Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
1
GABARITO
Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS E NÚMEROS
Páginas 3 - 4
1.
a) Isso se deve ao fato de que as informações não são excludentes, isto é, elas
possuem elementos em comum. Por exemplo, os 20 alunos que acertaram as duas
questões estão incluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão (35).
Assim, a soma obtida contém dupla contagem de alunos, o que gera a diferença
observada.
b) 35 – 20 = 15 alunos
Acertaram apenas a 1ª
questão (15)
Acertaram a 1ª questão
(35)
Acertaram a 1ª e a 2ª
questão (20)
c) 25 – 20 = 5 alunos
Acertaram apenas a 2ª
questão (5)
Acertaram a 2ª questão
(25)
Acertaram a 1ª e a 2ª
questão (20)
2
d) % de alunos que acertaram apenas a primeira questão:
% de alunos que acertaram apenas a segunda questão:
15
 0,375 ou 37,5%.
40
5
 0,125 ou 12,5%.
40
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão é 50%.
Página 5
2.
a)
Paulistanos
• André
• Luiz
• Júlio
• Renata
b)
Ensino Fundamental
• Patrícia
• Renato
• Lucas
• Rafael
• Reinaldo
• Antônio
3
c)
Corinthians
• João
São Paulo
• Alice
• Alberto
• Helena
• Tomás
• Diego
• Marcus
• Laís
• André
Página 7
3.
a) III
b) III
c) II
d) III
e) I
f)
II
Página 8
4.
a)
d)
4
b)
e)
c)
f)
g)
Páginas 9 - 13
5.
a) Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I
contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II
representa o contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são
curitibanos.
b) Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I
como o III contradizem a primeira premissa.
c) O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado,
pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III
também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares
são pirâmides.
5
Problemas, conjuntos e diagramas
Página 11
6.
a)
b)
c)
7.
a)
b) O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse
total, sabemos que 20 famílias assistem aos três programas. Portanto, o número de
famílias que só assiste aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80.
O mesmo vale para as outras interseções.
c) No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas
que assiste ao programa A (370) e a soma das interseções
6
A  B, A  C e A  B  C. A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260. O mesmo
deve ser feito para os programas B e C.
d) Com base nos diagramas preenchidos, deve-se verificar se a soma das partes
corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 +
10 + 20 = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de
entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que
não assiste a nenhum dos três programas. Isso pode ser representado como o
conjunto complementar em relação ao total de entrevistados.
8.
a) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa
C: 260 + 80 = 340.
b) 40 pessoas.
7
c) O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A
e 160 do B.
Páginas 13 - 14
9.
U = 60
2ª 1ª
8
12
5
10
10
3
6
6
3ª
a) Apenas 5 alunos erraram as três questões.
b) 12 + 8 + 6 + 10 + 10 + 3 = 49 . 49 alunos acertaram a 1ª ou a 2ª questão.
c) 12 + 8 + 10 + 5 = 35 . 35 alunos erraram a 3ª questão.
8
Desafio!
Página 14
Uma estratégia possível seria representar a interseção dos três conjuntos por x e
completar o diagrama com as informações dadas.
a) Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, basta resolver a seguinte
equação:
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100
Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados consomem as três marcas.
9
b) Substituindo os valores de x no diagrama, obtemos:
Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas são
25% + 12% + 20% = 57%.
Páginas 15 - 16
10. Diagrama c.
11.
12.
a) Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número
natural também é inteiro.
10
b) Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é o próprio conjunto dos inteiros.
NZ=Z
c) Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos
reais.
d) Falsa. A interseção entre inteiros e racionais é o próprio conjunto dos inteiros.
ZQ=Z
e) Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos
mutuamente exclusivos. Q  Ir = 
11
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
NÚMEROS REAIS E AS FRAÇÕES CONTÍNUAS
Páginas 17 - 19
1.
a)
4
5
a)
2,5 
b)
0,8
2.
25 5

10 2
x = 2,4999... (1)
10x = 24,999... (2)
100x = 249,999... (3)
Fazendo (3) – (2) : x=
225 5

90 2
b) x= 0,999...(1)
10x = 9,999 (2)
Fazendo (2) – (1): x 
c) 0,32 
32 8

100 25
9
1
9
x = 0,31999...(1)
10x = 3,1999...(2)
100x = 31,999... (3)
1 000x = 319,999...(4)
10 000x = 31999,999...(5)
Fazendo (5) – (4) : x=
2 880 8

9 000 25
12
3. A atividade 1 sugere um processo geral para transformar decimais finitos em dízimas
periódicas. Sempre que o período de um número é formado por infinitos “noves”,
podemos encontrar uma representação decimal finita para esse número. Na outra
direção, sempre que temos um decimal finito, é possível escrevê-lo como uma
dízima periódica com período formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais
finitos transformados em dízimas:
35,43999... = 35,44
–726,999... = –727
0,0071= 0,0070999...
4.
a)
3
3
7
4
9
9
 0,375  0,374999 ...  



 ...
8
10 100 1 000 10 000 100 000
b)
7
3
3
3
 2,333...  2  

 ...
3
10 100 1 000
Página 20
5.
x  2,3939.... (1)
10 x  23,9393... (2)
100 x  239,3939... (3)
237 79

99 33
24 12
Por outro lado, 2,4 

10 5
mmc (5,33)  165 , então :
79 395
12 396

e

33 165
5 165
Fazendo (3)  (1) : x 
13
Página 22
6.
a) Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7, vai
encontrar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa
divisão um período que se repita, é possível que o aluno responda que o resultado é
um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na
Situação de Aprendizagem “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do Caderno de
7ª série do volume 1. Naquele momento, foi discutido que, ao realizarmos a divisão
entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima
periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e
diferente de 5. Como o denominador da fração
16
apresenta fator primo 7, sabemos
7
que a representação decimal decorrente da conta de divisão será uma dízima
periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a
identificação do período, recomendamos que o professor solicite aos alunos que
façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2, 285714 ).
b) Faremos agora o desenvolvimento de
(1)
16
com fração contínua:
7
16
1
16
 2  , com x > 1.
está entre 2 e 3, portanto,
x
7
7
16
7
1
16
1
 2  decorre que x =
, ou seja,
2 
7
7
x
2
7
.
2
1
7
7
(3) está entre 3 e 4, portanto,  3  , com y > 1.
y
2
2
(2) De
(4) De
1
7
1
7
 3
decorre que y = 2, ou seja,  3  .
y
2
2
2
(5) Como y =
, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:
1
16
 2
1
7
3
2
14
Página 23
7. (1)
30
1
30
está entre 2 e 3, portanto,  2  , com x > 1.
13
13
x
1
30
30
1
13
 2  decorre que x = , ou seja,
2
13
13
13
x
4
4
1
13
13


3
,
com
y
>
1.
está entre 3 e 4, portanto,
(5)
y
4
4
(2) De
(6) De
1
13
13
1
 3  decorre que y = 4, ou seja,
3  .
y
4
4
4
(8) Como y =
, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:
1
30
 2
1
13
3
4
Página 27
8.
24 está entre 4 e 5, portanto,
(1) De
24 = 4 
24  4 
1
, com x > 1.
x
1
decorre que:
x
1
x
x
1
24  4
x
1
24  4
.
24  4 24  4
x
24 = 4 
4  24
8
15
Temos, portanto,
24  4 
(2)
1
4  24
8
4  24
1
4  24
1 , y > 1.
= é um número entre 1 e 2, portanto,
8
y
8
4  24
1
 1
8
y
(3) De
decorre que y =
4  24
e, portanto, temos:
4  24
1
1 
8
4  24
Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo 1 temos:
1
24  4 
1
1
4  24
(4) Como y = 4  24 é um número entre 8 e 9, temos 4  24  8 
1
, com w >
w
1.
(5) De 4  24  8 
1
4 24
decorre que w 
. Como w repetiu o valor de x, a
w
8
partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a
fração contínua que representa
24 será:
1
24  4 
1
1
1
8
1
1
1
8
1
1
8
1

16
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL
Páginas 30 - 33
1. O estabelecimento da unidade de medida é uma resposta pessoal (a figura na
atividade é apenas ilustrativa de uma possível resposta).
2. Atividade resolvida – o professor deve apenas orientar como se constrói e quais são
as propriedades da reta mediatriz.
3.
(1) Traçamos
1
(conforme já foi descrito).
2
(2) Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números 0 e
1
.
2
(3) O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o número
1
.
4
17
4. Primeiro marcaríamos o 0 e o 1. Em seguida, encontraríamos
construção de mediatrizes. De posse de
1 1 1
, e
pela
2 4 8
1
, transportaríamos o segmento de extremos
8
1
sete vezes à esquerda da marcação do zero da reta.
8
em 0 e
5. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele
mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.
Página 34
6.
Páginas 35 - 37
7. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele
mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.
8.
a)
b)
c)
d)
2
4
8
n
2
2
2 , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1)
18
Página 40
9.
10.
19
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA
Páginas 42 - 43
1.
a) 250 = 25 . 10 = 2,5 . 100 = 0,25 . 1 000 = 2 500 . 0,1
b) 0,004 = 4 . 0, 001 = 0,4 . 0,01 = 0,04 . 0,1 = 0,0004 . 10
c) 4,73 = 47,3 . 0,1 = 0, 473 . 10 = 473 . 0,01 = 0,0473 . 100
d) 0,125 = 125 . 10 3 = 12,5 . 10 2 = 1,25 . 10 1 = 0,0125 . 101
e) 25 300 = 2 530 . 101 = 253 . 10 2 = 25,3 . 10 3 = 253 000 . 10 1
2.
20
Páginas 43 - 44
Páginas 44 - 45
3.
a) Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 . 10 9
b) Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou 2,98 . 1018
c) Vinte e cinco centésimos ou 2,5 . 101
d) Quatro décimos de milésimos ou 4 . 104
e) Cento e vinte e cinco décimos de milionésimos ou 1,25 . 105
4.
a) (1,3 . 109 habitantes)
b) (7,045 . 106 km2) e (4,75 . 106 km2)
c) (3 . 10 5 km/s)
d) ( 10 4 m)
21
Página 45
5.
a) 1,2 . 103 . 5 . 105 = 6 . 108
b) 1,5 . 10-4 . 2 . 10-3 = 3 . 10-7
c) 4,5 . 105 ÷ 9 . 10-3 = 0,5 . 108 = 5 . 107
d) (4 . 10-4)4 = 256 . 10-16 = 2,56 . 10-14
6.
a) 103 . (2,5 . 102 + 7) = 103 . (257) = 2,57 . 105
b) 2,5 . 107 – 0,5 . 107 = 2 . 107
c) 1 280 . 105 + 4 . 105 = 1 284 . 105 = 1,284 . 108
d) 75,4 . 106 – 3,2 . 106 = 72,2 . 106 = 7,22 . 107
Página 46
7.
22
8.
Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras.
D2
Sol  Sat
 D2
Sol  Terra
 D2
Terra Sat
D 2 Sol  Sat  D 2 Sol  Terra  D 2 Terra Sat
(1,4 .10 9 ) 2  (1,4 .108 ) 2  D 2Terra  Sat
D 2 Terra Sat  1,96 .1018  1,96 .1016
D 2 Terra Sat  196 .1016  1,96 .1016
D 2 Terra Sat  194,04 .1016
DTerra  Sat  194,04 .1016  13,9 .108  1,39 .109
A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente 1 390 000 000 km.
Páginas 47 - 48
9.
a) É da ordem de 1010 .
b) É da ordem de 1025 kg.
c) É da ordem de 10–27 g.
d) É da ordem de 104 m.
e) É da ordem de 1010 anos.
23
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
24
Matemática – 8a série, 1o bimestre
esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B
simultaneamente. Escrevemos A ∩ B.
Exemplo: os diagramas mostram que alguns
números ímpares são primos, como, por exemplo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares
Primos
5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um
deles é subconjunto do outro. Contém
os elementos de A que não pertencem
ao subconjunto B.
C AB = B
A– A
B
Exemplo: o complementar dos múltiplos
de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15,
25, 35, 45, ...
M(5)
M(10)
3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da
reunião entre A e B contém todos os elementos de A e de B. Escrevemos A ∪ B.
Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e
dos múltiplos de três. A interseção são os múltiplos de seis.
M(2)
M(3)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou
dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro
conjunto B, então esses conjuntos são mutuamente exclusivos. A interseção entre os
dois conjuntos é vazia. A ∩ B = ∅.
Exemplo: os números pares e os números
ímpares são mutuamente exclusivos, pois não
possuem elemento em comum.
4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e
B são aqueles que pertencem a A e não
pertencem a B. Escrevemos A – B.
Exemplo: a figura representa os números pares
que não são primos. Trata-se da diferença entre os
conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares
Primos
Pares
Ímpares
Para representarmos as relações entre dois
ou mais conjuntos, recorremos a mais diagramas. Por exemplo:
Animais
Minerais
Mamíferos
13
Atividade 7
Com base na tabela anterior, imagine o seguinte problema: Em determinado instante,
Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na Terra.
Neste momento, qual é a distância entre
Saturno e a Terra?
Podemos resolver esse problema aplicando o
Teorema de Pitágoras.
2
2
2
DSol
-Sat = DSol -Terra + DTerra -Sat
2
Terra – Sat
(1,4 . 10 ) = (1,4 . 10 ) + D
9 2
8 2
2
18
16
DTerra
- Sat = 1,96 . 10 – 1,96 . 10
2
16
16
DTerra
- Sat = 196 . 10 – 1,96 . 10
2
16
DTerra
- Sat = 194,04 . 10
DTerra - Sat = 194,04 . 10 6 � 13,9 . 10 8 =
= 1,39 . 109
A distância entre a Terra e Saturno é de
aproximadamente 1 390 000 000 km.
Ordem de grandeza
Em muitas situações, quando trabalhamos com medidas muito grandes ou muito
pequenas, não há necessidade de conhecer
com precisão todos os algarismos que compõem o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima
de um determinado valor. Essa potência é
48
denominada ordem de grandeza do número
que expressa a medida.
Exemplos:
a) o raio orbital médio do planeta Júpiter
mede aproximadamente 778 547 200 km.
Esse número pode ser escrito como
7,785472 . 108 km. Como 7 está mais
próximo de 10 do que de 1, podemos
aproximá-lo para 10, resultando no
produto 10 . 108. Portanto, sua ordem
de grandeza é de 109.
b) a ordem de grandeza do número
0,000031 é 10–5. Isso porque, escrevendo o número em notação científica,
3,1 . 10–5, notamos que o 3 está mais
próximo do 1 do que do 10. Portanto,
aproximamos o número para baixo, resultando em 1 . 10–5.
Conhecendo as ordens de grandezas de
diversas medidas, podemos facilmente distinguir qual é a menor ou a maior, bastando
comparar os expoentes das potências de 10.
Retomando a tabela da atividade 6, que informa as distâncias médias dos planetas ao Sol,
podemos constatar que a distância Terra-Sol é
da ordem de 108 km, enquanto a de Júpiter
é da ordem de 109 km, ou seja, é cerca de
10 vezes mais distante.
Atividade 8
Dê a ordem de grandeza das seguintes
medidas:
a) população mundial: aproximadamente
6,6 bilhões em 2007.
1010
b) massa da Terra: 5,9742 . 1024 kg
1025 kg