ROOT LOCUS - Projecto
CONTROLO
1º semestre – 2011/2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap. 7 - Parte II
Projecto apoiado em Root Locus
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Eduardo Morgado
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que
foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem
autorização dos autores
1/Cap.7-Parte II
“Root Locus” – Exemplo de Projecto
Sistem Físico –
0
y
u=f
m=1Kg
Massa que se desloca sem atrito ao longo da
coordenada y (inércia pura).
d 2 ( y)
Y ( s)
1
f u 


U ( s) s 2
dt 2
Sistema instável
em malha aberta
Objectivo: projectar um sistema de controlo em
malha fechada para estabilização em posição.
Tentativa #1 – Ganho Proporcional
r
k 0
1
s2
y
2/Cap.7-Parte II
“Root Locus” – Exemplo de Projecto
Traçado do “Root-Locus”
O sistema não é estável
em malha fechada
Verificação:
1
s2
m=0 n=2 ramos
n=2 n-m=2 assímptotas
Centro das assímptotas
a
pi  z j


nm
0
Ângulos das assímptotas
(2k  1)
k 
  0;k  0,1
nm
900 ,900
Não existem porções do diagrama no eixo
Real (excepto o ponto 0, quando k=0)
3/Cap.7-Parte II
“Root Locus” – Exemplo de Projecto
Tentativa #2 – Acção Proporcional e Derivativa
r
k 0
(s 1)
Acção derivativa
1
s2
y
Acção proporcional
(inclusão de um zero em s=-1 rad/s, no semi-plano
complexo esquerdo, para “atrair” o diagrama para a
zona de “estabilidade”) – esquecer por enquanto o
facto de que o controlador não é causal.
-1
Porções do diagrama no eixo real
-1
4/Cap.7-Parte II
Traçado das Assímptotas
( s  1)
s2
n=2 ramos
n-m=1 assímptota
(1 zero em infinito)
Centro das assímptotas
a
pi  z j


nm
 0  0  (1)  1
Ângulos das assímptotas
(2k  1)
k 
  0;k  0
nm
1 8 00
Porções do diagrama no
eixo real
-1
Comportamento geral do diagrama:
Quando k tende para 0,
polos em malha fechada polos em malha aberta
Quando k tende para infinito,
polos em malha fechada
zeros em malha aberta,
incluindo os zeros em infinito.
5/Cap.7-Parte II
Verificar estas zonas
( A e B) em pormenor
B
A
-1
O zero exerce um
efeito atractor e
s
“encurva” o diagrama para a
esquerda
0
Pormenores
A – ângulos de saída dos polos
s0
3
- ponto de teste
1   2
Condição de argumento
arg(( s  1) / s 2 )  3   2  1  (2k  1) ; k  Z
Quando s0  0,  3  0
 21  (2k  1) ; k  Z  1   / 2
O diagrama sai dos pólos na “vertical”.
6/Cap.7-Parte II
Confirmação de que o
não diagrama não cruza
o eixo imaginário
(excepto no ponto 0).
-2
Confirmar esta
raíz dupla
Polinómio característico:
s 1
1 k 2  0
s
 s 2  ks  k  0
Seja  : j é uma raíz no eixo imaginário
  2  jk  k  0
  k  0
(não existem intersecções
não triviais com o eixo
imaginário)
Ponto de entrada no eixo real (“Breakin”)
s 1
s2
k 2  1  k  
s 1
s
 s 2  ks  k  0
dk
2s(s  1)  s 2

 0  s(s  2)  0
2
ds
(s  1)
Raízes possíveis: 0 (trivial), -2
7/Cap.7-Parte II
Interpretação física do efeito
estabilizador da acção derivativa
r
k 0
(s 1)
1
s2
y
(sistemas equivalentes sob
o ponto de vista de estabilidade)
r
k 0
1
s2
y
ks
Retroacção local de velocidade
(termo dissipativo artificial, semelhante
ao efeito de um amortecedor)
Nos dois casos, o denominador de Y(s)/R(s) é
s 2  ks  k  0
Termo estabilizante, fruto da retroacção local de velocidade
8/Cap.7-Parte II
Mas ... existe uma constrição prática.
Não é possível realizar diferenciadores
puros!
Estratégia: substituir o termo (s+1) por
p
(s  1)
; p  1
s p
Sistema causal, passa-baixo,com largura
de banda “muito superior” a 1 rad/s.
Redefinir k como kp
r
k 0
s 1
s p
1
s2
y
Para valores possíveis de p, ver o exercício a seguir
9/Cap.7-Parte II
Exemplo de projecto mais realista
1
Objectivos: dado o sistema a controlar P ( s )  2
s
Projectar um controlador K(s) tal que:
a. O sistema em malha fechada é estável
b. O sistema em malha fechada exibe
comportamento (dominante) de segunda ordem
com
b.1. Sobreelevação S  20 .5%
b.2. Tempo de estabelecimento t s (5%)  0.75s
Resolução:
b.1 S  exp( / 1   2 )  20.5%    0.45
b.2
ts (5%) 
ln 0.05
 n

3
 n
 0.75   n  4
10/Cap.7-Parte II
Exemplo de projecto mais realista
arcsin(0.45)
0
 n
Zona desejada para os polos dominantes
em malha fechada
 n  4 ;   0.45  n  8.89 rads1
 n 1   2  7.94 rads1  8 rads1
Localização possível dos polos: -4+j8, -4-j8
+j8
4
11/Cap.7-Parte II
ROOT LOCUS - Projecto
sz
Tipo de controlador: K ( s ) 
s p
Tentativa: fazer z=4 rad/s e determinar p tal que
se cumpram (caso seja possível!) as especificações.
m
j8
M4
M 2 =M 3
M1
1
4
-p
2 = 3
e
-4
x
-j8
Localizar este pólo
Utilizando a condição do argumento:
1   2   3   4  (2k  1)180o
1  90o ; 2   3  180o  tan 1 (2)  1170
 4  36o
8
tan1    36o
 x
x  11o ; p  11 4  15 rads1
12/Cap.7-Parte II
ROOT LOCUS - Projecto
Para calcular o valor de ganho necessário,
utilizar a condição do módulo:
-4+j8
m
j8
M4
M 2 =M 3
M1
- -15
e
-4
-j8
1  K ( s )G ( s )|s  4 j 8  0
 | s4| 1 
 K
. 2
1
 | s  15 | | s |  |s  4 j 8
 | s  15 || s |2 
K 

 | s  4 |  |s  4 j 8
M 4. M 3. M 2.
K
 136.
M 1.
13/Cap.7-Parte II
ROOT LOCUS - Projecto
Resposta ao escalão unitário
alão unitário
Y ( s)
K (s  z)
136s  544

 ... 
R( s ) ( s  p ) s 2  K ( s  z )
s 3  15s 2  136s  544
Step Response
1.5
Amplitude
1
z=4
p = 15
K = 136
0.5
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
Sobreelevação  45 % !! >> 20% desejada
14/Cap.7-Parte II
ROOT LOCUS - Projecto
Root locus:
f. t malha aberta:
K
( s  4)
s 2 ( s  15)
Root Locus
20
15
pólos em
cadeia
fechada
Imaginary Axis
10
5
0
-5
z=4
p = 15
K = 136
-10
-15
-20
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Real Axis
Mapa polos-zeros da malha fechada para K = 136:
zeros: s = - 4
polos: s1,2  - 4  j 8
s3  - 7
! Efeitos de pólos e zeros adicionais (além dos
projectados s1,2 = -4  j 8 ) !
! Polos projectados não são dominantes !
15/Cap.7-Parte II
Considerações adicionais
Para diminuir a Sobreelevação S
“fechar” mais os ramos principais do root-locus
• deslocar o pólo do controlador para a esquerda e/ou
• deslocar o zero do controlador para a direita
Variação consistente do ganho
Pólos da malha fechada deslocam-se sobre o root-locus
TENTATIVAS 
z=3
p=25
K=250
Resposta ao escalão unitário
Y ( s)
K (s  z)
250s


R( s) ( s  p) s 2  K ( s  z ) s 3  25s 2  250s  750
Step Response
1.5
Amplitude
1
z=3
p = 25
K = 250
0.5
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
Sobreelevação 25% Tempo de estabelecimento (5%)  0,75s
16/Cap.7-Parte II
Considerações adicionais
TENTATIVAS 
z=3
p=25
Root-Locus
f .t.m alha aberta: K
K=250
(s  3)
s2 ( s  25)
Root Locus
20
15
Imaginary Axis
10
5
0
-5
z=3
p = 25
K = 250
-10
-15
-20
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Real Axis
Mapa pólos-zeros da malha fechada para K=250
zeros: s=-3
pólos: s1,2-10j7, s3 -5
Pergunta: haverá, com este controlador, um conjunto de valores
de parâmetros mais conveniente? (tente …)
Se o resultado
não satisfaz
Ensaiar outro controlador (com
diferente estrutura)
Compromisso entre desempenho, complexidade, robustez, …
17/Cap.7-Parte II
ROOT LOCUS - Projecto
Dimensionamento do controlador
por via puramente algébrica
Equação característica:
1 K
( s  4) 1
.
0
2
( s  p) s
s 3  p.s 2  K .s  4K  0
Polinómio característico como função dos parâmetros do controlador:
s 3  p.s 2  K.s  4K
Polinómio característico desejado:
s  (4  j8)s  (4  j8)(s  x)  ...  s 3  s 2 (8  x)  s(80  8x)  80x
• o polinómio característico é do 3º grau
• além dos pólos projectados de 2ª ordem existe um
terceiro pólo da malha fechada em s = -x )
por identificação dos polinómios característicos assim formados,
obtém-se:
8  x  p

80  8 x  K
80x  4 K


...
 K  133,33

 x  6,66
 p  14,66

Este procedimento, aplicável a casos simples,
não dispensa a etapa posterior de ajuste
de parâmetros, guiada pelo root-locus!
18/Cap.7-Parte II
Projecto apoiado no Root-Locus - Síntese
Dados:
• Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s))
•Especificações de regime permanente  tipo
• Especificações dinâmicas  pólos desejados da malha fechada
(pólos de 2ª ordem supostos dominantes)
Projecto:
Estrutura do Controlador C(s) (sugerida pelo root-locus)
Dimensionamento do Controlador C(s)
apoiado no root-locus: condições de
argumento e de módulo
via algébrica
simulação e comparação com o desempenho desejado
ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus)
simulação
19/Cap.7-Parte II