme mostra a figura.
No ponto A está um poste vertical de 4,8m de
altura com uma lâmpada no ponto B. Depois que
ele subiu 3 metros ladeira acima, uma sombra
determinou o ponto C. Calcule a área do triângulo
ABC, em m², considerando
01) 8,42
02) 8,76
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
3 = 1,7 .
03) 9,18
04) 9,36
05) 10,40
5
RESOLUÇÃO:
Os triângulos CDE e ABC são semelhantes, logo:
x
1,6
=
⇒ 3x = x + 3 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1,5 ⇒ AC = 4,5 .
x + 3 4,8
No triângulo ACH:
SABC =
CH
3
CH
3
=
⇒
=
⇒ CH = 2,25 3 ⇒
AC
2
4,5
2
2,25 3 × 4,8
= 5,4 × 1,7 = 9,18 .
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 11.
2
Sobre a função f(x) = ax + bx + c, sabe-se que:
I) a imagem de f é o intervalo ] –∞ ; 18 ].
II) o eixo de simetria de f é a reta x = 1.
III)
4 é raiz de f.
Calcule f(2).
01) 04
02) 08
03) 10
04) 12
05) 16
RESOLUÇÃO:
−b
2
= 1 ⇒ b = −2a ⇒ f(x) = ax − 2ax + c.
2a
2
Sendo o valor máximo de x = 18 para x = 1, a – 2a + c = 18 ⇒ c = 18 + a ⇒ f(x) = ax − 2ax + 18 + a.
Como o eixo de simetria de f é a reta x = 1,
2
Sendo 4 uma raiz de f, 16a – 8a + 18 + a = 0 ⇒ 9a + 18 = 0 ⇒ a = − 2 ⇒ f(x) = − 2x +4x +16.
f(2) = − 8 + 8 + 16 = 16.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 12.
.(UFRJ - Adaptada)
O triângulo ABC da figura ao lado tem ângulo reto
em B. O segmento BD é a altura relativa a AC. Os
segmentos AD e DC medem 8cm e 2 cm,
respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e
BC = 4EC.
Determine o comprimento do segmento DE.
01)
15
2
02)
11
3
04)
13
2
05)
15
3
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
6
03)
10
2
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo ABC:
h2 = 8× 2 ⇒ h = 4 .
No triângulo retângulo BDC:
2 5
5
=
.
4
2
(BC) 2 = 16 + 4 ⇒ BC = 2 5 ⇒ u =
Ainda no triângulo BDC: cos Ĉ =
Aplicando
a
2
2 5
Lei
=
5
5
dos
cossenos
ao
triângulo
DCE:
2
 5
 − 2.2. 5 . 5 ⇒ DE 2 = 4 + 5 − 2 ⇒ DE 2 = 13 ⇒ DE = 13
DE 2 = 2 2 + 
 2 
2 5
4
4
2


RESPOSTA: Alternativa 04
Questão 13.
Uma praça vai ser construída com um formato de
um retângulo e dois triângulos equiláteros
conforme figura. A praça deve ter um perímetro
de 240 m e a área do retângulo deverá ser a
máxima possível. Calcule a área do retângulo.
01) 1350 m
2
02) 1600 m
2
03) 1750 m
2
04)1800 m
2
05)1950 m
2
RESOLUÇÃO:
4x + 2y = 240 ⇒ 2x + y = 120 ⇒ y = 120 – 2x ⇒ A área
do retângulo é dado por: S = x(120 – 2x) ⇒ S = – 2x² +
120x.
−120
O retângulo terá área máxima para x =
= 30 .
−4
Logo Smáx= – 2(900) + 3600 = 1800
RESPOSTA: Alternativa 04.
Enunciado para as questões 14 e 15.
A empresa Caribe Holding S.A. fabrica e vende um determinado produto. Sendo Q o número de
unidades fabricadas e vendidas e sendo P o preço de venda de cada unidade, sabe-se que o custo de
fabricação é dado por C = 2000 + 30Q e a quantidade vendida é dada por Q = 1200 – 10P.
Questão 14.
Calcule o preço de venda para o qual a receita é máxima.
01) R$55
02) R$60
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
03) R$70
04) R$75
7
05) R$80
RESOLUÇÃO:
A receita é dada pelo produto do preço unitário pela quantidade de produtos vendidos:
2
R(P) = P(1200 – 10P) = – 10P + 1200P.
−1200
= 60 .
A receita será máxima para P =
− 20
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 15.
Calcule o preço de venda para o qual o lucro é máximo.
01) R$55 02) R$60
03) R$70
04) R$75
05) R$80
RESOLUÇÃO:
O lucro será a diferença entre a receita e o custo da fabricação do produto:
2
2
L(P) = – 10P + 1200P – (2000 + 30Q) = – 10P + 1200P – 2000 – 30(1200 – 10P) ⇒
2
L(P) = – 10P + 1500P – 38000
−1500
O lucro será máximo para P =
= 75 .
− 20
RESPOSTA: Alternativa 04.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
8