14
Ângulos, triângulos, pontos especiais num triângulo
8o Ano
Cláudia Herdeiro Cardoso
Escola E.B.2,3 Santo António
Cláudia Cardoso, de 36 anos de idade, é licenciada em Matemática (Ramo de Formação Educacional) pela
Universidade de Coimbra e Mestre em Didáctica da Matemática pela Universidade de Huelva. Exerce a actividade de docente desde 1996, sendo desde 2000 professora do quadro de nomeação definitiva da Escola
E.B.2,3 Santo António de Faro. Já utiliza as TIC há vários anos embora, só agora, a Escola comece a estar
equipada para permitir o desenvolvimento de planos didácticos com as TIC.
O trabalho da Cláudia foi feito em parceria com o colega Nuno Duarte Rodrigues. Utilizou o Sketchpad pois os
alunos já tinham conhecimentos prévios sobre este software. A Claudia refere que, no momento da experimentação, já estava leccionado todo o programa, portanto a utilização do computador para resolver as actividades
propostas foi de consolidação dos temas e não de introdução de conceitos. Começou com uma actividade sobre
ângulos opostos e ângulos de lados paralelos, e continuou com outra actividade envolvendo ângulos de um
triângulo.
Nas actividades seguintes, o triângulo voltou a ser estudado tendo sido abordados os conceitos de altura,
mediatriz de um lado, bissectriz de um ângulo interno e medianas. Finalizou com a resolução de alguns
problemas de aplicação. Houve a preocupação com a comunicação matemática, tendo sido reservados os
últimos 20 minutos de cada aula para os diferentes grupos exporem a à turma as conclusões a que tinham
chegado e fazerem a consequente discussão.
O interesse que as actividades despertaram e os resultados obtidos motivaram os professores para continuarem futuramente este tipo de trabalho.
181
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
R ESUMO
3. Propriedades dos triângulos
Este trabalho faz parte de uma série de trabalhos da Acção de Formação Tecnologias na
Aprendizagem da Matemática.
4. Semelhança de triângulos
Pretende-se com este trabalho desenvolver e
aplicar actividades para a aula de matemática com o recurso às tecnologias. Posteriormente proceder-se-á a uma reflexão conjunta
sobre as vantagens e desvantagens, contrariedades e frutos de um trabalho de exploração/ investigação com o recurso às tecnologias.
Não é um trabalho acabado, pois como todos, poderá sempre ser melhorado e completado com mais temas, outras tarefas e problemas. O facto de estas tarefas surgirem nesta
fase do ano lectivo condicionou as abordagens, mas perfeitamente adaptável a uma fase
diferente de aquisição inicial de saberes (no
sentido lato). Enunciam-se objectivos, temas
abordados, tarefas bem como a sua avaliação
e problemas.
Apesar de ser um trabalho de investigação/
exploração os professores acompanharão todos os passos e ajudarão a superar as dificuldades. Como não é possível trabalhar individualmente, recorrer-se-á ao quadro interactivo para que toda a turma consiga acompanhar o desenrolar das actividades
P LANO DE AULA
S UMÁRIO : D ECOMPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS
mediana e altura em relação à hipotenusa –
propriedades. Resolução das tarefas 3 e 4
com o recurso ao programa de geometria dinâmica Sketchpad.
O BJECTIVOS GERAIS
• Desenvolver a capacidade de:
– Entender o significado dos conceitos, relacionando-os com outros conceitos matemáticos;
– Perceber a razão de ser de procedimentos de rotina;
– Reconhecer regularidades e compreender relações;
– Acompanhar e analisar um raciocínio ou estratégia matemática.
• Conhecer factos e procedimentos básicos da Matemática recorrendo à utilização de computadores
• Desenvolver a capacidade de:
– Interpretar enunciados matemáticos;
– Usar a linguagem matemática para
expressar as ideias matemáticas com
precisão;
– Descrever e explicar, oralmente e por
escrito, as estratégias e procedimentos matemáticos que utilizam e os
resultados a que chegam;
– Argumentar e discutir as argumentações de outros.
• Desenvolver a capacidade de:
– Compreender problemas em contextos matemáticos e não matemáticos
e de os resolver utilizando estratégias apropriadas;
– Apreciar a plausibilidade dos resultados obtidos e a adequação ao contexto das soluções a que chegam;
O BJECTIVO PRINCIPAL
Pretende-se proporcionar aos alunos do 8o
Ano uma oportunidade de desenvolver a competência geométrica recorrendo para tal ao
programa de geometria dinâmica, Sketchpad.
Serão sugeridas actividades de exploração/
investigação que lhes permitam adquirir ou
desenvolver competências nos seguintes temas/subtemas:
1. Ângulos
2. Triângulos
182
O BJECTIVOS ESPECÍFICOS
• Decompor um triângulo por uma mediana e relacionar os triângulos obtidos
• Decompor um triângulo rectângulo pela
altura referente à hipotenusa e relacionar os triângulos obtidos
O RGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Os alunos vão trabalhar em grupos reduzidos de 3 elementos, escolhidos por si próprios, o que corresponde a 9 grupos, uma
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
vez que a turma tem 27 alunos. Estes alunos já estão habituados a trabalhar com computadores, tanto na disciplina de Matemática
como nas Áreas Curriculares não Disciplinares de Área de Projecto e Estudo Acompanhado, neste ano lectivo e no ano transacto.
Realizaram alguns projectos recorrendo ao Excel, Word, Sketchpad, PowerPoint e alguns Applets, bem como à Internet.
As aulas decorrerão em blocos de 90 minutos
e terão início no final do 3o período, numa
fase em que o programa já foi integralmente
leccionado e já se realizaram os testes intermédios.
Terão lugar no Laboratório de Matemática e
Biblioteca Escolar, equipadas com computadores.
Os alunos começarão com uma primeira tarefa para conhecerem de um modo geral o
funcionamento do programa. No final de cada
tarefa, que poderá coincidir com a fase final
da aula, realizar-se-á uma pequena discussão com toda a turma para que se possam
partilhar experiências e reflectir sobre o trabalho realizado por si e pelos restantes alunos da turma.
Pretendíamos ainda que os alunos fizessem
um pequeno relatório para cada tarefa mas
considerámos demasiado exigente atendendo
ao tempo disponível e à grande dificuldade
que os alunos apresentam neste tipo de trabalho.
T EMPO DE REALIZAÇÃO DE CADA TAREFA
Actividade Proposta
0. Guia de referência
1. Ângulos
2. Ângulos internos e âng. externos de um triângulo
3. Triângulos e altura
4. Triângulos e mediana
5. Triângulos e mediatrizes
6. Triângulos e bissectriz
7. Problemas
Tempo
90 min
90 min
90 min
90 min
90 min
E STRATÉGIAS
Os alunos conhecem o programa pois já tomaram contacto com a maioria das funcionalidades, em especial aquelas necessárias ao
desenrolar das actividades.
Os alunos já conhecem e trabalharam os con-
ceitos básicos para desenvolver a actividade.
Atendendo a que os alunos poderão não lembrar os conceitos de mediana e altura é-lhes
orientado o trabalho para que começam por
adquirirem as noções fundamentais.
Esperando que nem todos os alunos revelem
a mesma habilidade na utilização do programa,
os professores deverão tentar acompanhar as
resoluções de cada um dos grupos, passo a
passo. Pelos mesmos motivos recorrerão ao
quadro interactivo para que toda a turma consiga evoluir na sua resolução, evitando um
grande desfasamento entre grupos e a tendência para algum barulho. Apesar desta preocupação, os professores deverão dar alguma
liberdade em termos de tempo para que os
alunos tentem resolver os problemas de forma
autónoma.
Cerca de 20 minutos antes do término da aula
deverão os grupos explicar como realizaram
a tarefa, explicando a sequência de procedimentos.
M ATERIAL
Ficha de actividades; 9 computadores; quadro interactivo; Sketchpad
CARACTERIZAÇÃO DA TURMA
As tarefas são dirigidas a uma turma do 8o Ano
composta por 27 alunos da Escola E.B.2,3
Santo António, Faro. É uma turma de nível
Bom à disciplina de Matemática registando
até ao momento apenas uma aluna com nível
inferior a três e dezasseis alunos com nível 4
ou 5. O ambiente durante o desenvolvimento
de actividades é geralmente calmo e nota-se
um claro empenho e motivação pela realização de tarefas quer de investigação, exploração, resolução de problemas ou até mesmo
rotineiras. A única face negativa é o número
elevado de alunos que dificulta muito o apoio
individual por parte dos professores
AVALIAÇÃO DOS ALUNOS
O professor terá oportunidade de avaliar em
cada aula o grau de envolvimento de cada
aluno quer durante a resolução da actividade
quer no final desta aquando da discussão,
bem como na apresentação dos trabalhos à
183
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
turma. A avaliação deste trabalho integrará
a avaliação final do ano lectivo como elemento
dos parâmetros aquisição, compreensão e aplicação de conhecimentos.
R EFLEXÃO
Devido à dimensão elevada da turma recorreuse à utilização do quadro interactivo para evitar grandes desfasamentos entre grupos, no
entanto, deixou-se que os alunos desenvolvessem o trabalho de forma autónoma.
Ao contrário do que se esperava os alunos
não apresentaram grandes dificuldades no entendimento das funcionalidades do programa.
O facto do programa ser em Inglês não foi
impeditivo da compreensão de cada uma das
ferramentas. Os alunos aderiram com entusiasmo às actividades propostas e sugeriram
que se fizessem mais actividades em Sketchpad.
Conscientes do bom nível de desempenho dos
alunos da turma, aplicámos estas mesmas
actividades a uma aluna da mesma turma,
mas com algumas dificuldades, numa aula
de Estudo Acompanhado. Quanto à utilização do programa esta aluna não revelou dificuldades, no entanto, como não havia adquirido as competências específicas necessárias
precisou de vários esclarecimentos.
A ideia que a utilização do software educativo torna mais lento o desenvolvimento de
conteúdos e procedimentos, revelou-se falsa.
Este tipo de actividades já tinham sido desenvolvidas em sala de aula com o recurso a material de desenho e, podemos constatar que
utilizando o Sketchpad, o tempo dispendido
foi inferior.
Dados os francos benefícios decorrentes da
utilização deste software educativo sentimonos motivados para futuros trabalhos. 184
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
A NEXOS
Anexo I – Tarefas e resoluções
185
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
Ano lectivo 2007/2008
>C
! " # $ %#
&
%#
'
(
'" #$ $)*+
#
$,"
##
#
#
$!,
-
.$#
#/%#
0$
$
1
#
$2%$
3
"'"4'
$ 5
$6 &
7&
&
#$ 8
$# (
$# # !
$# " 1
$9
:
$#
'
#
'!
#
;
1
$
-
7
"
#
#
$'!"!-
<
-
. ' #/
$# $
# 0$ $
$
=$
$
1
#
$2%$
%$
3
>
$#
?0$
! 0$
@#
A
"
#
#
$'!-!
B
-
.
-#/
$#
$
=$
$
1
#
$2%$
1
$
3
186
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
( ! #D#$#2%$
&
"##$2%$2%$
(
#$ $# 2%$ #
:
-. #/ D# 9% $ . $#
2%$
=$@##$2%$$#2%$3
;
E " ' - $ 0$ E# 2%$D#$2%$.2%$
7
"##$2%$.2%$
<
"# # 2%$ . 2%$ 0$
$3
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
187
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
4#1$$#2%$
&
"F$#2%$2%$G!H$/?F$
C
D
A
B
(
"##$2%$E2%$0$1/0$
$0$2%$G!H G"HG!"H3
:
$#/@0$/D
3
;
"/0$/D
188
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
!
4#1#$#2%$
&
!8$#2%$G!H$#$#
B
C
D
A
(
!$+2%$G"HG"!H
:
$#/@2%$0$$3
;
"/0$/D
# $# 2%$ #
$# F# "
2%$'@%/2%$
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
189
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
#
$
4#1#6$#%#
&
!8$#2%$G!H)$E#6
(
!8)*#6
:
"# 2 )* #6 /@0$1/3
;
$#/@2%$0$1/3
7
I 9/ ) $# $DE 0$ F E /@ 2%$/%##
190
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
%
"$
4#116$#2%$
&
!8$#2%$G!H)$E16
(
!8)*16
:
"#2)*16
2%$0$1/3
;
$#/@2%$0$1/3
7
I 9/ ) $# $DE 0$ J % 2%$3/%##
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
191
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
&"
K+ $ 18 $# % 0$ D# D # %$
$18=$/+$$3
& !$#."#
$# $DE 1 0$ F !8$DE
( # $# 0$ J ? ## 2 !/+345
: #%$) 21$#?
/ %$ $# 0$ ## =$ @ 2%$ 0$ $#
)* D6 # F*3 + 0$ ## 3
192
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
Ano lectivo 2007/2008
'(
)*+
m ∠AED = 73,96°
m ∠CEB = 73,96°
C
E
A
B
D
"'"4'
m∠ECD = 33,73°
m∠ECG = 146,27°
m∠CFB = 33,73°
m∠CFA = 146,27°
E
G
C
D
A
B
F
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
193
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
m∠ACB = 62,81°
m∠FAC = 134,44°
m∠ABC = 71,63°
D
m∠ECB = 117,19°
m∠CAB = 45,56°
m∠CBD = 108,37°
B
m ∠ACB+m∠ABC+m∠CAB = 180,00°
m∠FAC+m∠ECB+m∠CBD = 360,00°
Soma dos ângul os Internos de um Triângulo
Som a dos ângul os Internos de um Tri ângul o
C
E
A
F
m ∠BCD = 44,81°
m ∠ABD = 44,81°
m ∠BCA = 44,81°
m ∠CDB = 90,00°
m ∠BDA = 90,00°
m ∠ABC = 90,00°
m ∠DBC = 45,19°
m ∠DAB = 45,19°
m ∠CAB = 45,19°
C
[ABC]é um tri ângul o rectângul o em B
D
h:altura relativamente à hi potenusa
h
A
B
Podemos verificar que os triângulos [ABC], [BCD] e [DBA] têm três ângulos
geometricamente iguais, entre si.
Podemos dizer que:
Num triângulo rectângulo a altura relativamente à hipotenusa divide o triângulo em
triângulos semelhantes entre si, e ao triângulo inicial.
194
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
!
Area
ACD = 4,02 cm 2
Area
DCB = 4,02 cm 2
Area
ACD = 1,86 cm 2
Area
DCB = 1,86 cm 2
C
C
A
A
D
D
B
Podemos dizer que:
B
Uma mediana de um triângulo divide-o em dois triângulos com a mesma área.
#
$
%
"$
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
195
C LÁUDIA H ERDEIRO C ARDOSO , E SCOLA E.B.2,3 S ANTO A NTÓNIO
&"
, 2.
196
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
 NGULOS , TRIÂNGULOS , PONTOS ESPECIAIS NUM TRIÂNGULO – 8 O ANO
3.
!,
Escada = 3,68 cm
Escada
4
= 0,92 cm
m ∠CBD = 75,52°
Escada
D
C
B
Escola Básica de 2º e 3º Ciclos Santo António, Faro
197