Comportamento de
Sistemas Não-lineares
Prof. Marcus V. Americano da Costa Fº
[email protected]
Universidade Federal da Bahia – UFBA
Eng. de Controle e Automação
2015
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1. Sistemas Não-Lineares
• Sistemas Lineares
1 único Equilíbrio
(estável ou instável)
• Sistemas Não Lineares
- Múltiplos Equilíbrios
- Oscilações periódicas (ciclos limites)
- Atratores estranhos (“caóticos”)
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1. Sistemas Não-Lineares
• Pêndulo simples
  b  a sen( )  0
x1   ; x2  
L
x1  x2
x2  a sen ( x1 )  b x2
Diagrama
de
Espaço de Estados
b0
θ
b0
equilíbrios
x2
x2
x1
x1
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1. Sistemas Não-Lineares
• Controle Pneumático do pêndulo simples invertido
1. Sistemas Não-Lineares
•Controle com Rotação do pêndulo simples invertido
1. Sistemas Não-Lineares
• Oscilador de Van der Pol
x1  x ; x2  x
x1  x2



d 2x
dx
2


x

1
x0
2
dt
dt
Equilíbrio (foco instável)

2
x2   x1   x1  1 x2
x1 (t )
x2
x2 (t )
Ciclo limite
Estável
t [seg ]
x1
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1. Sistemas Não-Lineares
x1  x2
x2  x3
• Atrator de Rossler
x3   x1 1  x1   x2  0.5 x3
x1
x2
x3
x3
x2
x1
t
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
Exemplo: Equação logística
1) Equilíbrios
x  x  x 2  f ( x)
x  0  x  x 2  0
xe1  0
1  x  0  xe 2  1
2) Estabilidade dos equilíbrios (classificação)
df (0)
 1  x  x  0  x
Para x  0 
dx
df (1)
 1  x  1( x  1)
Para x  1 
dx
df ( x)
f (x) 
 1 2x
dx
'
X(t)
1
0
t
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
• Linearização: se df(x)/dx ≠0 então as soluções do sistema não
linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se
como as do sistema Linear
Desenvolvimento serie
de Taylor
x  f ( x)
Desprezar termos de
ordem superior
df ( x )
x  x   
x  f ( x ) 
dx
df ( x )
x  x 
x 
Aproximação linear
dx
df ( x )
0
dx
Aproximação linear
válida
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
x  f ( x)  x 2 ; x  0  x  0
• Exemplo
df ( x )
 2x
dx
df (0)
 0  x  ?
Para x  0 
dx
Solução
x(t ) 
Como
x
Equilíbrio
0
t0=1/x0
t
 x0
x0t  1
df (0)
0
dx
Não podemos estudar o
equilíbrio a partir do sistema
linearizado
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
• Exemplo
x1  2 x1 x2
x2   x1  x2  x1 x2  x2 3
Equilíbrios
x1, x2   0,0 , 0,1 , 0,1
 2 x1 x2  0
 x1  x2  x1 x2  x2  0
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Matriz da
(Jacobiano)
linearização
 0
 0 0

Df (0,0)  
 1
2  1
 1 1 
  2
0
 2
  1
Df (0,1)  
2  2
 0  2
 2
0
 2
  1
Df (0,1)  
  2  2  2  2
 2 x1 
  2 x2
Df ( x1 , x2 )  
2


1

x
1

x

3
x
2
1
2 

Não posso concluir nada
Nó assintoticamente estável
Ponto de sela (instável)
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
• Caso Geral
x  f ( x)
; x n
x  f ( x )  Df ( x) x  x   
x  Df ( x) x  x 
• Jacobiano
 f1

 x1
 f 2
Df ( x)   x1

 
 f n
 x
 1
f1
x2
f 2
x2

f n
x2




Sistema linearizado
f1 

xn 
f 2 
xn 

 
f n 
xn 
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2. Teorema de Hartman-Grobman
Na vizinhança de um ponto de equilíbrio hiperbólico, um sistema não linear de
dimensão ‘n’ apresenta um comportamento qualitativamente equivalente ao do
sistema linear correspondente.
A estabilidade de um ponto de equilíbrio hiperbólico é preservada quando se
lineariza o sistema em torno desse ponto, de modo que o retrato de fases, na
sua vizinhança, é topologicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fases
do sistema linear associado. Dois retratos de fases são topologicamente
orbitalmente equivalentes quando um é uma versão distorcida do outro.
Se o ponto de equilíbrio é não-hiperbólico, então a linearização não permite
predizer sua estabilidade.
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
Tarefa 1: determinar os equilíbrios do seguinte sistema e classificálo segundo a sua estabilidade
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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
Tarefa 2: estudar a estabilidade da equação de Van der Pol
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