UNIVERSIDADE DE AVEIRO
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA TELECOMUNICAÇÕES E INFORMÀTICA
Sistemas e Controlo I – Aulas Práticas (2015/16)
Trabalho prático nº 6
Objectivos: Determinar os modelos matemáticos de sistemas mecânicos de rotação com e sem
engrenagens. Simulação e análise dos sistemas em Simulink.
Fig.1 Sistema rotativo de transmissão mecânica sem engrenagem
Fig.2 Sistema rotativo de transmissão mecânica com engrenagem
Ex. 1 A montagem na Fig.1 mostra um motor acoplado a uma carga inercial rotativa, através de um eixo
elástico e na Fig. 2 o acoplamento passa por engrenagem. Nas transmissões mecânicas representadas na
Fig. 1 e Fig. 2 considere:
Tm é o binário (torque) motor proporcional a tensão da entrada do motor.
J m e J L são os momentos da inercia do motor e da carga;
θ m e θ L são os movimentos angulares do motor e da carga;
ω m e ω L são as velocidades angulares do motor e da carga.
Bm e BL são os coeficientes de atrito viscoso do motor e da carga;
B e K são as constantes de atrito e de elasticidade da transmissão;
O par de engrenagem (Fig. 2) é constituído por 2 rodas dentadas com N1 e N2 dentes.
a) Determine as equações de dinâmica dos dois sistemas e implemente os sistemas em Simulink.
b) Considere J m =5 [Kg.m2]; J L =1 [Kg.m2]; Bm =1 [N.m.s/rad]; BL =2 [N.m.s/rad]; K=10 [N.m/rad]; B=5
[N.m.s/rad], N1/N2=n= 0.1 (relação de transmissão). Obtenha os gráficos de ω m e ω L do motor e da
carga quando ao longo de 20s. foi aplicado um binário Tm =100 [Nm]. Qual a velocidade angular que a
carga atinge? Repita as simulações para:
• K<<10 (K=1) e observa o comportamento transitório fracamente amortecido.
• K>>10 (K=100) e B=0 (ausência de elasticidade).
Appendix A: Sistemas mecânicos de rotação: massa - mola –atrito (elementos passivos)
• Quando um binário (uma força rotativa) é aplicado a uma mola, a mola é torcida de um determinado
ângulo. O binário resistente que a mola produz é proporcional ao ângulo de torção relativo aos dois
extremos da mola. A mola (elemento elástico) é um armazenador indutivo de energia.
k- constante de elasticidade da mola
Tmola = k (θ1 − θ 2 ) ,
(quando maior for k menos elástica/mais rígida a mola)
• Num sistema de rotação o atrito produz um binário inercial proporcional a velocidade de rotação. O
atrito dinâmico é um dissipador de energia.
Tatrito = Bω , B -coeficiente de atrito, ω = θɺ
• A aceleração angular de uma massa com momento de inercia J é proporcional a soma de todos os
binários que actuam no sistema rotativo. A massa é um armazenador capacitivo de energia.
TJ = Jωɺ = ∑ Ti , J=Mr2
i
Appendix B: Sistemas de rotação com engrenagem mecânica
Um sistema de rotação com engrenagem mecânica inclui um par de rodas dentadas com raios r1 , r2 e
número de dentes N1 , N 2 . A função da engrenagem é aumentar o binário à custa de uma perda de
velocidade ou aumentar a velocidade angular perdendo binário. Para um par de engrenagem ideal o
tamanho dos dentes das rodas é igual e não há perdas por atrito nos dentes. As velocidades de rotação (
ω1 , ω2 ) e respectivamente os ângulos de rotação ( θ1 , θ 2 ) da engrenagem primaria e secundaria são
diferentes.
Do lado da engrenagem primária ( r1 , N1 ) é produzido binário T1 que é transformado em binário T2 do lado
da engrenagem secundaria ( r2 , N 2 ). A relação entre os dois binários:
N
T1 (t ) = nT2 (t ), n = 1
N2
A potência no primário é igual à potência no secundário. T1ω1 = T2ω2
A distância linear percorrida pelos pontos periféricos de cada uma das rodas dentadas é igual:
θ1r1 = θ 2 r2
O número de dentes em cada roda da engrenagem é proporcional ao raio da roda:
r1 N 1
.
=
r2 N 2
Relação geral das variáveis de um par de engrenagens ideal:
T1 (t ) θ 2 (t ) N1 r1
=
=
=
T2 (t ) θ1 (t ) N 2 r2