80
m
C
2,
Observe a figura ao lado.
Uma escada com seis degraus está apoiada, em C, num
muro de 2 m de altura.
A distância entre dois degraus vizinhos é 40 cm. Logo, o
comprimento da escada é 2,80 m.
A distância da base da escada (B) à base do muro (A)
é 1,96 m.
Assim, o triângulo ABC formado é retângulo em  em
que AB e AC são os catetos e BC é a hipotenusa.
Ao meio-dia, com o Sol a pino, um pedreiro sobe a escada,
degrau por degrau. A sombra de seu pé no chão também
vai mudar de posição.
Vamos ver como este exemplo simples nos permite tirar
conclusões importantes em matemática.
2m
B
A
1,96 m
Relações em triângulos retângulos semelhantes
C
A figura ao lado mostra de maneira simplificada:
C6
• as posições do pé do pedreiro: C1, C2, C3, C4, C5 e C6;
• as posições da sombra do pé no chão: A1, A2, A3, A4, A5 e A6.
C5
C4
Os triângulos BA1C1, BA2C2, BA3C3, etc. são todos semelhantes
entre si. Observe a razão:
C2
altura do pé
A3C3
A2C2
A1C1
2,00
AC
=
= ... =
=
= 0,71429
=
BC3
BC
2,80
BC1
BC2
distância percorrida
C3
pé
sombra
C1
B A1 A2 A3 A4 A5 A6
A
Podemos observar que a altura do pé do pedreiro em relação ao chão é diretamente proporcional à
distância que ele percorreu na escada.
Temos também a razão:
distância da sombra à base da escada
distância percorrida
BA3
BA1
BA2
1,96
BA
=
= ... =
=
= 0,70000
=
BC3
BC
2,80
BC1
BC2
Da mesma forma, a distância da sombra do pé do pedreiro à base da escada é diretamente proporcional
à distância que ele percorreu na escada.
Temos ainda:
altura do pé
distância da sombra à base da escada
AC
A2C2
A1C1
2,00
AC
=
=
= 1,02041
= 3 3 = ... =
BA3
1,96
BA1
BA2
BA
A altura do pé do pedreiro em relação ao chão é diretamente proporcional à distância da sombra do
seu pé à base da escada.
146
Capítulo 23_p146a155.indd 146
30/07/10 11:00
Acabamos de ver que, fixado o ângulo (B̂) que a escada faz com o chão, as razões:
cateto oposto a B̂ cateto adjacente a B̂
,
e cateto oposto a B̂
hipotenusa
hipotenusa
cateto adjacente a B̂
não dependem do tamanho do triângulo considerado. Em qualquer dos triângulos, BA1C1, BA2C2, BA3C3,
etc., essas razões valem, respectivamente: 0,71429; 0,70000; 1,02041.
Esses números estão diretamente ligados à medida do ângulo B̂.
Se colocarmos a escada numa outra posição, como mostra a figura abaixo, formando com o chão um
outro ângulo, B̂', encontraremos as seguintes razões:
C
cateto oposto a B̂'
2,00
=
= 0,83333
hipotenusa
2,40
2,4
0m
1,33
cateto adjacente a B̂'
= 0,55417
=
2,40
hipotenusa
2m
cateto oposto a B̂'
2,00
=
= 1,50376
1,33
cateto adjacente a B̂'
Para cada ângulo agudo B̂, essas três razões, que só dependem da
medida do ângulo B̂, vão agora receber um nome.
A
B
1,33 m
Razões trigonométricas
Sendo dado um ângulo agudo B̂, vamos construir um triângulo ABC retângulo em A e
que tenha B̂ como um de seus ângulos.
C
• Chama-se seno de um ângulo agudo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa:
sen B̂ =
b
a
a
b
(sen B̂ leia “seno de B̂”)
B
c
A
• Chama-se cosseno de um ângulo agudo a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa:
cos B̂ =
c
a
(cos B̂ leia “cosseno de B̂”)
• Chama-se tangente de um ângulo agudo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente
ao ângulo:
b
tg B̂ =
(tg B̂ leia “tangente de B̂”)
c
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo são chamados razões trigonométricas desse ângulo.
Veja alguns exemplos:
• Considerando o exemplo inicial com o triângulo formado pela
escada, pelo muro e pelo chão, temos:
b
2,00
=
= 0,71429
a
2,80
c
1,96
cos B̂ =
=
= 0,70000
a
2,80
b
2,00
tg B̂ =
=
= 1,02041
c
1,96
C
2,
80
m
sen B̂ =
B
2m
A
1,96 m
147
Capítulo 23_p146a155.indd 147
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• Agora vamos considerar a escada apoiada no muro na segunda posição apresentada:
C
2,4
0m
b
2,00
sen B̂' =
=
= 0,83333
a
2,40
c
1,33
cos B̂' =
=
= 0,55417
a
2,40
b
2,00
tg B̂' =
=
= 1,50376
c
1,33
2m
A
B
1,33 m
• No triângulo ao lado, temos:
cateto oposto a B̂ AC
=
=
hipotenusa
BC
cateto adjacente a B̂ AB
cos B̂ =
=
BC
hipotenusa
cateto oposto
AC
3
tg B̂ =
=
=
4
cateto adjacente AB
sen B̂ =
C
3
= 0,6
5
4
= = 0,8
5
= 0,75
5
B
3
A
4
• No exemplo anterior, o ângulo Ĉ também é agudo. Calculemos as razões trigonométricas de Ĉ.
AB
4
= = 0,80
BC
5
AC
3
= = 0,60
cos Ĉ =
BC
5
AB
4
=
= 1,33
tg Ĉ =
AC
3
C
sen Ĉ =
5
B
3
A
4
Relações entre as razões trigonométricas
As razões trigonométricas de um mesmo ângulo têm relações entre si. Veja:
b
, então b = a · sen B̂
a
c
cos B̂ = , então c = a · cos B̂
a
C
sen B̂ =
De acordo com o teorema de Pitágoras, temos:
b
A
a
c
B
B
b2 + c2 = a2 ) (a · sen B̂)2 + (a · cos B̂)2 = a2 ) a2 · sen2 B̂ + a2 · cos2 B̂ = a2
Portanto:
sen2 B̂ + cos2 B̂ = 1
Se calcularmos o quociente sen B̂ , teremos:
cos B̂
b
sen B̂
a
b a
b
= c = a · c = c = tg B̂
cos B̂
a
Portanto:
tg B̂ = sen B̂
cos B̂
148
Capítulo 23_p146a155.indd 148
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Exercícios
404. Determinesenxnoscasos:
a)
1
2
4
2
b)
c)
15
3
5
x
12
3
5
y–2
6
x
x
y
405. Determinecosxnoscasos:
a)
b)
8
3
4
1
2
6
`11
√
6
x
12
x
x
6
c)
6 3
10
406. Obtenhatgxnoscasos:
a)
4
5
b)
12
`
√ 3
15
12
c)
x
4
3
15
x
x
25
6 3
407. CalculesenB̂,cosB̂etgB̂ paraotriânguloaolado.
C
5 , 12 e 5
13 13 12
13
5
B
12
A
408. Paraomesmotriângulodoexercícioanterior,calculesenĈ,cosĈetgĈ.
12 , 5 e 12
13 13 5
409. CalculeamedidadahipotenusaRSdotriânguloretângulodafigura.
Emseguida,determinesenR̂,cosR̂etgŜ.
T
RS = 20; sen R̂ = 3 , cos R̂ = 4 e tg Ŝ = 4
5
5
3
16
12
R
S
4
410. NumtriânguloABC,retânguloemA,dehipotenusa15cm,sabe-sequesenB̂= .Determine:
5
a)ocatetoAC=x;12 cm
b)ooutrocateto;9
c) cosB̂etgB̂; 35 , 43 cm
d)senĈ,cosĈetgĈ. 35 , 45 e 34
A
x
y
B
15
C
5
411. UmtriânguloRST,retânguloemR,temRS=10cmetgŜ= .
2
DetermineRT=x.25 cm
T
R
S
149
Capítulo 23_p146a155.indd 149
30/07/10 11:00
3
412. NumtriânguloABC,retânguloemA,dehipotenusa25cm,sabe-sequesenĈ= .Determine:
5
a)ocatetoAB=x;15 cm
b)ooutrocateto;20 cm
c) cosĈetgĈ; 45 ; 34 d)senB̂,cosB̂etgB̂. 45 ; 35 ; 43
Seno, cosseno e tangente de 45º
Na figura inicial temos um quadrado de lado ,. Ao traçarmos sua diagonal (que mede ,√
` 2), indicamos
um triângulo retângulo, como mostra a figura central. Observe que os ângulos agudos valem 45º.
45º
2
2
2
45º
45º
sen 45º =
,
√2
) sen 45º = 1 ) sen 45º = `
2
`2
,√
`
√2
ou sen 45º = 0,707...
cos 45º =
,
√2
) cos 45º = 1 ) cos 45º = `
2
`2
,√
`
√2
ou cos 45º = 0,707...
tg 45º = , ) tg 45º = 1
,
Seno, cosseno e tangente de 30º e de 60º
Na figura inicial temos um triângulo equilátero de lado , cujos três ângulos são iguais a 60º. Ao traçar-
1
2
` 3 , indicamos um triângulo retângulo, como mostra a figura central.
mos sua altura que mede ,√
2
3
2
30º
3
2
3
2
60º
Para o ângulo de 30º, temos:
,
2
sen 30º =
) sen 30º = 1
,
2
2
2
ou sen 30º = 0,5
,√
`3
2
√ 3 ou cos 30º = 0,866...
cos 30º =
) cos 30º = `
,
2
,
2
√3
tg 30º =
= 1 ) tg 30º = `
3
`
√3
,√
`3
2
ou tg 30º = 0,577...
150
Capítulo 23_p146a155.indd 150
30/07/10 11:00
Para o ângulo de 60º, temos:
,√
`3
2
√3
sen 60º =
) sen 60º = `
,
2
,
2
cos 60º =
) cos 60º = 1
,
2
ou sen 60º = 0,866...
ou cos 60º = 0,5
,√
`3
2
tg 60º =
) tg 60º = `
√ 3 ou tg 60º = 1,732...
,
2
Agora podemos construir uma tabela com o seno, o cosseno e a tangente de alguns dos principais
ângulos:
x
30º
45º
60º
sen x
1
2
`
√2
2
`
√3
2
cos x
`
√3
2
`
√2
2
1
2
tg x
`
√3
3
1
√3
`
Seno, cosseno e tangente de outros ângulos
Quando queremos obter uma das razões trigonométricas de um ângulo não especial, como 37º, por
exemplo, como fazemos? Teoricamente podemos fazer assim:
• com a ajuda de um transferidor, construímos um ângulo de 37º:
b
80
7
100 1 0
10
60
120
5
13 0
0
0
10
20
170 180
30
160
50
40 0 1
14
180 170
160
0 10
150
20
30
14
40 103
5
90
45
100
110 80
70
120
0
0
6
13 0
5
O
a
• construímos um triângulo retângulo que tenha 37º de ângulo agudo:
C
A
37º
B
151
Capítulo 23_p146a155.indd 151
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• medimos os lados desse triângulo:
A
B
distância AB = 4 cm
• calculamos a razão trigonométrica que queremos.
Na prática, consultamos tabelas já existentes e que dão as razões trigonométricas dos ângulos de 0º a
90º, de grau em grau. Ou, então, utilizamos calculadoras que dão as razões trigonométricas.
Aplicações das razões trigonométricas
Conhecendo os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo agudo podemos efetuar
vários cálculos em geometria, muitos deles envolvendo situações do cotidiano. Vejamos os exemplos
seguintes:
Exemplo 1
Por segurança, vai ser necessário ligar a ponta de um poste de 12 m de altura a um gancho no chão
por um cabo. Quando esticado, o cabo deverá fazer ângulo de 45º com o chão.
Qual é o comprimento do cabo? A que distância do poste está o gancho?
C
x
12
45º B
A
d
Temos:
sen B̂ =
AC
12
AC
12
=
e tg B̂ =
=
BC
x
AB
d
√ 2 e tg 45º = 1, vem:
Como B̂ = 45º e sen 45º = `
2
12
2 · 12
`
√2
` 2 = 12 · (1,41) ) x = 16,92
= 12√
=
e, então, x =
x
2
`
√2
1=
12
e, então, d = 12
x
Resposta: O comprimento do cabo é 16,92 m e a distância do gancho ao poste é 12 m.
152
Capítulo 23_p146a155.indd 152
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Exemplo 2
Um garoto estava empinando pipa. Quando ele soltou os 50 m de linha, o vento estava tão forte
que a linha ficou inclinada 60º em relação ao chão.
Nesse momento, qual era a altura da pipa?
50
m
C
60º
B
Temos:
x
A
sen B̂ =
AC
x
=
BC
50
√ 3 , vem:
Como B̂ = 60º e sen 60º = `
2
x
`
√3
√ 3 = 25√
` 3 = 25 · (1,73) = 43,25 ) x = 43,25
=
e, então, x = 50 `
50
2
`
√2
Resposta: A altura da pipa era 43,25 m.
Exemplo 3
Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o Sol está 30º acima
do horizonte?
C
5m
30º
B
A
s
Temos:
tg B̂ =
AC
5
= s
AB
√ 3 = 0,577, então:
Como B̂ = 30º, tg B̂ = tg 30º = `
3
5
5
0,577 = s e, daí, s =
= 8,67 ) s = 8,67
0,577
Resposta: O comprimento da sombra é 8,67 m.
153
Capítulo 23_p146a155.indd 153
30/07/10 11:00
Exercícios
413. Calculeovalordexemcadaitem:
a)
c)
5
10
45º
d)
8√
` 3
12 3
18
x
x
f)
5
60º
x
30º
6
x
30º
b)
e)
` 2
3√
45º
x
5
5 3
x
30º
12
5
414. Determinexnoscasos:
a)
b)
6√
` 2
x
2√
` 3
x
6
º
30
45º
30º
12
30º
415. UmtriânguloretânguloABC,comÂ=90º,temAB=6cm,AC=6√
` 3cmeBC=12cm.
DetermineosvaloresdeB̂ edeĈ.60º; 30º
416. Abasemaiordeumtrapézioisóscelesmede100cmeabasemenor60cm.Sendo60ºamedida
decadaumdeseusângulosagudos,determineaalturaeoperímetrodotrapézio.20√` 3 cm e 240 cm
417. Determineosvaloresdexeynosseguintescasos:
a)retângulo 6; 6√` 3
b)paralelogramo 8; 4√` 3
12
x
x
y
60º
º
60
12
c) paralelogramo
y
45º
y
6√
` 2; 6
6
x
8
418. Umobservadorvêumedifício,construídoemterrenoplano,sobumângulode60º.Seeleseafastar
R
doedifíciomais30m,passaráavê-losobângulode45º.Calculeaalturadoedifício.15(3 + `√ 3) m
x
45º
60º
30 m
154
Capítulo 23_p146a155.indd 154
30/07/10 11:00
419. Paradeterminaralarguradeumrio,marcou-seadistânciaentre
doispontos,AeB,numamargem:AB=100m.NumaperpendicularàsmargenspelopontoAvisou-seumpontoCnamargem
oposta e se obteve o ângulo AB̂C = 30º. Calcule a largura do
rio. 100√` 3
C
30º
m
3
B
A
100 m
420. Umaviãoestáa7000mdealturaeiniciaaaterrissagememaeroportoaoníveldomar.Oângulo
dedescidaé6º.Aquedistânciadapistaestáoavião?Qualéadistânciaqueoaviãovaipercorrer?
Dados:sen6º=0,10453,cos6º=0,99452etg6º=0,1051066,6 km e 66,97 km
421. Asombradeumpostevertical,projetadapelosolsobreumchãoplano,mede12m.Nomesmo
instante,asombradeumbastãoverticalde1mdealturamede0,6m.Qualéaalturadoposte?
20 m
422. Determine,deacordocomocasoindicado,osvaloresdex ey:
a) losango
3
y
b) trapézio retângulo
30; 3√
` 3
18; 6√
` 5
c) trapézio isósceles
6
6
x
y
12 2
x
12; 10
y
x
120º
6 3
45º
22
423. Umapipaépresaaumfioesticadoqueformaumângulode45ºcom
R
osolo.Ocomprimentodofioé80m.Determineaalturadapipaem
relaçãoaosolo. 40√` 2 m
80 m
x
45º
424. Umaescadaestáencostadanapartesuperiordeumprédiode
R
54mdealturaeformacomosoloumângulode60º.Determine
ocomprimentodaescada.36√` 3 m
54 m
60º
425.Umprédioprojetaumasombrade6mnomesmoinstanteemqueumabalizade1mprojetauma
sombrade40cm.Secadaandardesseprédiotem3mdealtura,qualéonúmerodeandares?5
427. Umaescadadebombeiropodeserestendidaatéumcomprimentomáximo
R
de25m,formandoumângulode70ºcomabase,queestáapoiadasobreum
caminhão,a2mdosolo.Qualéaalturamáximaqueaescadaatinge?25,5 m
Dados: sen70º=0,940,cos70º=0,342etg70º=2,47.
x
100 m
45º
Jupiter Unlimited/Other Images
426. Umbarcoatravessaumrio,numtrechoondealarguraé100m,seguindo
R
umadireçãoqueforma45ºcomumadasmargens.Calculeadistância
percorridapelobarcoparaatravessarorio.100√` 2 m
155
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30/07/10 11:00