Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
3.9. Gráfico de Fluxo de Sinais
3.10. Linearização de Modelos
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição –
Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
1
Gráfico de Fluxo de Sinais (1)
Aula 9

Método alternativo ao Diagrama de Blocos para
representação gráfica da dinâmica de sistemas de
controle.

Ambas as técnicas apresentam as mesmas informações e
nenhuma é superior à outra sob qualquer aspecto.
Gráfico de Fluxo de Sinais (2)
Aula 9

Representa um conjunto de equações algébricas lineares
simultâneas

Inicialmente, as equações algébricas lineares devem ser
transformadas em equações algébricas em s

É uma rede na qual os nós são diretamente conectados
por ramos.

Cada nó representa uma variável do sistema e cada ramo
funciona como multiplicador do sinal.

O Fluxo de Sinais ocorre em um única direção, a qual é
indicada por uma seta colocada no ramo.

O fator de multiplicação é indicado ao longo do ramo.

A fórmula de ganho de Mason poderá ser utilizada para
obter a relação entre as variáveis sem a necessidade de
redução do gráfico.
Definições (1)
Aula 9

Nó: É um ponto que representa uma variável ou sinal

Transmitância:É o ganho real ou complexo entre dois
nós. Tais ganhos podem ser expressos em termos de
funções de transferência entre dois nós.

Ramo: É um segmento direcionado unindo dois nós.

Nó de entrada ou fonte: É um nó que contém somente
ramos de saída. Isso corresponde a uma variável
independente.

Nó de saída ou sorvedouro: É um nó que contém
somente ramos que chegam. Isso corresponde a uma
variável dependente.

Nó misto: É aquele que possui tanto ramos de saída
quanto de chegada.
Definições (2)

Caminho: É um percurso através dos ramos no sentido
das setas dos ramos.


Aula 9
Caminho Aberto: Se nenhum nó for atravessado mais de
uma vez.
Caminho Fechado (ou malha): Se o caminho terminar no
mesmo nó que começou e não passar por nenhum nó mais
de uma vez.

Ganho da Malha: É o produto das transmitâncias dos
ramos da malha

Malhas que não se tocam: São aquelas que não têm
nenhum ramo em comum.

Caminho de Avanço: É o caminho que se inicia no nó de
entrada (fonte) e termina no nó de saída (sorvedouro)
sem passar por nenhum nó mais de uma vez.

Ganho do Caminho de Avanço: É o produto das
transmitâncias de seus ramos.
Exemplo de Gráfico de Fluxo de
Sinais
Aula 9
Propriedades dos Gráficos de Fluxo
de Sinais
Aula 9

Um ramo indica a dependência funcional de um
sinal em relação ao outro. Um sinal percorre o
ramo somente na direção especificada pela seta
do ramo.

Um nó soma os sinais de todos os ramos que
chegam e transmite essa soma a todos os
ramos que partem.

Um nó misto pode ser considerado como um nó
de saída pela adição de um ramo de saída com
transmitância unitária. (Entretanto não é
possível mudar um nó misto para um nó fonte).

Para um dado sistema, o gráfico de fluxo de
sinais não é único.
Álgebra do Gráfico de Fluxo de
Sinais
Aula 9

Em geral, coloca-se os nós de entrada (fontes) à
esquerda e os de saída (sorvedouros) à direita.

Variáveis Independentes e Dependentes tornam-se os
nós de entrada e saída, respectivamente

As transmitâncias dos ramos podem ser obtidas pelos
coeficientes das equações.
Regra 1
Aula 9
Regra 2
Aula 9
Regra 3
Aula 9
Regra 4
Aula 9
Regra 5
Aula 9
Representação de Sistemas Lineares
por Gráficos de Fluxo de Sinais
Aula 9

O Gráfico pode ser traçado a partir das equações do
sistema, ou, com a prática, podem ser traçados pelo
exame do sistema físico.

Exemplo:
Exemplo (1)
Aula 9
Exemplo (2)
Aula 9
Exemplo (3)
Aula 9
Exemplo (4)
Aula 9
O Ganho

O Ganho geral a partir de uma entrada para
uma saída pode ser obtido diretamente do
gráfico de fluxo de sinais por:

Inspeção

Uso da Fórmula de Mason

Aula 9
Redução do Gráfico de Fluxo de Sinais a uma forma
mais simplificada
Gráficos de Fluxos de Sinais para
Sistemas de Controle (1)
Aula 9
Gráficos de Fluxos de Sinais para
Sistemas de Controle (2)
Aula 9
Gráficos de Fluxos de Sinais para
Sistemas de Controle (3)
Aula 9
Gráficos de Fluxos de Sinais para
Sistemas de Controle (4)
Aula 9
Fórmula de Ganho de Mason para
Gráficos de Fluxos de Sinais (1)
Aula 9
Fórmula de Ganho de Mason para
Gráficos de Fluxos de Sinais (2)
Aula 9
Exemplo 3.13. (1)
Aula 9
Exemplo 3.13. (2)
Aula 9
Exemplo 3.13. (3)
Aula 9
Exemplo 3.14. (1)
Aula 9
Exemplo 3.14. (2)
Aula 9
Exemplo 3.14. (3)
Aula 9
Exemplo 3.14. (4)
Aula 9
Exemplo 3.14. (5)
Aula 9
Exemplo 3.14. (6)
Aula 9
Linearização de Modelos

Sistemas Não Lineares
Um sistema é não-linear se o princípio da
superposição não se aplicar a ele. Ou seja, não se
pode obter a resposta para duas entradas
simultâneas considerando as entradas
individualmente e somando os resultados.
Exemplos:

Saturação

Espaço Morto

Aula 9
Não-Linearidades Quadráticas: Um amortecedor utilizado
em sistemas físicos pode ser linear para aplicações em
baixa velocidade e não linear para aplicações de alta
velocidade, quando a ação de amortecimento pode variar
com o quadrado da velocidade.
Linearização de Sistemas Não
Lineares (1)
Aula 9

Na engenharia de controle, uma operação
normal pode ser em torno do ponto de
equilíbrio, e os sinais podem ser considerados
pequenos sinais em torno do ponto de
equilíbrio.

Se o sistema for operar em torno de um ponto
de equilíbrio e os sinais envolvidos forem
pequenos, é possível aproximar o sistema não
linear por um sistema não linear.

O sistema linear será equivalente ao sistema
não linear dentro de um determinado conjunto
limitado de operações.
Linearização de Sistemas Não
Lineares (2)
Aula 9

Uma forma de linearização é desenvolver a
função não linear em uma série de Taylor em
torno do ponto de operação e reter somente o
termo linear.

Em virtude da desconsideração dos termos de
ordem elevada da expansão da série de Taylor,
esses termos desprezados devem ser
suficientemente pequenos, ou seja, as variáveis
devem se desviar apenas ligeiramente das
condições de operação.
Aproximação Linear de Modelos
Matemáticos Não-Lineares (1)
Aula 9
Aproximação Linear de Modelos
Matemáticos Não-Lineares (2)
Esta equação fornece um modelo matemático
linear para um sistema não linear, próximo do
ponto de operação
Aula 9
Aproximação Linear de Modelos
Matemáticos Não-Lineares (3)
Expandindo em série de Taylor em torno do ponto normal de operação
Aula 9
Aproximação Linear de Modelos
Matemáticos Não-Lineares (4)
Aula 9
Exemplo 3.15. (1)
Solução
Aula 9
Exemplo 3.15. (2)
Aula 9