1ª AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – 3º
BIMESTRE
Problemas de contagem – Princípio fundamental da contagem; Fatorial.
RESOLUÇÃO
(QUESTÃO 01) (VALOR: 10) (UERJ – RJ - 2008) Uma bicicleta de marchas tem três
engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a
roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de
cada engrenagem, todos de igual tamanho.
Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do
pinhão.
Um dente da 1ª engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a
bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1ª ou à 2ª
engrenagem do pinhão.
Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar
a bicicleta, é de:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Dividamos o problema em duas etapas: escolher uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.
Logo:
I) Usando a engrenagem quebrada da coroa
Etapas →
Nº de possibilidades →
Engrenagem
da Coroa
1
x
Engrenagem
do Pinhão
2
=2
x
Engrenagem
do Pinhão
6
= 12
II) Usando engrenagens não quebradas
Etapas →
Nº de possibilidades →
Engrenagem
da Coroa
2
Assim, existem 2 + 12 = 14 é o número de marchas distintas que podem ser utilizadas.
(QUESTÃO 02) (VALOR: 10) (ENEM - 2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de
mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos - uma do
grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores.
O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é
igual a
a) 1.320.
b) 2.090.
c) 5.845.
d) 6.600.
e) 7.245.
Dividamos o problema em três etapas: escolher um cetáceo, escolher um primata e escolher um
roedor. Esquematicamente temos:
Etapas →
Nº de possibilidades →
Cetáceo
2
Primatas
x
20
Roedores
x
33
= 1320
(QUESTÃO 03) (VALOR: 10) (UFC – CE - 2006) Dentre os cinco números inteiros listados
abaixo assinale aquele que representa a melhor aproximação para a expressão:
2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! + 6.6!
a) 5030
b) 5042
c) 5050
d) 5058
e) 5070
Temos que 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120 e 6! = 720. Então: 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! + 6.6! =
2.2 + 3.6 + 4.24 + 5.120 + 6.720 = 4 + 18 + 96 + 600 + 4320 = 5038
(QUESTÃO 04) (VALOR: 10) (UFRJ – RJ - 1997) Um construtor dispõe de quatro cores
(verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada
casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor.
Determine o número de possibilidades diferentes de pintura.
Como são 5 casas que devem ser pintadas dividiremos o problema em 5 etapas:
Nº de possibilidades →
(cores)
4
x
3
x
3
x
3
x
3
= 324
(QUESTÃO 05) (VALOR: 10) (ENEM - 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos
peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores,
formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e
amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e
fundo), conforme a figura.
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela;
e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem
da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas
para a paisagem é
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
Dividamos o problema em três etapas: escolher uma cor para o fundo, outra para a casa e outra
para a palmeira. Esquematicamente temos:
I) Se o fundo for AZUL.
Etapas →
Nº de possibilidades →
Fundo
1
II) Se o fundo for CINZA.
Etapas →
Nº de possibilidades →
Fundo
1
x
Casa
2
x
Casa
3
Assim existem 4 + 3 = 7 variações que podem ser obtidas.
X
Palmeira
2
=4
X
Palmeira
1
=3