Matemática
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. RELAÇÕES MÉTRICAS
Seja o triângulo retângulo abaixo:
Dado o triângulo retângulo ABC abaixo:
B
A
b
c
h
n
C
m
B
a
Temos:
c e b são os catetos;
a é a hipotenusa;
A
h é a altura relativa a hipotenusa a ;
m é projeção ortogonal do cateto c
projeção ortogonal do cateto b .
e
n
b e c são as medidas dos catetos.
Definimos:
Seno de um ângulo agudo
É a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a 2 = b2 + c 2
No
temos:
b
sen Cˆ =
a
e
Considere o seguinte triangulo:
c⋅h = b⋅m
e
acima
Exemplo:
B
O quadrado de cada cateto é igual ao produto da
hipotenusa pela projeção do cateto correspondente:
c2 = a ⋅ m
triangulo
c
sen Bˆ = .
a
O produto de um dos catetos pela altura é igual
ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro cateto sobre a hipotenusa:
e
C
c
Temos:
a é a medida da hipotenusa;
é a
Temos as seguintes relações:
Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos:
b⋅h = c⋅n
a
b
b2 = a ⋅ n
5
4
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual
ao produto das projeções de cada cateto:
h2 = m ⋅ n
A
O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela:
Determine
sen Ĉ
4
sen Cˆ =
5
b⋅c = a⋅h
C
3
sen B̂ .
e
e
3
sen Bˆ =
5
Cosseno de um ângulo agudo
É a razão entre a medida do cateto adjacente a esse
ângulo e a medida da hipotenusa.
Editora Exato
27
Matemática
B
cateto adjacente
;
hipotenusa
cateto oposto
tgx =
.
cateto adjacente
cos x =
a
b
3. ÂNGULOS NOTÁVEIS (30°, 45°, 60°)
Podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30°, 45° e 60° através da tabela abaixo:
A
30°
1
2
C
c
Seno
No triângulo, temos:
c
cos Cˆ =
a
e
b
cos Bˆ =
a
Cosseno
Exemplo:
No triangulo abaixo determine
cos Ĉ
e
3
2
3
3
Tangente
cos B̂
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
B
Exemplo:
Determine o valor de
x
na figura abaixo:
5
4
x
A
C
3
30º
16
3
4
cos Cˆ = e cos Bˆ =
5
5
tg 30° =
Tangente de um ângulo agudo
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida
do cateto adjacente a esse ângulo.
3
x
=
3
16
2 x = 16 3
B
x=
a
b
x
(observe na tabela tg30°)
16
16 3
3
EXERCÍCIOS
1
A
(UF(UF-RN) Observe a figura a seguir e determine a altura h
do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos θ = 0,6 .
C
c
B
No triângulo, temos:
tgCˆ =
b
c
e
tgBˆ =
c
b
h
Em geral temos: Sendo x a medida de um ângulo
agudo num triangulo retângulo temos:
cateto oposto
sen x =
;
hipotenusa
Editora Exato
A
28
θ
Matemática
a) h=22,5m
b) h=15m
c) h=18,5m
d) 20m
Se as alturas do poste e do prédio são, respectivamente,
6 3m e 30m, então a distância x, entre o poste e o prédio é, em metros:
a) 15 3 − 18
b) 15 3 − 10
2
(UNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos
degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma alˆ mede 30º, então qual a metura. Se AB = 2m e BCA
dida da extensão de cada degrau?
c) 30 3 − 24
d) 30 3 − 20
e) 30 3 − 18
6
(UNAMA(UNAMA-PA) A figura representa um barco atravessando
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo
um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a
distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:
B
C
rio
60º
3
(UNIFOR(UNIFOR-CE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60º
em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento
da sombra de uma construção de 6m de altura será, aproximadamente:
a) 10,2m
d) 4,2m
b) 8,5m
e) 3,4m
c) 5,9m
4
A
a) 240 3m
b) 240m
c) 80 3m
d) 80m
e) 40 3m
(COVESP(COVESP-PE) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m, seguindo uma direção que forma m
ângulo de 30º com uma das margens. Assinale a alternativa certa para a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio.
a) 100m
d) 150m
b) 200m
e) 250m
200
c)
m
3
5
7
(USF(USF-SP)
2m
(F.C. CHAGAS
CHAGASHAGAS-SP) Um observador, no ponto A, vê o topo de um poste (B) e o topo de um prédio (C), conforme
a figura a seguir.
30º
Para permitir o aceso a um monumento que está em um
pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa
com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.
O comprimento da rampa será igual a:
C
a)
b) 3m
c) 2m
d) 4m
e) 4 3m
B
A
30º
Editora Exato
3
m
2
x
29
Matemática
8
(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos
no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está
a 20m de altura, comprimento do cabo AC é:
11 (FUVEST(FUVEST-SP) Dois pontos A e B estão situados na margem
de um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na
outra margem do rio, está situado de tal modo que o anˆ
ˆ mede 75º e o ângulo ACB
mede 75º. Degulo CAB
termine a largura do rio.
a) 40m
b) 20m
c) 20 3m
d) 30m
e) 25m
C
A
a) 15m
b) 20m
c) 25m
9
12 (U. PASSO FUNDOFUNDO-RS) Em um triângulo ABC, retângulo
em A, o cateto AB ^mede 5m e cosBˆ = 0,4 , sua hipotenusa, em metros, mede:
a) 2
b) 5,5
c) 9,5
d) 12,5
e) 13,5
B
d) 35m
e) 40m
(MOJI(MOJI-SP)
SP) Uma escada que mede 4m tem uma de suas
extremidades aparada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro
é:
13 (UFMG) Observe a figura.
ˆ ACE
ˆ e FDE
ˆ são ângulos retos, e as
Nessa figura, BAE,
medidas CD, AF e DE são 1, 2, 3, respectivamente. A área do triângulo de vértice A, B e E é:
4m
A
F
2,4m
B
a) 2,3m
b) 3,0m
c) 3,2m
d) 3,8m
10 (UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B
de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de
ˆ fosse 60º; determinou o ponto
forma que o ângulo ABC
a)
3
2
b)
2
4
c)
3
6
d)
3
6
14 (UFRS) o lampião representado na figura suspenso por
duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que
1 6
essas cordas medem e , a distância do lampião ao
2 5
teto é:
D no prolongamento de CA de forma que o ângulo
ˆ fosse de 90º. Medindo AD = 40m , achou a larguCBD
ra do rio. Qual a medida dessa largura?
B
60º
C
a) 100m
b) 120m
Editora Exato
A
30º
40
E
C D
D
a) 1,3
b) 1,3
c) 0,6
1
d)
2
6
e)
13
c) 140m
d) 150m
30
Matemática
15 (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um
prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador
está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m
de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então a altura do prédio, em metros, é:
12m
75°
O
12m
a) 4(3 + 3).
b)
3.
c)
3
.
2
d) 6( 2 + 2).
1
.
2
e)
GABARITO
1
20m
3
m
3
2
3
E
4
B
5
E
6
B
7
D
8
C
9
C
10 B
11 B
12 D
13 D
14 E
15 A
Editora Exato
31